If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal

Croissance exponentielle et logistique

Comment les populations se développent-elles quand elles ont des ressources illimitées ? Comment les limites des ressources modifient-elles cette tendance ?

Les points clés :

  • Dans la croissance exponentielle, le taux de croissance d'une population par habitant (par individu) reste le même, quelle que soit la taille de la population, ce qui implique que la population croît de plus en plus rapidement à mesure qu'elle augmente.
  • Dans la nature, les populations peuvent croître de manière exponentielle pendant un certain temps, mais elles seront en fin de compte limitées par la disponibilité des ressources.
  • Dans la croissance logistique, le taux de croissance d'une population par habitant devient de plus en plus petit à mesure que la taille de la population approche d'un maximum — connu sous le nom de capacité de charge (K) — imposé par des ressources limitées dans l'environnement.
  • La croissance exponentielle produit une courbe en forme de J, tandis que la croissance logistique produit une courbe en forme de S.

Introduction

En théorie, tout organisme pourrait prendre le contrôle de la Terre simplement en se reproduisant. Par exemple, imaginez que tout commence avec une seule paire de lapins mâle et femelle. Si ces lapins et leurs descendants se reproduisent à la vitesse maximale ("comme des lapins") pendant 7 ans, sans aucun mort, on obtient assez de lapins pour couvrir tout l'État de Rhode Island aux États-Unis1,2,3. Et ce n'est pas si impressionnant que cela : si on avait utilisé la bactérie E. coli à la place, on aurait pu commencer avec une seule bactérie et avoir assez de bactéries pour recouvrir la Terre d'une couche de 1 pied (soit environ 30 cm) en seulement 36 heures4 !
Comme vous l'avez probablement remarqué, aucune couche de 30 cm de bactéries ne recouvre la Terre (du moins, pas chez moi), et les lapins n'ont pas plus pris possession de l'État de Rhode Island. Pourquoi ces populations ne deviennent donc pas aussi importantes qu'elles le pourraient théoriquement ? La bactérie E. coli, les lapins et tous les organismes vivants ont besoin de ressources spécifiques, telles que des nutriments et des environnements appropriés, pour survivre et se reproduire. Ces ressources ne sont pas illimitées, et une population ne peut atteindre qu'une taille qui coïncide avec la disponibilité des ressources dans son environnement local.
Les écologistes des populations utilisent diverses méthodes mathématiques pour modéliser la dynamique des populations (ou comment les populations varient en taille et en composition au fil du temps). Certains de ces modèles représentent une croissance sans contraintes environnementales, tandis que d'autres incluent des "plafonds" déterminés par les ressources limitées. Des modèles mathématiques des populations peuvent être utilisés pour décrire avec précision les changements qui se produisent au sein d'une population et, surtout, pour prédire les changements futurs.

Modéliser le taux de croissance des populations

Afin de comprendre les différents modèles qui sont utilisés pour représenter la dynamique des populations, on va d'abord regarder une équation générale pour le taux de croissance de la population (variation du nombre d'individus d'une population au fil du temps) :
dNdT=rN
Dans cette équation, dN/dT est le taux de croissance de la population à un instant donné, N est la taille de la population, T est le temps et r est le taux de croissance par habitant, c'est-à-dire la vitesse à laquelle la population croît par individu appartenant déjà à la population. (Consultez le sujet calculs différentiels pour en savoir plus sur la notation dN/dT.)
Si on suppose que les individus ne se déplacent pas dans ou hors de la population, r est juste une fonction des taux de natalité et de décès. Vous pouvez en apprendre plus sur la signification et la dérivation de l'équation ici :
L'équation ci-dessus est très générale, et on peut en réaliser des formes plus spécifiques dans le but de décrire deux types différents de modèles de croissance : exponentiels et logistiques.
  • Lorsque le taux de croissance par habitant (r) prend la même valeur positive, quelle que soit la taille de la population, alors on obtient une croissance exponentielle.
  • Lorsque le taux de croissance par habitant (r) diminue au fur et à mesure que la population augmente et tend vers une limite maximale, alors on obtient une croissance logistique.
Voici un aperçu, mais ne vous inquiétez pas si vous ne comprenez pas tout :
On explorera la croissance exponentielle et logistique en détail ci-dessous.

