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Terminales technologiques
Cours : Terminales technologiques > Chapitre 10
Leçon 1: Suites arithmétiques- Qu'est-ce qu'une suite arithmétique
- Une suite arithmétique
- Qu'est-ce qu'une suite arithmétique
- Déterminer les termes d'une suite arithmétique
- Calculer un terme d'une suite arithmétique donnée par ses premiers termes
- Établir une formule explicite qui définit une suite arithmétique
- Établir une formule explicite qui définit une suite arithmétique
- Établir une formule explicite qui définit une suite arithmétique
- Utiliser la forme explicite d'une suite arithmétique
- Définir une suite arithmétique par une formule
- Calculer un terme de rang donné d'une suite arithmétique de formule donnée
- La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique
- Somme des n premiers termes d'une suite arithmétique
- Trois exercices
- Le signe somme Σ
- Développer une somme écrite à l’aide du symbole Σ
- Écrire une somme de termes d'une suite arithmétique avec le signe somme Σ
Définir une suite arithmétique par une formule
Définir une suite arithmétique par une formule explicite ou par une formule de récurrence.
Prérequis : Savoir ce qu'est une suite arithmétique, savoir déterminer l'image d'un nombre par une fonction et savoir déterminer l'ensemble de définition d'une fonction
Pourquoi une formule ?
Dans la leçon précédente les suites traitées étaient données sous la forme :
Dans cette leçon nous allons voir comment définir une suite par une formule de récurrence ou par une formule explicite. Dans les deux cas l'intérêt est de disposer d'une formule qui permet de calculer un terme quelconque de la suite.
Si n est un entier naturel supérieur ou égal à 1, on note a, start subscript, n, end subscript le terme de la suite de rang, (ou d'indice) n, c'est-à-dire le n, start superscript, start text, e, end text, end superscript terme de la suite. Par exemple, pour la suite arithmétique 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point :
n | a, start subscript, n, end subscript |
---|---|
Rang | n, start superscript, start text, e, end text, end superscript terme |
1 | 3 |
2 | 5 |
3 | 7 |
On va voir qu'une formule permet de calculer le terme a, start subscript, n, end subscript quelle que soit la valeur de n.
À vous !
Suite arithmétique définie par une formule de récurrence
La formule de récurrence donne deux informations :
- Le premier terme de la suite
- La règle qui permet d'obtenir un terme de la suite à partir du terme précédent
La formule de récurrence qui définit la suite 3, 5, 7,... est :
Pour obtenir a, start subscript, 5, end subscript, on doit calculer tous les termes précédents :
a, start subscript, n, plus, 1, end subscript | equals, a, start subscript, n, end subscript, plus, 2, space, space si n, ≥, 1 | |||
---|---|---|---|---|
a, start subscript, 1, end subscript | equals, start color #11accd, 3, end color #11accd | |||
a, start subscript, 2, end subscript | equals, a, start subscript, 1, end subscript, plus, 2 | equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, 2 | equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff | |
a, start subscript, 3, end subscript | equals, a, start subscript, 2, end subscript, plus, 2 | equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff, plus, 2 | equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54 | |
a, start subscript, 4, end subscript | equals, a, start subscript, 3, end subscript, plus, 2 | equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54, plus, 2 | equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10 | |
a, start subscript, 5, end subscript | equals, a, start subscript, 4, end subscript, plus, 2 | equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10, plus, 2 | equals, 11 |
On obtient bien la suite 3, 5, 7, ...
À vous !
Voici trois exercices pour vous entraîner.
On a noté a, start subscript, n, end subscript le terme de rang n de la suite arithmétique 3,5,7,... On peut utiliser d'autres lettres pour désigner les termes d'une suite, par exemple, b, start subscript, n, end subscript, c, start subscript, n, end subscript, ou d, start subscript, n, end subscript.
Suite arithmétique définie par une formule explicite
Une formule explicite qui définit la suite de premier terme a, start subscript, 1, end subscript et dont les 3 premiers termes sont 3, comma, 5 et 7 est :
Pour trouver un terme de rang donné i, il suffit de remplacer n par i dans la formule.
Par exemple, pour calculer le cinquième terme, on remplace n par 5 :
On obtient bien la bonne valeur !
À vous !
Les suites sont des fonctions
Une suite est une fonction qui au nombre naturel n fait correspondre un nombre noté a, start subscript, n, end subscript.
n est toujours un entier naturel. n représente le numéro d'ordre d'un terme de la suite, donc il ne peut être ni un nombre négatif, ni un décimal.
Autrement dit, l'ensemble de définition d'une suite est l'ensemble des entiers naturels.
Une remarque à propos de la notation
Pour désigner le 4, start superscript, start text, e, end text, end superscript terme de la suite, on a utilisé la notation a, start subscript, 4, end subscript, Pour désigner ce terme, vous rencontrerez aussi la notation a, left parenthesis, 4, right parenthesis.
Les deux notations sont possibles. Certains préfèrent la notation a, left parenthesis, n, right parenthesis à la notation a, start subscript, n, end subscript car elle met bien en évidence qu'une suite est une fonction.
Une question
Un dernier exercice
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