Contenu principal

Terminales technologiques

Cours : Terminales technologiques > Chapitre 12

Leçon 3: Ajustement affine : méthode des moindres carrés

Résumé : la régression linéaire

L'ajustement linéaire consiste à tracer une droite qui passe au plus près des observations d'un nuage de points. Cette droite est ensuite utilisée pour faire des prévisions.

Qu'est-ce la régression linéaire ?

Lorsque le nuage de points associé à une série statistique double a une forme "allongée " c'est-à-dire lorsque les points sont sensiblement alignés, on peut tracer des droites passant « au plus près de ces points ». On dit alors que chacune de ces droites réalise un ajustement affine du nuage de points.

la vidéo.

Droite d'ajustement : méthode des moindres carrés

De nombreuses droites ajustent le nuage de points. L'ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés consiste à déterminer la droite d'ajustement passant par le point " moyen ".

exercice

Quelle droite ajuste au mieux le nuage de points suivant ?

la vidéo.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Utilisation de la droite des moindres carrés pour estimer ou prévoir

Lorsqu'on a déterminé une équation de la droite des moindres carrés, il est possible de prévoir ou d'estimer une situation non associée à un point du nuage.

Exemple : Établir l'équation de la droite d'ajustement

Ci-dessous, le nuage de points et la droite d'ajustement associés à la série-double dont les variables sont le pourcentage d'Américains qui fument et le nombre d'années écoulées depuis

1967

. Ce nuage de points ne présente pas de valeurs aberrantes et suggère une relation linéaire négative entre les deux variables.

Déterminer une équation de la droite d'ajustement.

1 - On calcule le coefficient directeur de la droite d'ajustement.

Cette droite passe par les points dont les coordonnées sont

(0; 40)

(10; 35)

. Son coefficient directeur est donc

\frac{35 - 40}{10 - 0} = - \frac{1}{2}

2 - On détermine l'ordonnée à l'origine.

Par lecture graphique, on en déduit que l'ordonnée à l'origine est

40

3 - On établit l'équation

y = m x + b

L'équation est

y = - 0, 5 x + 40

En déduire une estimation du pourcentage de fumeurs en $1997$ ‍.

Pour estimer le pourcentage de fumeurs en

1997

, on remplace

x

par

30

(

1997

est la trentième année à partir de

1967

) dans l'équation obtenue :

\begin{aligned} y & = - 0, 5 x + 40 \\ y & = (- 0, 5) \times (30) + 40 \\ y & = - 15 + 40 \\ y & = 25 \end{aligned}

D'après cette approximation, environ

25 %

des adultes fumaient en

1997

exercice

Jacob a demandé à ses camarades de classe combien d'heures ils avaient passé la veille à faire du sport (variable

x

). Il leur a aussi demandé d'attribuer une note entre

0

10

à leur humeur du jour où

10

correspond à une excellente humeur (variable

y

). On donne le nuage de points associé à la série double des données récoltées et la droite de régression de

y

x

Déterminer l'équation de la droite d'ajustement.

Déduire de la droite d'ajustement une estimation de la note de l'humeur du jour d'un élève qui a passé $2, 5$ ‍ heures à faire du sport la veille.
Arrondir la réponse au centième.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Connectez-vous

Trier par :

mark
Posté il y a il y a 2 mois. Lien direct vers le message de mark «Comment savoir avec préci ... »
Comment savoir avec précision par quels coordonnées la droite passe pour effectuer les calculs ? N'est ce pas juste une approximation ?
Bouton qui renvoie à la page de connexionBouton qui renvoie à la page de connexion
(1 vote)
Réponse
- Elisabeth
  Posté il y a il y a un mois. Lien direct vers le message de Elisabeth «La droite d'ajustement es ... »
  La droite d'ajustement est une approximation, bien sûr, puisqu'elle ne passe pas exactement par tous les points.
  Cependant, c'est une droite qui passe "au plus près" des points, en minimisant les distances entre les points et la droite.
  On met en place certains critères à respecter pour déterminer les paramètres de la droite.
  Ainsi, on aura la meilleure approximation, selon ces critères.
  Mais ici, on se contente de déterminer les paramètres de la droite tracée "au jugé", au plus près des points.
  Bouton qui renvoie à la page de connexion
  (1 vote)

Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.