Croissance exponentielle

Les bactéries cultivées en laboratoire constituent un excellent exemple de croissance exponentielle. Dans une croissance exponentielle, le taux de croissance de la population augmente avec le temps, proportionnellement à sa taille.
Regardons comment ça fonctionne. Les bactéries se reproduisent par fission binaire (se divisent en deux), et le temps entre les divisions est d'environ une heure pour de nombreuses espèces bactériennes. Pour observer cette croissance exponentielle, on va commencer par placer 1000 bactéries dans une fiole avec une quantité illimitée de nutriments.
  • Après 1 heure de culture : chaque bactérie se divisera, produisant 2000 bactéries (une augmentation de 1000 bactéries).
  • Après 2 heures de culture : chacune des bactéries 2000 se divisera, produisant 4000 (soit une augmentation de 2000 bactéries).
  • Après 3 heures de culture : chacune des bactéries 4000 se divisera, produisant 8000 (soit une augmentation de 4000 bactéries).
Le concept clé de la croissance exponentielle est que le taux de croissance de la population — le nombre d'organismes ajoutés à chaque génération — augmente au fur et à mesure que la population grossit. Et les résultats peuvent être spectaculaires : après 1 jour (24 cycles de division), notre population bactérienne serait passée de 1000 à plus de 16 milliards d'individus ! Lorsque la taille de la population, N, est représentée en fonction du temps sur un graphique, une courbe de croissance en forme de J apparaît.
Crédit d'image : "Environmental limits to population growth: Figure 1," par OpenStax College, Biology, CC BY 4.0.
Comment peut-on modéliser la croissance exponentielle d'une population ? Comme on l'a déjà brièvement mentionné, on obtient une croissance exponentielle lorsque r (le taux de croissance par habitant) est positif et constant pour notre population d'intérêt. Alors que tout r positif et constant peut conduire à une croissance exponentielle, vous verrez souvent la croissance exponentielle représentée par un r ou rmax.
rmax est le taux de croissance maximal par individu pour une espèce particulière dans des conditions idéales. Il varie d'une espèce à l'autre. Par exemple, les bactéries peuvent se reproduire beaucoup plus rapidement que les humains, et ont un taux de croissance maximal par individu plus élevé. Le taux de croissance maximal de la population d'une espèce, parfois qualifié de potentiel biotique, est exprimé dans l'équation suivante :
dNdT=rmaxN

Croissance logistique

La croissance exponentielle n'est pas un état très durable, car il dépend de quantités infinies de ressources (qui ont tendance à ne pas exister dans le monde réel).
La croissance exponentielle peut avoir lieu pendant un certain temps, s'il y a peu d'individus et beaucoup de ressources. Mais quand le nombre d'individus est suffisamment grand, les ressources commencent à s'épuiser, ce qui ralentit le taux de croissance. En définitive, le taux de croissance atteint un plateau, ou se stabilise, générant une courbe en forme de S. Il plafonne à la taille maximale de la population — aussi appelée capacité de charge ou K — qu'un environnement donné peut supporter.
Crédit d'image : "Environmental limits to population growth: Figure 1," par OpenStax College, Biology, CC BY 4.0.
Il est possible de modéliser mathématiquement la croissance logistique en modifiant l'équation de la croissance exponentielle et en utilisant un r (taux de croissance par individu) qui dépend de la taille de la population (N) et de la proximité de cette dernière par rapport à sa capacité de charge (K). En supposant que la population ait un taux de croissance de base de rmax lorsqu'elle est très petite, on peut écrire l'équation suivante :
dNdT=rmax(KN)KN
On va prendre une minute pour disséquer cette équation et voir pourquoi elle a du sens. À n'importe quel moment de la croissance d'une population, l'expression KN indique combien d'individus supplémentaires peuvent être ajoutés à la population avant qu'elle n'atteigne sa capacité de charge. (KN)/K représente donc la fraction de la capacité de charge qui n'a pas encore été "épuisée". Plus on utilise de capacité de charge, plus le rapport (KN)/K réduira le taux de croissance.
Lorsque la population est petite, N est très faible par rapport à K. Le rapport (KN)/K équivaut alors à peu près à (K/K), ou 1, ce qui nous donne une équation exponentielle. Cela correspond au graphique ci-dessus : la population croît presque exponentiellement au début, mais elle se stabilise de plus en plus à mesure qu'elle approche de K.

