La croissance exponentielle et logistique des populations

disons que nous partons d'une population 2000 lapin et nous savons que cette population croît de 10% par mois ce que je vais explorer sait comment cette population croît si elle croît à une vitesse de 10 % par mois donc ce qu'on va d'abord représenté ici c'est un tableau donc voilà notre tableau on a du côté gauche l'émoi est du côté droit la population est donc aussi que au mois 0 donc on a une population 2000 lapin qu'est ce qui se passe alors après le premier mois la population a crû de 10 % et augmenté de 10 % c'est en fait la même chose que x 1,1 donc là c'est à population initiale on va là x 1,1 par 10% donc un + 10 % c'est 1,1 et le résultat du coup on pourrait écrire 1100 ici après un mois mais je vais plutôt écrire 1000 x 1,1 voyons voir maintenant ce qui se passe après le deuxième mois au début du mois donc on aura la même heure à la population de la fin du premier mois 1000 x 1,1 et donc de nouveau on va x 1,1 puisqu'on a toujours une croissance de 10% et donc en fait on obtiendra à 1000 x 1,1 fois encore 1,1 et ça on peut écrire comme fois exposants deux peut-être que tu remarques déjà l'émergence d'un pattern d'un motif qui se répète qu'est ce qui se passe donc si on prend le 3e mois on va nouveau multiplié ceci par un donc on aura mille fois un excuse en 2 x 1,1 c'est en un exposant 3 donc si on va à notre aîné mois aux moyennes dans le futur ce qu'on obtiendra ses 1000 x 1,1 exposants n est donc on peut écrire ça sous forme de sous la forme d'une expression on a notre population paie qui dépend du nombre de mois donc on ap de haine qui est égale à 1000 fois un virulent exposants n et on peut dire ok bascoul ça n'a pas l'air d'être des nombres complètement farfelu mais pensons à ce qui se passe dans dix ans dix ans et 120 mois donc la populace ce sera mille p220 ce sera mille fois 1,1 exposants sont en vente d'accord on va calculer c'est avec une super calculatrice puisque faire ça de tête c'est quand même un peu compliqué donc on à 1,1 exposants 120 qui nous donne environ 93 milles et donc ceci fois mille on obtient donc un an qu'est nenon 3 millions environ 93 millions on va écrire ça ici donc environ 93 millions ça veut donc dire que par rapport à notre population de départ on a fait foi 93000 donc si on s'intéresse à ce qui se passe au cours de dix ans plus tard on va voir 93 mille fois 93 millions donc en fait ça paraît extrêmement rapide comme tu peux voir 10% par mois c'est c'est rapide mais en fait c'est pas totalement bizarre pour une population de lapins qui n'est pas limité en terme d' espaces de nourriture et qui n'a pas de prédateur si on veut mettre cette évolution sous forme de graphiques 4' ici donc on la kz2 y c'est notre population et l'ex dx et le temps si on représente cette fonction dans ce graphique on va donc obtenir quelque chose comme ça il va avoir cette forme de crosse de hockey donc si tu laisses les lapins se reproduire comme ça assez longtemps ben ils vont envahir toute la planète s'ils ont donc assez de nourriture est assez d espace pour le faire et comme tu as pu le remarquer je continue à dire s'il y aura assez de nourriture et a cédé ce passe en fait la réalité du monde elle est différente il n'y a pas de la nourriture à l'infini des espaces à l'infini il y à des prédateurs et de la compétition pour les ressources donc il ya une certaine limite dans la capacité de l'environnement à accueillir une certaine espèce donc ce qu'on vient de décrire c'est une croissance exponentielle une croissance exponentielle et pourquoi ça s'appelle comme ça et bien c'est parce que notre variable le n est donc la donne est la donnée variable du temps c'est donc l'exposant de notre fonction donc c'est une croissance exponentielle mais comme on ne peut pas avoir un nombre infini de lapin on ne va pas croître pour toujours et on va avoir une sorte de maximum que l'environnement que l'environnement peut réellement accueillir et donc l'évolution de la population qu'on va observer quand on est encore bien en dessous de la limite de l'environnement eh ben ça va effectivement ressembler à ce qu'on a ici à cette croissance exponentielle c'est raisonnable de la comparez donc à cette fonction mehal approche de ce maximum on va avoir une asymptote en fait qui va tu va se former pour se rapprocher de cette limite sans jamais la dépasser ça c'est donc juste un modèle on pourrait avoir une population qui va faire comme ceux ci et tu vas te dépasser puis redescendre et puis comme ça de manière un peu cyclique autour de la limite mais l'idée générale ici c'est donc on ne va jamais s'attendre à une croissance juste infinie et sans obstacle comme celle ci est cette courbe home movies si elle est souvent utilisée pour modéliser les populations particulièrement quand la taille de la population commence à atteindre cette capacité maximum de l'environnement cette courbe s elle s'appelle la croissance en logistique gisti qu il y a une fonction de logistique qui décrit ceux ci mais tu ne dois pas la connaître dans le cadre d'un cours d'introduction de biologie une croissance de logistique décrite par une fonction logistique du coup mais si tu es curieux d'en savoir plus on a des vidéos sur khan academy qui explique ce qu'est une fonction logistique et une croissance logistique et aussi une croissance exponentielle ces vidéos vont donc bien plus en détails là dessus l'idée générale c'est donc que si une population n'est pas limité par son environnement par la nourriture par ses ressources et par l'espace elle va croître exponentiellement mais une fois que cette population commence à saturer l'environnement la croissance exponentielle ne sera plus possible et c'est pourquoi ce modèle de croissance logistique correspond mieux à la réalité