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Champ électrique d'un plan infini et uniformément chargé : Partie II

Champ électrique d'un plan infini et uniformément chargé. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

donc tu te souviens quand la vidéo précédente on avait 7 calculée le champ électrique d'un plan infinie et uniformément chargé mais on n'était pas arrivé jusqu'au bout ce qu'on avait fait c'était qu'on avait calculé cette grandeur ici qui est le champ électrique d'un anneau de rayon airs par rapport à la projection de ma chair je teste où match test est placé à une hauteur as she par rapport à mon plan est donc on était arrivé à cette expression un petit peu plus compliqué et tuent tout vient pour ça on avait notamment d'utiliser utiliser des arguments de symétrie pour démontrer que donc si je reviens ici que pour chaque point on peut trouver un point symétrique tels que les composantes selon hitfix s'annuler donc la résultante totale du champ électrique sera selon y penser comme ça qu'on était arrivé à simplifier un peu le problème est finalement un calcul est donc cette grandeur ici donc finalement on était arrivé à faire ça pour ramano et maintenant ce qui nous reste à faire est bien c'est de faire ça pour tous les anneaux en partant de zéro à l'infini et donc comme ça on devrait arriver à calculer le champ électrique émis par ce plan infinie et uniformément chargé pour une charge placée à une hauteur h de ce plan infinie et uniformément chargé donc on y va on commence par faire de la place et on va garder notre expression qu'on a calculé donc pour bien souvenirs on va commencer par un petit dessin donc on va reprendre une vue en perspective comme celle ci voilà on se souvient que notre charge testé placé ici ça correspond à une hauteur h au dessus du plan et je me place à une fin je m'étais placé en tout cas tout à l'heure à une distance air et que j'avais calculé donc cette valeur ici c'est la résultante du champ électrique qui s'appliquent sur ma charge pour toutes et tous les points passés à une distance air de la projection de cette charge sur mon plan infinie et uniformément chargé donc maintenant on a tout en tête on est prêts on peut continuer de calcul donc allez on y va ça va pas être très long mais il faut s'accrocher un petit peu alors on a dit que finalement ce qu'il fallait mais en face c'est la somme de toutes ces contributions aux champs électriques de zéro à l'infini et donc ça ça revient exactement finalement à faire une intégrale donc pour calculer le champ électrique du plan infinie ainsi ni hop je vais dire que si je l'appelle eu ce champ électrique de mon plein signify m'en charger sait rien d'autre que l'intégrale de zéro à l'infini 2 ma grandeur ici donc si j'ai écrit directement de cas x h x fille ma foi de pi r x dr / h au carré plus air au carré à la puissance 3 2 me donc voilà c'est cette intégrale qu'il faut que je calcule donc on s'affole pas c'est pas si compliqué que ça on va faire ça par étapes déjà on va sortir toutes les constantes tout qui tout ce qui ne dépend pas de r puisque tu d'accord si j'intègre selon m tout ce qui ne dépend pas de r eh bien je n'ai pas à l'intégrer donc ça me donne ça va me donner donc qu'à h sigma le 2e en fait je vais le garder parce que tu verras que ça va nous aider à calculer l'intégrale donc j'en étais sigma pie x l'intégrale de zéro à l'infini noms qui me reste 2 rdr de m x dr / h au carré plus air au carré à la puissance 3 2 donc voilà j'ai simplifié un tout petit peu mon problème maintenant il faut que je calcule cette intégrale ici alors pour faire ça il ya plusieurs façons de le faire donc là moi je vais plutôt utilisé un changement de variables tu sais ça consiste à dire que je ne vais plus calculer cette intégrale 1er mai en outre variables que j'ai choisis tels la fin de manière à simplifier mon expression et l'a donc le changement de variables qu'on va faire on va l'écrire ici jusque là c'est vraiment juste des maths donc on écrit ça à part dont on fait le changement de variables et la variable qui va bien si je l'appelle lui et bien ça va être ici ce qui est sous sous la parenthèse ici puisque ce qui me donne l'intuition tu vois c'est que à l'intérieur gr au carré et que l'a finalement de rdr ça ressemble fortement à la dérive et de ce truc là donc ça me donne l'impulsion de poser que ma nouvelle variable lui et bien c'est h au carré plus air au carré donc maintenant je fais mon changement de variables comme on m'a appris donc déjà je calcule la différentiel donc c'est des u par rapport dr ça va juste me donnait de r est ce un simple clic bien que des bus est égal