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Champ électrique d'un plan infini et uniformément chargé : Partie I

Démonstration de la formule du champ électrique créé par un plan infini et uniformément chargé. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va calculer le champ électrique d'un plan infinie et uniformément chargé alors c'est sûr on peut se demander comme ça pourquoi est-ce qu'on calcule ça eh bien c'est important pour deux choses principalement tout d'abord c'est important parce que ce champ électrique e sera constant et que ça c'est plutôt rigolo parce qu'on s'y attend pas et la deuxième chose c'est que c'est extrêmement important pour comprendre des notions de capacité électrique par exemple et ce sera très utile pour la suite quand on parlera de condensateurs et c'est donc on va faire ça on va prendre un plan donc comme celui ci est ce plan eh bien je dis que il est chargé uniformément et que sa charge que j'appelle sigma et bien elle vaut qu sur ou à un séminaire donc cette densité basse bien une densité charge c'est une charge / une aire est donc là c'est une vue de profil que j'ai dessiné de profil donc voilà on a ce plan là alors d'ailleurs avant qu'on commence à rentrer vraiment dans les maths il ya une chose qu'il faut que je te dise en fait là on va vraiment faire des calculs un petit peu avancé et donc je préfère te dire tout de suite que si tu regarde cette vidéo depuis la playlist des calculs révise peut-être un petit peu les vidéos d'électro statique avant sur la place physique histoire de bien comprendre les lois utilisés etc et à l'inversé tu regarde cette vidéo depuis la playlist physique et que tu n'as pas suivi la playlist sur les calculs bien je te conseille de remettre cette vidéo à plus tard parce que là tu risque de trouver les calculs un peu déroutant et et de pas forcément tout comprendre que c'est ce que je te conseille donc maintenant on y va donc on a dit qu'on avait un plan est infini comme ceci donc là il part hors de l'écran et un arrière et et il part comme ça à l'infini aussi en vue de profil et donc sur ce plan un semis je vais placer une charge teste ma charge des ce positif comme les autres fois déplacé ici et cette charge test bien je vais l'appeler petit cul et bien et je veux aussi faire l'hypothèse que mon plan est chargée positivement donc voilà je place cette charge test alors on va nommer un petit peu le destin donc on va dire que le point là qui se trouve juste dessous la projection de telle façon que cette distance-là vas y petit h et voilà donc on va essayer maintenant de voir comment cette charge test interagit avec mon plan infime infinie et uniformément chargé alors pour faire ça tu vois on va considérer ont une petite portion ici deux mondes plan donc comme un point si tu veux du plan et on oublie tout le reste on considère que ce point là et on se demande comment ce point va interagir avec ma charge test alors tu vois déjà on va pouvoir travailler cette distance là est d'ailleurs lui donc j'ai oublié de dire ça on va dire c'est à une science petit air donc déjà je vais calculs cette distance ça tu vois qu'elle va être importante c'est la distance entre la charge du plan et la charge test et bien ça c'est facile j'utilise tu vois pythagore vu que c'est un triangle rectangle ici et comme ça c'est l'hypothénuse eh bien je sais que cette distance sera égale 1 h au carré plus cher au carré donc voilà donc maintenant que j'ai calculé cette distance je reviens des considérations au plus physique donc qu'est ce qui va se passer alors tout à l'heure tu te souviens j'ai dit que cette ce plan est chargée positivement et que ma charge test d'également donc je sais déjà qui va ça va donner lieu à une répulsion et en plus on avait vu que si je considère que ce point là et ce point là et bien lire la répulsion sera radial on va dire donc il y aura une répulsion comme ceci donc voilà on a trouvé ce qui se passait entre cette portion du plan infinie et uniformément chargé et ma charge test ici et là ce qu'il faut remarquer ce qui est intéressant c'est comme mon plan il est infinie par définition et bien je peux trouver un symétrique donc le symétrique par rapport à ce plan là par exemple qui se donc ici ou là on a la même distance que la et ou du coup si je réitère mon raisonnement physique et bien la répulsion entre cette portion du plan est finie et il n'y aura en charge et emma charge test donnera lieu à une répulsion comme ça et là tu vois on voit que ça va être ça va être sympa parce que finalement si je décompose mon vector donc on va juste écrire ça un petit peu plus loin parce que sinon ça va nous embêter au plus près alors on va dire que donc qu il écrit yeux là et donc voilà