Si vous voyez ce message, cela signifie que nous avons des problèmes de chargement de données externes.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Contenu principal

Rapport entre les longueurs de deux côtés, en fonction d'un angle dans un triangle rectangle

 On démontre, en utilisant les triangles semblables, que dans un triangle rectangle, les rapports des longueurs de deux côtés ne dépendent que de l'amplitude des angles aigus.
Pour établir que deux triangles sont égaux, nous avons dit qu'il suffisait de connaître la longueur d'un côté et la mesure des deux angles adjacents à ce côté pour affirmer que tous les angles étaient deux à deux de même mesure (cas d'égalité ACA).
Comment est-ce possible ? Même pour appliquer le théorème de Pythagore, il faut connaître la longueur de deux côtés du triangle rectangle pour calculer la longueur du troisième. Dans cet article, nous nous initions à la compréhension du lien entre les mesures des angles et les longueurs des côtés dans un triangle rectangle.
C'est une excellente occasion de travailler avec un.e ou deux ami.e.s. L'objectif de cet article est de trouver des régularités et d'en discuter, et non de passer un temps fou à faire des calculs. Essayez de vous partager le travail afin d'avoir plus de temps pour discuter de ce que vous constatez !

Cherchons des régularités

En premier, on considère quatre triangles.
Que peut-on dire de ces triangles ?
Ces triangles sont
d'après
.

Tableaux des mesures
Les triangles donnés sont :
Compléter le tableau des mesures relatif à l'angle Â.
ABCADEAFGAHI
Longueur côté opposé691215
Longueur côté adjacent8
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
16
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
Longueur hypoténuse1015
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
25
Mesure angle Â37°37°37°37°
Mesure angle droit90°90°90°90°
Mesure angle complémentaire
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
°
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
°
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
°
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
°

À présent, calculons les différents rapports suivants :
Tableau des rapports
Complète le tableau des rapports.
Arrondir au centième.
ABCADEAFGAHI
longueur côté adjacentlongueur hypoténuse
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
longueur côté opposélongueur hypoténuse
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
longueur côté opposélongueur côté adjacent
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Que constatez-vous ?

Démontrons l'égalité des rapports pour l'autre angle

Justification
Compléter cette démonstration que ACBC=FDED.
AffirmationJustification
1Les angles CAB^ et DFE^ ont la même mesurecar ce sont deux angles droits.
Les angles ABC^ et FEB^ ont la même mesured'après le codage.
3Les triangles ABC et
sont semblables
d'après le cas de similitude
.
4ACFD=BCEDcar les longueurs des côtés homologues de deux triangles semblables sont proportionnelles.
5ACBC=FDEDcar on a multiplié les deux membres par
.

Conclusion de la démonstration
Qu'avons-nous démontré ?
Choisissez une seule réponse :
Quels triangles avons-nous considérés dans cette démonstration ?
Choisissez une seule réponse :

Qu'avons-nous conclu ?

Si deux triangles rectangles ont un angle aigu de même mesure, alors ces triangles sont semblables selon le critère de similitude AA. Les rapports entre deux côtés dans chaque triangle sont égaux aux rapports homologues dans les autres triangles. Donc, le rapport des longueurs des côtés d'un triangle rectangle ne dépend que de la mesure d'un de ses angles aigus.

En quoi cela peut-il être utile ?

Jusqu'à présent, nous avons utilisé le théorème de Pytagore pour calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle, connaissant la longueur des deux autres côtés. Maintenant, on sait qu'il existe une relation entre la mesure d'un angle aigu et les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. On peut donc calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle, à partir de la longueur d'un côté et de la mesure d'un angle aigu. On peut aussi déterminer la mesure d'un angle aigu connaissant la longueur de deux côtés d'un triangle rectangle.
Extension 1.1
À partir de la mesure d'un angle aigu dans un triangle rectangle, on donne les rapports des longueurs de deux côtés du triangle rectangle.
On donne dans le tableau suivant les rapports des longueurs de deux côtés d'un triangle rectangle pour différentes mesures d'un angle aigu (25°, 35°, et 45°).
Angle25°35°45°
longueur côté adjacentlongueur hypoténuse0,910,820,71
longueur côté opposélongueur hypoténuse0,420,570,71
longueur côté opposélongueur côté adjacent0,470,71
Utiliser le tableau pour donner une valeur approchée de la mesure de l'angle KJL^ dans ce triangle.
Choisissez une seule réponse :

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Pas encore de posts.
Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.