Qu'est-ce que la poussée d'Archimède ?

Quiconque a déjà tenté d'atteindre en nageant le fond d'une piscine pour y récupérer ses lunettes s'est rendu compte à quel point c'était difficile. En effet, une force tend à s'opposer au corps qui descend vers le fond et à pousser ce corps vers la surface. Cette force de poussée verticale qui s'applique à tout objet immergé dans un fluide s'appelle la poussée d'Archimède.

Pourquoi donc un fluide exercerait-il une telle force sur un objet immergé ? Cette force est due à la différence de pression entre la base et le sommet de l'objet immergé. Pour illustrer, on reprend l'exemple de la boîte de cassoulet immergée dans une piscine.

Comme la pression au sein du fluide ($P=\rho gh$‍) augmente avec la profondeur, la force exercée par le fluide sur le sommet de la boîte de conserve, orientée vers le bas, est plus faible que celle qui est exercée sur la base du cylindre et orientée vers le haut.

Voilà essentiellement en quoi consiste la poussée d'Archimède. Elle vient simplement du fait que la force de pression exercée sur la base d'un objet (c.-à-d. la partie la plus immergée) est toujours plus grande que celle exercée sur son sommet (la partie la moins immergée). Autrement dit, la force de pression de l'eau qui pousse l'objet vers le haut est toujours plus grande que celle qui le pousse vers le bas.

Maintenant que l'on sait qu'un corps immergé dans un fluide est soumis systématiquement à la poussée d'Archimède, on va chercher à déterminer, dans les paragraphes suivants, l'expression de cette force.

On note la force exercée sur la base de la boîte de conserve (et qui la pousse vers le haut) $F_{montante}$‍, et la force qui s'exerce sur le sommet de la boîte (et qui la pousse vers le bas) $F_{descendante}$‍. On exprime la force totale exercée sur la boîte de conserve (qu'on appelle poussée d'Archimède $P_A$‍) simplement en prenant la différence entre les valeurs de la force montante $F_{montante}$‍ et de la force descendante $F_{descendante}$‍.

Grâce à la définition de la pression $P={\displaystyle \frac{F}{S}}$‍, on exprime la force sous la forme $F=PS$‍ . La force exercée sur la base de la boîte de conserve s'écrit donc $F_{montante}=P_{base}S$‍ et la force exercée sur le sommet $F_{descendante}=P_{sommet}S$‍ . En substituant les forces par ces expressions dans l'équation de $P_A$‍, on obtient :

A partir de la formule de la pression hydrostatique $P=\rho gh$‍, on exprime les pressions au niveau de la base et du sommet de la boîte. La pression au niveau de la base est donc $P_{base}=\rho g{h}_{base}$‍, et la pression au niveau du sommet est $P_{sommet}=\rho g{h}_{sommet}$‍ . En remplaçant dans l'équation précédente, on obtient :

On remarque que chaque terme de l'équation contient l'expression $\rho gS$‍. On simplifie donc l'équation en mettant $\rho gS$‍ en facteur :

Ce terme $h_{base}-h_{sommet}$‍ est très important car il est précisément égal à la hauteur totale de l'objet immergé. (voir figure ci-dessous)

On remplace donc dans l'équation le terme $(h_{base}-h_{sommet})$‍ par la hauteur de l'objet, $h_{boîte}$‍ :

Comme le produit de la surface d'un cercle $S$‍ par une hauteur $h$‍ correspond au volume d'un cylindre, on peut remplacer $S\times h_{boîte}$‍ par un volume $V$‍. Comme il s'agit d'un cylindre, on serait tenté de penser que le volume dans cette équation correspond au volume de la boîte de conserve. Or, ce volume correspond également au volume d'eau déplacé par la boîte de conserve, c'est à dire au volume de l'eau qui se trouvait dans l'espace maintenant occupé par la boîte de conserve.

On remplace donc le terme $S\times h$‍ par un volume $V$‍, mais ce volume correspond-il au volume de la boîte de cassoulet ou au volume de fluide déplacé ? Ce détail a son importance, car ces volumes sont différents si la boîte de conserve n'est pas entièrement immergée. La réponse est le volume de fluide déplacé, car c'est bien le volume de fluide déplacé qui détermine l'amplitude de la poussée d'Archimède. On le note donc $V_{fluide}$‍.

Voilà la forme finale de l'amplitude de la poussée d'Archimède qui s'exerce sur une boîte de conserve (ou sur tout autre objet) immergée entièrement ou partiellement dans un fluide. On remarque que la poussée d'Archimède ne dépend que de la masse volumique $\rho$‍ du fluide dans lequel l'objet est immergé, de l'accélération de la pesanteur $g$‍, et du volume de fluide déplacé par l'objet $V_{fluide}$‍.