donc je reprends du bleu eh bien tu vois si je décompose ce vecteur ici donc on va dire que on a un repère pas comme celui-là on à y dans ce sens là et on a x dans ce sens ça se passait plutôt classique et bien là je peux dire que la composante selon x elle est comme ça et la composante selon grecque elle est comme ça tu es d'accord avec moi et bien là si je fais la même chose de l'autre côté je mettais m'apercevoir que ces deux composantes selon x mais deux composantes horizontal et bien elles vont s'annuler elles vont s'annuler tu vois elles sont deux mêmes normes de l'âme dans la même direction et de sens opposé donc finalement eh bien je m'aperçois que ce qui va compter et bien c'est les composantes selon selon y donc c'est que ces composantes là et tu vois je peux réitéré ce raisonnement pour absolument tous les points de l'espace j'en prends ici bien je le trouve une force comme ça mais je prends le symétrique dont je trouve une force comme ça et au final les deux composantes horizontale s'annulent et la composante les composantes qui ce qui ne s'annule pas sont verticales donc si maintenant pour bien comprendre je fais une petite vue de dessus comme ça dans mon plan il est infini donc ça ça continue comme ça de tous les côtés ma charge test elle est là et bien tu vois si je prends ce point là et ce point là et bien je trouve une composante verticale qui sort qui sort du plan et si je prends ce point là et ce point là et bien c'est pareil et si je prends ce point là et ce point là bien c'est pareil tu as compris en fait pour chaque point je peux trouver un symétrique de telle façon à ce que les composantes horizontale ça nulle et que finalement une reste une composante verticale donc finalement ce que ce que je viens de démontrer ici c'est que la composante net qui s'appliquera sur cette force sur 7 la force net pardon qui s'appliquera sur cette charge eh bien elle sera uniquement verticale donc là c'était la première chose importante à démontrer et donc on l'a fait on maintenant on qu'on m'a fait ça on peut commencer à faire un petit peu plus de calculs donc pour faire ça on va dire par exemple que au point à ce point ici eh bien je dis que le champ électrique vos indices hunt un cee au niveau de exactement à l'endroit où j'ai posé ma charge test est donc je vais essayer de calculer ce champ alors je viens de te dire finalement tu vois que c'était pas cette valeur-là du champ qui comptait c'était pas ça le vecteur c'était la composante selon y du vecteur et bien ça tu vois pour le calcul et j'aurai besoin en fait donc on va jaune j'aurai besoin de langues le terrain qui se trouve ici mais là je me dis zut je n'ai pas mais en fait si je les aime parce que tu vois donc si on se souvient de ce qu'on a vu en maths et de la géométrie classique et bien c'est le même des deux côtés vu que ces deux droites lasson concourantes donc je vois que je vais pouvoir calculer la composante verticales de mon vecteur champ électrique et donc je vais dire que si je vois que là ce vecteur là il vient il est censé vecteur cette partie là elle est adjacente à mon angle eh bien je vais dire que la composante selon y du vecteur e1 elle est égale à 1 x caussinus théding est en fête et bien caussinus teta je peux calculer facilement donc si je reprends ici caussinus d'état c'est la dja 100 sur l'hypothénuse et si maintenant je me place dans ce triangle là pour calculer et bien je vois que le côté adjacents et bien fava être h et que l'hypothénuse et bien c'est celle dont j'ai calculé la distance si tout à l'heure donc ses racines 2 h au carré plus air au carré donc voilà donc en fait là je vois que je peux je peux écrire que nos que la composante du vecteur eu un seul on y est bien ce1 x h / la racine de pêche au carré plus et rocard est donc là je viens de calculer la composante verticale du champ électrique en la position de ma charge test positive donc maintenant pour aller plus loin eh bien je vais considérer ce dessin en trois dimensions donc pour ça on va faire une vue un peu de perspectives on va appeler sam la perspective est saturé en perspective donc en fait on va essayer de tracer sa voie là comme ça donc là c'est toujours pareil ce plan il est ainsi emma charge test allez y si elle est ici et comme tout à l'heure je peux dessiner que sa projection elle est là et en fait autour de ce point je peux dessiner un faire finalement tu vois si je suis en perspective ça ressemble quelque chose comme ça une ellipse est donc ici on aère et tu vois bien qu'en fait c'est exactement la même chose que j'ai dessiné 6 mai en extrapolant c'est à dire que pour chaque point je peux trouver sont opposés et si je fais ça pour tous les points qui se trouve à une distance