à 2 rdr tu vois c'est ce qui m'avait donné l'intuition j'ai raison j'y qu'effectivement je retrouve ici cette valeur là de rdr et maintenant je calcule donc là primitif donc la primitive de de rdr sur h au carré plus air au carré le tout à la puissance 3 2 me si maintenant je passe avec u eh bien c'est la primitif 2 juste d u / ou à la puissance 3 2 ou là tu es d'accord eu 6 ch au carré plus m² et bien sûr race sur un choc est réputé rocard et puissance 3/2 c'est juste ça et ça eh bien si je l'écris sous cette forme-là donc en me disant juste que c ur puissance -3 2010 ou bien tu vois que c'est une primitive extrêmement classique et facile à calculer je vais juste dire donc que ça me fait ça doit me faire moins deux une puissance - année donc je vérifie si je dérive ça ça me fait moins 1 25e 3/2 et là il ya un moins un demi qui tombe ça sans lèvres ça fait moins un demi fond à -2 donc ça fait bien donc tu vois c'est bien la bonne primitif est donc maintenant si j'écris fait primitive en fonctions de m puis c'est quand même un variable d'enterrer et bien ça me dit que c'est moins de knoxy je passe directement au dénominateur oui puisque moins de puissance - 1/2 c'est pareil que 1 se raffine donc ça me fait moins 2 / racines 2 h au carré plus air aux caries donc voila tu vois j'ai calculé la primitive en utilisant changement de variables donc je suis d'accord il fallait trouver sur le banc de variables mais une fois qu'on l'a trouvé c'est vraiment pas compliqué donc maintenant je peux reprendre mon petit calcul ici du champ électrique du plan ont fini en remplaçant mon intégral par la primitif donc ça va me donner que enfin par la différence et des primitifs du coup donc je vais pouvoir dire comme j'ai une autre constante dit si tu vois je vais la sortir pour pas m'embêter avec les constants donc ça va me faire moins 2 k k h sigma pis tout ça ça reste de 20 x la primauté de cette fonction qui est un sur racine 2 h au carré plus est rocard est prise entre eux zéro et l'infini et alors tu viens pour l'infini ça revient juste à prendre une limite en faites pas ce que je peux pas calculer la valeur de cette fonction l'infini mais là ça va être plutôt simple tu vois donc si je continue et que je dis donc les constantes toujours pareil il reste moins de k&h sigma pie x donc cette fonction en l'infini même si je remplace air par l'infini l'infini au carré ça me fait l'infini l'infini plus quelque chose d'un tel fonds l'infini et racines de l'infini ça me fait l'infini donc finalement ça me fait un sur l'infini et la limite de sa bien c'est zéro tu vois un sur l'infini ça me donne bien 0 - la valeur de cette fonction au 1er égal 0 lorsque n et r et gagnent 0 et bien sous la racine il ne me reste que h au carré donc racine 2 h au carré ça m'fait h et donc ça me donne juste un / h voilà maintenant je m'en suis sorti avec cette intégrale et j'ai plus qu'à finir le calcul donc ça me donne les moins ici vont s'en aller donc il va le rester de k&h sigma pis / acheter d'accord donc là je vois que les h 120 et qui me reste donc deux cas sigma pis et donc voilà j'ai enfin réussi à calculer la valeur du champ électrique émis par mon plan infinie et uniformément chargé à une distance h et là je vois qu effectivement fait mon champ il dépend pas d'eux at il donc ça revient farges ans que je te disais au tout début de la première vidéo ce champ il est uniforme il est uniforme en tout point de l'espace et donc là j'ai démontré que ce chant était bien l'uniforme qui ne dépend pas de la hauteur de la charge qui m'a permis d'arriver à cette expression ce qui veut dire que si je me place ici ou ici ou ici ou en dessous du plan ont plus loin peu importe eh bien le champ électrique à cette même valeur qui vaut deux cassis glapit m'ont d'ailleurs je vois qui dépend de pi donc ça c'est plutôt rigolo mais c'est un autre problème mais il dépend surtout de sigma c'est la seule chose dont il dépend donc là ce qui va donner la valeur du champ électrique émis par un plan infinie nie formellement chargé et bien c'est la densité de charge de ce plan ont finalement j'ai démontré ici que je pouvais calculer ce champs électriques émis par un plan infinie tout simplement enfin tout simplement d'accord c'était pas tout simple mais en plaçant une charge de test en commençant par calculé pour un anneau choisi puis en intégrant pour tous les rayons et que ça me donnait finalement une valeur qui dépend uniquement de la densité de charge donc tu vois maintenant j'espère que tu es convaincu que ça existe les champs électriques impunis a fini une ferme par non et voilà qu'on m'a démontré donc je dis à puce dans une autre vidéo