Quels sont les facteurs qui déterminent la capacité de charge ?

En fait, tout type de ressource importante pour la survie d'une espèce peut constituer une limite. Pour les plantes, l'eau, la lumière du soleil, les nutriments et l'espace nécessaire à leur croissance sont des ressources essentielles. Pour les animaux, il s'agit notamment de la nourriture, de l'eau, d'un abri et d'un espace de nidification. Des quantités limitées de ces ressources entraînent une concurrence entre les membres de la même population ou concurrence intraspécifique (intra- = à l'intérieur; -spécifique = espèces).
La concurrence intraspécifique pour les ressources n'affecte pas les populations qui sont bien en deçà de leur capacité de charge, car les ressources sont abondantes et tous les individus peuvent obtenir ce dont elles ont besoin. Cependant, à mesure que la taille de la population augmente, la concurrence s’intensifie. De plus, l’accumulation de déchets peut réduire la capacité de charge d’un environnement.

Exemples de croissance logistique

La levure, un champignon microscopique utilisé pour fabriquer du pain et des boissons alcoolisées, peut produire une courbe classique en forme de S lorsqu'elle est cultivée dans un tube à essai. Dans le graphique ci-dessous, la croissance de la levure se stabilise à mesure que sa population se rapproche de la limite en nutriments disponibles. (Si on suivait la population plus longtemps, elle devrait chuter puisque le tube à essai est un système fermé — ce qui signifie que les sources de "carburant" finiront par s’épuiser et que les déchets pourraient atteindre des niveaux toxiques.)
Crédit d'image : "Environmental limits to population growth: Figure 2," par OpenStax College, Biology, CC BY 4.0.
Dans le monde réel, il y a des variations quant à la courbe logistique "idéale". On peut en voir un exemple dans le graphique ci-dessous, qui illustre la croissance de la population de phoques dans l'État de Washington aux États-Unis. Au début du XXe siècle, les phoques étaient activement chassés dans le cadre d'un programme gouvernemental qui les considérait comme des prédateurs nuisibles, ce qui a considérablement réduit leur nombre5. Depuis l'arrêt de ce programme, les populations de phoques sont remontées selon un modèle à peu près logistique6.
Crédit d'image : "Environmental limits to population growth: Figure 2," par OpenStax College, Biology, CC BY 4.0. Les données du graphique ont été extraites de Huber et Laake5, comme indiqué dans Skalski et al6.
Le graphique ci-dessus montre que la taille de la population peut rebondir, en dessous ou au-dessus de la capacité de charge. Il est fréquent que les populations réelles oscillent continuellement autour de la capacité de charge, au lieu de former une ligne parfaitement plate.

À retenir

  • La croissance exponentielle a lieu lorsque le taux de croissance d'une population par habitant reste le même, quelle que soit la taille de la population, ce qui implique que la population croît de plus en plus rapidement à mesure qu'elle augmente. Ceci est représenté par l'équation :
    dNdT=rmaxN
    La croissance exponentielle produit une courbe en forme de J.
  • La croissance logistique se produit quand le taux de croissance d'une population par habitant diminue à mesure que la taille de la population tend vers un maximum, ou capacité de charge (K), imposé par les ressources limitées. Ceci est représenté par l'équation :
    dNdT=rmax(KN)KN
    La croissance logistique produit une courbe en forme de S.

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Pas encore de posts.
Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.