Formule des rayons de Bohr : démonstration

dans le modèle de bord on représente l'atome d'hydrogène par le noyau chargée positivement un proton autour duquel gravite un électron selon une trajectoire orbite circulaire unis font donc imaginons que l'électron circulent dans ce sens dans le sens inverse des aiguilles d'une montre je peux représenter son vecteur vitesse dans gens comme ceux ci à la trajectoire le vecteur vitesse et puisque le mouvement est circulaire uniforme cela signifie que la norme de ce vecteur vitesse et constante tout le long de la trajectoire ont bien que ce modèle ne représente vraiment pas la réalité il est très utile pour pouvoir étudier un concept important dont on va parler dans cette vidéo c'est ce qu'on appelle le rayon de bord est en effet à partir de ce modèle eh bien on peut déterminer l'expression de la valeur du rayon de cette orbite circulaire que je note ici petit air et pour déterminer l'expression de ce rayon on va faire une démonstration à partir de l'étude de ce système une démonstration tout à fait physique donc il est aussi tout à fait possible de passer directement à la vidéo suivante dans laquelle on va présenter les résultats de cette démonstration sans rentrer dans les détails des lois et des hypothèses qu'on a utilisé ce qu'on va commencer à faire ses affaires en fait le bilan des forces qui s'applique à cet électron cet électron il ressent une force électrique d'attraction vers le proton que je vais noter comme ceux-ci f1 dix petites forces électriques c'est une force centripète diriger vers l'intérieur du cercle et vers le centre du cercle vert le proton et on connaît la norme de cette force qui est défini par la loi de coulon la norme de cette force électrique et définit ainsi c'est le produit deux cas la constante de coulon fois les valeurs absolues des charges des deux corps qui sont en interaction donc je ne t'ai q1 et q2 donc la valeur absolue de q1 charge du corps un fois q2 charge du corps de donc ici qu un ça va être la recharge du proton et plus de la charte d'électrons ceux-ci / la distance au carré entre ces deux corps donc errecart est ce qu'il faut noter également c'est que qu'a la constante de coulon on peut aussi à trouver sous la forme un sur quatre pie x et pylônes 0 et toulouse 0 étant la permissivité du vide ainsi qu un représentant à la charge du proton à charge du proton elle vaut petit e et q2 l'achat de l'électron la recherche de l'électron elle vous en faites moi c'est une charge négative et comme on prend les valeurs absolues je me retrouve pour l'expression de cette force pour mon électrons ici qu est égal à 4 x e fois eux puisque je prends les valeurs absolues à chaque fois / r carré c'est à dire du coup la force électrique qui vaut qu'à fois et au carré / r au carré on a donc une force centripète qui s'applique à notre électrons qui a un mouvement circulaire uniforme et dans ces conditions la seconde loi de newton s'écrit d'une manière particulière puisque dans ce cas la somme des forces appliquées c'est égal au produit de la masse de l'électron ici que jean-louis m 1,10 petit e x l'accélération centripète donc la seconde loi newton elle s'exprime en normes de la façon suivante la somme des forces appliquées ici la force électrique est égal au produit de la masse de l'électron x l'accélération centripète que notre à 1,10 et et l'accélération centripète c'est égal à décaré / r donc la norme du vecteur vitesse au carré / le rayon de cette orbite circulaire nous pour en savoir plus par rapport à cette accélération centripète et à cette valeur de lever carrés sur r on peut se référer aux vidéos aux articles du chapitre de physique sur les forces centripètes donc si j'égalise ces deux expressions ici je me retrouve donc avec k fois et au carré / errecart est donc la première expression de fp qu'est donc égale à mas de l'électron x vitesse de l'électron carré / le rayon je vais exprimer la vitesse à partir ici de cette expression je les sens un petit peu donc je peux déjà simplifiée par air des deux côtés enlever le cas réussi et puis simplifiée par terre et isoler la vitesse au carré donc ma vitesse au carré c'est égal à quatre fois le au carré / r fois et me voilà une première expression de ma vitesse et on va trouver une autre expression de la vitesse à partir de l'étude du moment cinétique donc je vais changer de couleur je prends du orange la suite de cette démonstration donc le moment cinétique on le note grand elle donc il s'agit d'un vecteur ici on parle du moment cinétique grand elle par rapport à eau donc par rapport en fête au centre de cette orbite circulaire donc au centre de la donne au niveau du noyau et ce moment il signifie qui est égal en fait un produit vectorielle entre deux vecteurs le vecteur que juno tr avec une flèche qui représente en fait ce vecteur ici entre le centre oh et puis un point du cercle et lorsque l'électron est à cet endroit là on a également un autre