Le lignes trigonométriques des angles aigus d'un triangle rectangle isocèle et celles des angles aigus d'un demi-triangle équilatéral.
En général, la calculatrice est indispensable pour trouver le sinus, le cosinus ou la tangente d'un angle, mais pas toujours.
Sans calculatrice on peut calculer la valeur exacte du sinus, du cosinus ou de la tangente d'un angle de ou de car ce sont les angles aigus d'un triangle rectangle particulier, le demi-triangle équilatéral. De même, on peut calculer la valeur exacte du sinus, du cosinus ou de la tangente d'un angle de car c'est la mesure des deux angles aigus d'un triangle rectangle isocèle.

Les triangles particuliers

Le demi triangle équilatéral
Un demi triangle équilatéral est un triangle rectangle qui a un angle de 3030^\circ degrés et un angle de 6060^\circ degrés :
Le triangle rectangle isocèle
Un triangle rectangle isocèle est un triangle rectangle dont les deux angles aigus mesurent 4545^\circ degrés :

Sinus, cosinus et tangente d'un angle de 3030^\circ

On commence par l'angle de 3030^\circ.
On va détailler le calcul.

Quelle est la valeur de sin(30)\sin(30^\circ) ?

Voici comment la trouver :
1 - On fait une figure.
2 - On appelle xx la longueur du plus petit côté et on écrit les longueurs de l'autre côté et de l'hypoténuse en fonction de xx.
3 - On applique la définition du sinus.
sin(30)=oppos eˊhypotnuseeˊ=x2x=1x2x=12\begin{aligned} \sin (30^\circ) &= \dfrac{\text{opposé }}{\text{hypoténuse}} \\\\ &= \dfrac{x}{2x} \\\\ &= \dfrac{1\maroonD{\cancel{x}}}{2\maroonD{\cancel{x}}} \\\\ &=\dfrac{1}{2}\end{aligned}
Pour ne pas faire d'erreur, il peut être utile de remplacer xx par 1x1 x : x2x=1x2x=12\dfrac{x}{2x}=\dfrac{1x}{2x}=\dfrac12.
On utilise la même méthode pour calculer cos(30)\cos(30^\circ) et tan(30)\tan(30^\circ).

Sinus, cosinus et tangente d'un angle de 4545^\circ

On utilise la même méthode avec un angle de 4545^\circ. On code les côtés d'un triangle rectangle isocèle :

Sinus, cosinus et tangente d'un angle de 6060^\circ

Que ce soit pour un angle de 3030^\circ, un angle de 4545^\circ ou un angle de 6060^\circ, la méthode est la même.
Vous avez tous les éléments pour calculer le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle de 6060^\circ.

Récapitulatif

Le tableau des valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente des angles de 3030^\circ, 4545^\circ et 6060^\circ :
cos(θ)\cos(\theta)sin(θ)\sin (\theta)tan(θ)\tan( \theta)
θ=30 \theta =30^\circ32\greenD{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}12\greenD{\dfrac12}33=13\greenD{\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}}
θ=45\theta = 45^\circ22=12\purpleC{\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}22=12\purpleC{\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}1\purpleC1
θ=60\theta = 60^\circ12\greenD{\dfrac12}32\greenD{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}3\greenD{\sqrt{3}}
Ce sont des valeurs qui reviennent souvent dans les exercices. Aussi est-il très utile de les connaître.
Vous pouvez les apprendre par cœur, mais cette page a dû vous convaincre que c'est facile de les retrouver !
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