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Formule de l'accélération centripète : calcul analytique

Démonstration de a = v^2/r. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

salut voudrais essayer dans cette vidéo de rendre un petit peu sympa la démonstration de la relation de l'accélération centripète qui nous dit que ac est égal à beccarelli visé par r alors le cdh avance que ça va pas être facile mais et tu vas essayer de me suivre on va faire ça analytiquement et on va déjà définir le problème donc on a déjà un petit peu parlé de l'accélération centripète on va considérer un objet ici en bleu la terre qui tournerait autour du soleil ici en jaune avec un mouvement circulaire uniforme et ça ça va être important il faut que le mouvement social cullers uniforme c'est à dire que la trajectoire est un cercle exactement donc le rayon va être constant et uniforme c'est à dire que la vitesse angulaire la variation de teta en fonction du temps va être constante on va considérer ce mouvement uniforme donc ça c'est la donnée du problème et donc dans la relation assez égale vo carré / r r c'est bien sûr le rayon de la trajectoire circulaire et v et bien c'est la norme de la vitesse ici j'ai tracé un repère qui est héliocentrique c'est à dire qui est centrée au centre du soleil un repère x et y en deux dimensions j'ai aussi tracer les vecteurs unitaire i et j ai bien la vitesse v qui dépend du temps bien sûr la vitesse elle va être à chaque fois tangente à la trajectoire et donc perpendiculaire au rayon air et donc aux vecteurs ici position r la norme de cette vitesse va être constante et ça ça vient aussi du fait que le mouvement est uniforme donc on va définir une dernière chose maintenant le rayon r c'est un vecteur finalement position pour la terre c'est un vecteur qui relie le centre du repère et la terre la norme de rl est constante et elle est égale à air air ne varie pas en fonction du temps mais en revanche le vecteur r lui est un vecteur qui varie en fonction du temps à un instant la terre est ici mais lorsque la terre se trouve un petit peu plus loin ici bien le vecteur il va se retrouver ici donc il varie en fonction du temps sa direction et son sens qui varient mais pas sa norme et donc de la même façon on va avoir le vecteur vitesse ici v qui va varier en fonction du temps mais pas sa norme sa norme va être tout le temps la même mais par contre sa direction à son sens changer voilà maintenant ceci étant dit on va pouvoir commencer à attaquer le problème est la première chose à faire ça va être de trouver une expression pour r on va chercher air en fonction d'eux y ait de gironval exprimé dans notre repère orthonormé origine on va exprimer air en fonction de jj pour ça on va utiliser quelque chose qu'on a déjà bien utiliser maintenant mais on va le rappeler encore une fois si on prend un vecteur air directement ici eh bien on va avoir sa décomposition avec sa composante horizontale ici qui va être air caussinus et arteta c'est l'angle qui est ici bien sûr ce vecteur là la composante horizontale de rcr cost état et la composante verticale cr sinus teta si tu vois pas d'où je sort s'abat soit tu regarde les vidéos précédentes soit tu refais tout simplement dans ce triangle rectangle qui est tracée ici avec les composantes de ce vecteur le vecteur verticale on peut le déplacer ici si tu écris le cosinus d'état et signent cet état tu va retomber sur ses de relation là ici bien sûr on multiplie par dix et j pour avoir un vecteur sinon c'est juste une longueur donc on a notre vecteur air qui est égal à air caussinus d'état alors là je vais rajouter une petite chose je vais dire teta de thé puisque lorsque air est ici en hâte et à qui vaut une valeur mais lorsque l'on considère ce r la teta est beaucoup plus grande honte et à lui-même varie en fonction de tes donc gr caussinus de teta qui lui même est une fonction de tes fois i + r sinus teta fois j on a exprimé le vecteur air en fonction d'eux y est j avec la valeur algébrique de sa composante horizontal et la valeur algébrique de sa composante verticale maintenant on veut l'expression de la vitesse puisque en fait tu te rends bien compte que petit à petit on part de r on passe par vais ensuite on va arriver à l'accélération de assez alors on peut écrire que v c'est égal à la dérive et du vecteur airs par rapport au temps et donc v qui est égal à d2r sur d'été eh bien on va prendre donc la dérive et de cette expression alors là on peut réduire air a deux composantes donc la composante horizontal et vertical mais finalement on va dériver une somme la dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivés je leur ai écrit eu plus v le tout prime c'est égal à une prime plus v prime barça c'est un petit rappel tu le sais déjà donc on va maintenant s'attaquer à la dérive et de r x caussinus de teta de tréfois il aurait ri ils sont constants puisque on a dit que le vecteur air varie en fonction du temps mais la norme elle elle est constante puisque le mouvement et circulaires donc r c'est une constante on leur ai écrit on n'y touche pas et aussi c'est une constante