Formulaire de trigonométrie

Déplacez le point sur le cercle et observez comment varient le cosinus et la sécante. Quand le cosinus diminue, la sécante augmente et vice-versa, et quelles que soient leurs valeurs leur produit est égal à $1$‍.

Vous pouvez aussi repérer deux triangles semblables. Déplacez le point vert et observez quels sont les côtés homologues.

Déplacez le point sur le cercle et observez comment varient le sinus et la cosécante. Quand le sinus diminue, la cosécante augmente et vice-versa, et quelles que soient leurs valeurs leur produit est égal à $1$‍.

Vous pouvez aussi repérer deux triangles semblables. Déplacez le point vert et observez quels sont les côtés homologues.

Déplacez le point sur le cercle et observez comment varient la tangente et la cotangente. Quand la tangente diminue, la cotangente augmente et vice-versa, et quelles que soient leurs valeurs leur produit est égal à $1$‍.

Vous pouvez aussi repérer deux triangles semblables. Déplacez le point vert et observez quels sont les côtés homologues.

Vous pouvez aussi repérer deux triangles semblables. Déplacez le point vert et observez quels sont les côtés homologues.

Vous pouvez aussi repérer deux triangles semblables. Déplacez le point vert et observez quels sont les côtés homologues.

On l'obtient en appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle rectangle :

On l'obtient en appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle rectangle :

On l'obtient en appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle rectangle :

Voici une figure qui permet d'établir la formule du sinus et du cosinus de la somme de deux angles, dans le cas où cette somme est inférieure à $90°$‍. Les longueurs des côtés verticaux du rectangle sont égales, donc :

Les longueurs des côtés horizontaux du rectangle sont aussi égales, donc :

Pour justifier la figure, il faut partir du triangle rectangle du milieu où l'hypoténuse est $1$‍ et l'un des angles aigus est $\phi$‍, puis utiliser de proche en proche les relations trigonométriques dans le triangle rectangle dans chacun des triangles.

On peut faire une figure analogue pour établir la formule du sinus et du cosinus de la différence de deux angles.

Bien sûr, cette démonstration ne s'applique que dans le cas particulier où la somme de $\theta$‍ et $\varphi$‍ est inférieure à $90°$‍.

Voici comment on établit cette formule :

Soustraire c'est ajouter l'opposé. Donc,

C'est l'application de la formule du sinus de la somme de deux angles au cas où les deux angles sont égaux.

Là encore on peut appliquer la formule du cosinus de la somme de deux angles dans le cas où les deux angles sont égaux, mais cela ne suffira pas à établir le résultat annoncé.

On applique la formule du cosinus de la somme de deux angles :

On utilise maintenant la formule ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$‍ :

Ici encore, c'est l'application de la formule de la tangente de la somme de deux angles au cas où les deux angles sont égaux.

L'idée est de remplacer $\theta$‍ par $\theta /2$‍.

puis de transformer l'expression trouvée.

Par exemple,

devient...

Puis on isole $\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$‍.

C'est une formule facile à retrouver :

C'est une formule facile à retrouver :

Cette formule est peut-être moins simple à retrouver sur le cercle trigonométrique. Mais il suffit d'utiliser la définition de la tangente :

donc,

Toutes ces formules se ressemblent.

Il suffit de remarquer que $\theta$‍ et ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta$‍ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$‍.

Déplacez le point vert ! Les deux triangles rectangles sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$‍, donc ils sont isométriques et $\sin \theta =\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta )$‍. On démontre les autres formules de la même façon.