vecteur qui va être important c'est le vecteur quantité de mouvement que je représente comme ceci qu'on note p ce moment cinétique est donc égale au produit vectorielle de ces deux vecteurs r b avec le vecteur quantité de mouvement qui est égale au produit mast d'électrons fois le vecteur vitesse donc si j'écris ça ici elle s'est donc les gars là est reproduit vectorielle masse vecteur vitesse et si je passe en norme je peux écrire donc que la norme du moment cinétique c'est égal à air la norme du vecteur r x la masse de d'électrons x la norme du vecteur vitesse petit v x sinus tête-à tête à estang l'angle entre ces deux vecteurs le vecteur air ici est le vecteur p orte tu as et un angle droit il vaut 90 degrés ou qui sur deux est finie depuis sur deux ça vaut un donc la norme du moment cinétique cr x m e x v est là niels bohr mêmes hypothèses crucial il dit que ce moment cinétique cette norme du moment cinétique grand elle elle doit être quantifiées elle ne peut pas prendre n'importe quelle valeur elle prend forcément une valeur qui est le produit d'un monde entier qu'on note n x h sur deux pays agitant la constante de planck donc à partir de ces deux expressions du moment ce mythique on a donc le produit rayons x mas électrons fois vitesse qui est égal à n x h sur deux puits n étant en entier et ça est donc issu du fait de l'hypothèse de nick sport qui dit que la norme du moment cinétique elle est quantifié à partir de ça je peux déduire une autre expression pour la vitesse qui est donc égale à n x h sur deux pays fois air x mas de l'électron donc là il ya deux expressions pour la vitesse là c'est l'extrême vais au carré je ne vous garez kiéthéga la haine au carré x h au carré divisé par quatre picard et errecart et masse de l'électron au carré et donc si j'égalise ceci est ce si je changeais de couleur pour voir quoi donc la suite j'obtiens cas x e carré / r masseube électrons qui est égal à cette expression ici n au carré h au carré / 4 puis au carré errecart et masse de l'électron au carré donc là je peux simplifier on voit par air et par match d'électrons dans le vent l'écart est ici déjà dans un premier temps ce qui me donne qu'à eux au carré qui est égal à m ² achkhar et divisé par quatre picard et r masse de l'électron mon objectif d'exprimer le rayon petit air donc je vais extraire le rayon de cette égalité en deux étapes donc d'abord j'ai donc qu'à fois au carré x 4 clics art et foi ère fois maso électrons qui est égal à n au carré h au carré et de là je déduis donc que petit air le rayon est égal à l occar et x h au carré ni visé par cas fois et au carré x 4 puis au carré x mas de l'électron donc on voit que le rayon il est égal à un nombre entier n étant un nombre entier n o car est aussi un nombre entier donc un moment team x cette valeur ici qui est donc forcément homogène en longueur donc ça c'est homogène à une longueur et on va calculer ce que ça fait donc ça c'est égal à à chevaux 6,6 126 x 10 - 34 la constante de planck que dit vise qu'à vos 9 10 puissance 9 et au carré ça fait 1,6 x 10 - 19 au carré x 4 puis au carré x la masse de l'électron qui est 9,11 x 10 - 31 kg j'ai juste oublié le carré ici donc si je sort la calculette pour réaliser ce calcul je vais commencer par calcul est le dénominateur donc 9 x 10 puissance 9 x 1,6 x 10 - 19 au carré x 4 x pied au carré x 9,11 fois dix puissance moins 31 et donc h au carré ça fait 6,6 126 x 10 puissance moins 34 le tout au carré que divise donc le dénominateur ce qui me donne environ 5,3 x 10 main on se mettre soi à peu près 53 picot m donc ça fait à peu près 5 3 x 10 puissance moins 11 m c'est à dire à peu près 50 3 picot m donc qu'est-ce que ça veut dire ça veut dire que mon rayon ici petit air il peut s'exprimer sous la forme n au carré fois la valeur de ce rayon ici qu'on appelle le rayon de bord etc on note à 0 qui est donc une constante puisque à l'intérieur de ce calcul on n'a que des constantes constante de planck constante de coulon pile la charge de l'électron la masse de l'électron donc mon rayon je peux l'exprimer sous cette forme sous ce produit produit d'un entier et de ce rayon de bord donc ça veut dire que mon rayon ne peut pas être égal à n'importe quoi finalement le rayon ici il est quantifiée certaines valeurs seulement 100 possibles pour ce rayon parce qu'on a eus quantification de la norme du moment cinétique et bien on a également une quantification des rayons possible pour l'électron et quand n est égal à 1 on note alors air qui vaut 1 au carré fois à zéro c'est à dire air qui vaut à 0 et en fait dans cette expression pour être plus exact on note air indice n est en fonction du nombre entier qu'on va avoir on va avoir un 10-1 l indice de l indice 3 et on va avoir un produit du rayon de bord et on verra beaucoup plus en détail dans les vidéos suivantes à quoi ça correspond et quelles sont les conséquences d'avoir quantifier le rayon et d'avoir pu déterminer le rayon de bord