ici un vecteur qui ne bouge pas dans l'espace il est figé avec notre repère donc il est constant on va le réécrire après mais on va pas y toucher tout de suite donc on va chercher la dérive et de cosinus de teta de thé et là qu'est ce qu'on a on a une composée on a l'a composé de teta par caussinus donc on va appliquer la formule qui nous donne la dérive et de deux fonctions composé si j'ai eu 2 v le tout prime vient ça me donne une prime de v x v prime ça c'est la dérive et d'une fonction composer et donc je vais avoir la dérive et de cosinus de téte à la dérive et de cosinus c'est moins sinus donc j'ai moins sinus de teta de thé x et c'est là que le v prime intervient la dérive et de teta par rapport à tes donc j'ai des de teta sur d'été et là je peux maintenant reprendre mon i mais je vais faire la même chose de l'autre côté finalement c'est un petit peu pareil j'ai mon père je n'y touche pas la dérive et de sinus de teta c'est caussinus je prends caussinus de têtards de thé état dépend toujours de thé x mauvais prime et ça ça va être encore une fois des deux états sur d'été la dérive et de teta par rapport au temps et je réécris mon j ai maintenant qu'on est arrivé à une expression pour vetter a peut-être connu quelque chose ici j'ai écrit des deux états sur d'été autrement dit états primes de téoula dérivés de teta en fonction de tes et bien ça c'est égal à quelque chose qu'on écrit souvent oméga et oméga c'est la vitesse de rotation angulaire la vitesse angulaire donc c'est la façon dont état va varier en fonction du temps et oméga et constant puisque justement le mouvement est circulaire uniforme donc on peut écrire que omega et aygalades et de teta sur d'été et est constant donc je vais pouvoir factoriser par oméga et ne plus me trop me soucier dans les prochaines opérations maintenant on va continuer dans notre direction de la recherche des ac et pour ça on va devoir maintenant bas dérivés puisque maintenant assez l'accélération centripète et bien ça va être égal à la dérive et du vecteur vitesse par rapport au temps et maintenant on se lance donc il nous faut simplement dérivés ça en faisant comme si on avait factoriser par oméga et d'ailleurs et on va le faire tout de suite on va écrire air oméga et ensuite on va s'intéresser à l'intérieur de notre parenthèse ici à la dérive et 2 est bien dur est donc maintenant on va prendre la dérive et 2 - sinus et alors la dérive et de sinus c'est à cet égard-là caussinus d'état mais comme j'ai un moins bien je vais garder le moi et je vais avoir moins caussinus de têtards de thé et encore une fois maintenant je vais rajouter un oméga au mega cd de teta sur d'été et ce à un nouveau qui vient de la dérivation de sinus de teta de thé je rajoute mon petit é et j'ajoute ensuite la dérive et de cosinus de thêta ii t il a dérivé de cosinus tu est assez - sinus cet état donc je vais transformer mon plus en moins et je vais écrire que j'ai moins sinus de teta de thé et une nouvelle fois x oméga qui vient de la dérivation de teta de thé est toujours notre ve et primes et je vais enfin x j maintenant je vais pouvoir à nouveau réarrangé cette expression et je vais d'ailleurs même sortir 1 - comme ça parce qu'on a 1 - là et 1 - là donc on n'a qu'à factoriser par moins aussi donc je peut réécrire que à 2 c c'est égal à - r oméga au carré x caussinus de teta de thé x ou y plus sinus d'état fois j bon et maintenant si on reprend notre ère et qu'on le distribuer dans notre caussinus et dans notre sinus devrait reconnaître tout simplement l'expression du vecteur r donc en fait l'expression de ac elle est égale à - omega au carré x et on est d'accord que rct galère caussinus d'état fois e-plus air sea mist est à fois j donc tu amènes ton air là et là et tu obtiens l'expression du vecteur r maintenant on a une expression mystique et vectorielle maintenant qu'est-ce qui se passe si on prend la norme ac qui est égale 1 alors ici on a un scalaire dans finalement prendre la norme avait un vecteur x un scalaire c'est prendre la valeur absolue du scanner on est d'accord que le signe ici nous donne simplement une indication sur le sens du vecteur donc oméga au carré x la norme de r et là on a assez qui est des galas oméga au carré fois r maintenant on a presque fini pour pouvoir obtenir donc notre expression vo carré / rbh simplement falloir chercher à exprimer la vitesse angulaire c'est des deux états sur d'été comme on l'a vu mais nous ce qui va nous intéresser ça va être de l'exprimer en fonction de v et de r - alors là il faudra revoir la vidéo sur le mouvement angulaire si tu t'en souviens pas mais on n'avait que omega a été égal 1 la vitesse / le rayon du cercle trajectoire et donc si on reprend dans cette expression on n'obtient que ac est égale 1 oméga au carré soit donc vo carré / r au carré x air et donc on a un air qui se simplifient et on reste avec vo carré / r et voilà on l'infini on a démontré j'espère que c'était pas trop pénible avec des calculs que l'accélération centripète était égal à la vitesse au carré la norme de la vitesse du vecteur vitesse / le rayon de la trajectoire circulaire