air de la projection et bien j'obtiens un cercle et maintenant je vais considérer non plus juste cette charge ici mais je vais considérer la nos chargés de rayon air autour de cette distinction et je vais me demander quelle est l'influencé de ma charge tests sur cet anneau pour ça eh bien je commençais par calcul et la charge de l'anneau charge de l'anneau est bien la charge cet anneau donc si par exemple je dis que cet anneau il est très très très très faim et que l'épaisseur de cet anneau cdr pour une toute petite distance tu vois c'est vraiment c'est une différence yen si tu veux et bien la charge de l'anneau que je peux noter qu l'ain 10,1 je peux dire que c'est égal 1 le rayon le la circonférence de cet anneau donc 2 pi r fois la largeur de cet anneau si la largeur est très petit et donc ça me donne ça 2 pierre x dr seulement dans le cas où dr est tout petit donc ça ça me donne l'air et moi j'ai dit que j'avais la densité de charge donc finalement je n'ai plus qu'à multiplier par sigma et là j'ai bien une ère fois une densité donc je trouve trop bien une charge nerveuse densité de charge donc je trouve bien une charge donc maintenant que j'ai calculé cette charge je peux calculer finalement le champ électrique de l'anneau donc le champ électrique de la non et bien ce champ électrique de l'anneau c'est pas plus compliqué qu'avant en fait on va déjà écrire la loi de coulon on va partir de là donc là forces électrostatiques de et de cet anneau eh bien ça va être d'abord rebâtir pour là nous on va décrire en général pour son souvenir bien c'est la constante 15 fois la charge que d'un du premier objet fois une deuxième charge / une distance au carré oui mais dans mon cas donc le petit kai reste plus que c'est une constante et q2 vient juste la q1 la charge de l'anneau et le petit cul reste petit cube qu'il s'agit de ma charge aux tests mais par contre la distance alors la distance tu vois finalement et bien c'est plutôt simple puisque tous ces points se trouve à égale distance de ma charge tests et cette distance et la distance en rose ici qui est la même ici qu'ils aient les mêmes ici que j'ai calculé l'un qui racines 2 h au carré plus et rocard et donc racine 2 h au carré plus air au carré donc voilà j'ai calculé le champ électrique de mon ami il me parla de pardon au carré tu vas non j'ai oublié et donc finalement ça s'annule donc ça me fait qu'à fois qu un indice à foix petit cul sur h au carré plus et rocard est la racine 120 est donc maintenant pour qualifier le champ électrique et bien c'est extrêmement semble le champ électrique de l'anneau ça va juste être là forces électrostatiques donc de l'anneau ses cheveux / ma charge test est donc ça va me donner la constante qu fois la charge de l'anneau / h au carré plus est rocard est donc alors là je suis embêté j'ai pu trop de place on va faire un petit peu de place à continuer calcul comme ça donc on continue et donc j'imagine le champ électrique de mon anneau maintenant j'avais dit tout à l'heure dans le dessein que je viens effacé que tu te souviens c'est la composante selon y qui compte et donc la composante selon une grecque d'après ce que j'ai écris ici et bien c'est juste c'est juste le champ électrique x caussinus de teta donc je peux écrire que c'est la champ électrique de l'anneau selon une grecque et bien c'est le champ électrique de l'anneau donc qu'à fois qu un indice à sur h au carré plus air au carré x x et bien h sur racine 2 h au carré plus faire au carré selon ce que j'ai écris ici donc là je peux développer mon calcul ça me donne qu'à fois qu un 10 1 x h / h au carré plus air au carré puissance 3 2 tu es d'accord c'est comme si j'avais 2 2 me +12 mis trois demis et donc là je ne me reste plus qu'à remplacer qu'un dit ça que j'ai calculé ici en verre pour avoir l'expression finale de la composante verticale du champ électrique de l'anneau qui me donne alors qu x h x 2 go sigma mettre d'abord x 2 pi rdr / h au carré du ce r au carré puissance 3 2 me et donc voilà donc là tu vois j'ai calculé la composante verticale du champ électrique de l'anneau dont finalement la résultante du champ électrique de l'anneau sur ma charge test ici petit cul et donc là tu te dit être d'accord on a calculé ce champ électrique pour un anneau mais on n'a pas calculé pour tous le plan mais en fait si on a quasiment terminé puisque là j'ai calculé pour une distance air de la projection mais je peux faire ça pour toutes les distances r20 à l'infini et tu vois qu'en ce moment tout ça est bien j'aurai finalement la résultante du plan a fini sur ma charge donc là on va peut être s'arrêter là comme ça on va prendre un petit peu de repos souviens toi que moi et on continue tout ça dans la prochaine vidéo