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Trigonométrie

Cours : Trigonométrie > Chapitre 4 

Leçon 5: Simplifier une expression trigonométrique
Mathématiques
Trigonométrie
Les équations et les identités trigonométriques
Simplifier une expression trigonométrique
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Formulaire de trigonométrie

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Toutes les formules (ou presque)

Les inverses du cosinus, du sinus et de la tangente

\sec, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, end fraction

\csc, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, end fraction

cotangent, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, tangent, left parenthesis, theta, right parenthesis, end fraction

tangent, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, divided by, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, end fraction

cotangent, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, divided by, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, end fraction

Avec des carrés

sine, squared, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, cosine, squared, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, 1, squared
tangent, squared, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, 1, squared, equals, \sec, squared, left parenthesis, theta, right parenthesis
cotangent, squared, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, 1, squared, equals, \csc, squared, left parenthesis, theta, right parenthesis

Les autres formules

On déduit les formules de l'angle double des formules d'addition.
Les formules d'addition
sin⁡(θ+ϕ)=sin⁡θcos⁡ϕ+cos⁡θsin⁡ϕsin⁡(θ−ϕ)=sin⁡θcos⁡ϕ−cos⁡θsin⁡ϕcos⁡(θ+ϕ)=cos⁡θcos⁡ϕ−sin⁡θsin⁡ϕcos⁡(θ−ϕ)=cos⁡θcos⁡ϕ+sin⁡θsin⁡ϕ\begin{aligned} \sin(\theta+\phi)&=\sin\theta\cos\phi+\cos\theta\sin\phi\\\\ \sin(\theta-\phi)&=\sin\theta\cos\phi-\cos\theta\sin\phi\\\\ \cos(\theta+\phi)&=\cos\theta\cos\phi-\sin\theta\sin\phi\\\\ \cos(\theta-\phi)&=\cos\theta\cos\phi+\sin\theta\sin\phi \end{aligned}
tan⁡(θ+ϕ)=tan⁡θ+tan⁡ϕ1−tan⁡θtan⁡ϕtan⁡(θ−ϕ)=tan⁡θ−tan⁡ϕ1+tan⁡θtan⁡ϕ\begin{aligned} \tan(\theta+\phi)&=\dfrac{\tan\theta+\tan\phi}{1-\tan\theta\tan\phi}\\\\ \tan(\theta-\phi)&=\dfrac{\tan\theta-\tan\phi}{1+\tan\theta\tan\phi} \end{aligned}
Les formules de l'angle double
sine, left parenthesis, 2, theta, right parenthesis, equals, 2, sine, theta, cosine, theta
cosine, left parenthesis, 2, theta, right parenthesis, equals, 2, cosine, squared, theta, minus, 1
tangent, left parenthesis, 2, theta, right parenthesis, equals, start fraction, 2, tangent, theta, divided by, 1, minus, tangent, squared, theta, end fraction
Les formules de l'angle moitié
sin⁡θ2=±1−cos⁡θ2cos⁡θ2=±1+cos⁡θ2tan⁡θ2=±1−cos⁡θ1+cos⁡θ=1−cos⁡θsin⁡θ=sin⁡θ1+cos⁡θ\begin{aligned} \sin\dfrac\theta2&=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\theta}{2}}\\\\ \cos\dfrac\theta2&=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{2}}\\\\ \tan\dfrac{\theta}{2}&=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}\\ \\ &=\dfrac{1-\cos\theta}{\sin\theta}\\ \\ &=\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\end{aligned}

Angles associés

sine, left parenthesis, minus, theta, right parenthesis, equals, minus, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis
cosine, left parenthesis, minus, theta, right parenthesis, equals, plus, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis
tangent, left parenthesis, minus, theta, right parenthesis, equals, minus, tangent, left parenthesis, theta, right parenthesis
sin⁡(θ+2π)=sin⁡(θ)cos⁡(θ+2π)=cos⁡(θ)tan⁡(θ+π)=tan⁡(θ)\begin{aligned} \sin(\theta+2\pi)&=\sin(\theta)\\\\ \cos(\theta+2\pi)&=\cos(\theta)\\\\ \tan(\theta+\pi)&=\tan(\theta) \end{aligned}

Formules faisant intervenir π, slash, 2

sin⁡θ=cos⁡(π2−θ)cos⁡θ=sin⁡(π2−θ)tan⁡θ=cot⁡(π2−θ)cot⁡θ=tan⁡(π2−θ)sec⁡θ=csc⁡(π2−θ)csc⁡θ=sec⁡(π2−θ)\begin{aligned} \sin\theta&= \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)\\\\ \cos\theta&= \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)\\\\ \tan\theta&= \cot\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)\\\\ \cot\theta&= \tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)\\\\ \sec\theta&= \csc\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)\\\\ \csc\theta&= \sec\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right) \end{aligned}

Une figure interactive

Déplacez le point mobile sur le cercle.

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