Étonnamment, la valeur de la poussée d'Archimède ne dépend pas de la profondeur à laquelle l'objet sur lequel elle s'exerce est immergé. En d'autres termes, du moment que la boîte de cassoulet est complètement immergée, elle peut sombrer de plus en plus profondément, cela ne changera pas la valeur de la poussée d'Archimède à laquelle elle est soumise. Cela peut sembler étrange vu que la pression augmente avec la profondeur. Mais il faut garder à l'esprit que la pression qui s'exerce sur le sommet de la boîte et celle qui s'exerce sur sa base augmentent de la même manière, et donc leur différence reste constante.

Comment se fait-il que certains objets coulent au fond de l'eau, alors qu'ils sont aussi soumis à la poussée d'Archimède qui les poussent vers la surface ? Tout simplement parce que tous les objets sont non seulement soumis à la poussée d'Archimède, mais également à leur propre poids, et dans le cas des objets qui coulent, la valeur de leur poids est supérieure à celle de la poussée d'Archimède qu'ils subissent. Si leur poids était moins important que la poussée d'Archimède, ils flotteraient. On démontre que si la masse volumique moyenne d'un objet (quelque soit sa forme) est plus grande que celle du fluide dans lequel il est immergé, cet objet coule.

On écrit en général la formule de la poussée d'Archimède en fonction de $g$‍ et $V_f$‍ de la manière suivante :

On remarque que le terme ${\rho }_f{V}_f$‍ est simplement le produit de la masse volumique du fluide par le volume de fluide déplacé. Or, d'après la définition de la masse volumique $\rho ={\displaystyle \frac{m}{V}}$‍, on a $\rho V=m$‍. Donc le terme ${\rho }_f{V}_f$‍ correspond à la masse du fluide déplacé. On peut donc remplacer dans la formule de la poussée d'Archimède le terme ${\rho }_f{V}_f$‍ par $m_f$‍, la masse de fluide déplacé :

On voit donc que la poussée d'Archimède est égale au produit de la masse de fluide déplacé par l'accélération de la pesanteur, ce qui est en fait le poids du fluide déplacé ! On peut donc réécrire la formule donnant la valeur de la poussée d'Archimède ainsi :

Cette équation illustre le théorème d'Archimède dont l'énoncé est le suivant : Tout corps plongé dans un fluide subit une force verticale, dirigée vers le haut, et dont l'intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé ; cette force est appelée poussée d'Archimède. Pour connaître la valeur de la poussée d'Archimède subie par un objet, il suffit donc de calculer le poids du fluide que cet objet a déplacé.

Ce théorème a été mis au point par Archimède, un savant Grec de Syracuse au cours du III${}^{\text{e}}$‍ siècle av. J.-C., quand le roi Hiéron II de Syracuse lui demanda de vérifier que sa couronne était bien constituée d'or massif et non d'alliage d'or et d'argent. Réfléchissant au moyen de réaliser le test sur la couronne sans la détériorer, Archimède se serait rendu compte alors qu'il était au bain publique que les objets dans l'eau ne flottaient pas tous de la même manière. Après avoir posé les bases de son théorème, il compara le volume d'eau déplacé par la couronne à celui déplacé par une quantité d'or pur ayant un poids identique, pour se rendre compte que la couronne délaçait plus d'eau en s'immergeant ! Il en déduisit donc que la couronne était bien constituée d'argent, l'argent ayant une plus petite masse volumique que l'or, un plus grand volume d'argent était donc nécessaire pour obtenir la même masse que le tas d'or témoin.

Il ne faut pas oublier que la masse volumique $\rho$‍ dans la formule de la poussée d'Archimède $P_A={\rho }_f{V}_{f}g$‍ fait référence à la masse volumique du fluide déplacé, et non à celle de l'objet immergé.

Il faut garder à l'esprit que le volume dans la formule de la poussée d'Archimède est celui du fluide déplacé (en d'autres termes le volume de la partie immergée de l'objet), et que ce volume n'est pas nécessairement celui de l'objet entier.

On a tendance à penser que l'intensité de la poussée d'Archimède augmente à mesure que l'objet sur lequel elle est appliquée coule plus profondément dans le fluide. Mais la poussée d'Archimède ne dépend pas de la profondeur. Elle ne dépend que du volume de fluide déplacé $V_f$‍, de la masse volumique du fluide ${\rho }_f$‍, et de l'accélération de la pesanteur $g$‍.

Beaucoup de gens n'associent Archimède qu'à un homme sortant de son bain en criant "Eurêka !" ("J'ai trouvé !" en Grec). La légende veut en effet qu'il soit sorti des bains publiques tout nu après avoir réalisé comment résoudre le problème du roi Hiéron. Bien que cette légende soit très amusante, il est tout aussi important de se souvenir de l'énoncé du théorème : "Tout corps plongé dans un fluide subit une force verticale, dirigée vers le haut, et dont l'intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé."

Un nain de jardin de $\mathrm{0,650}\text{ kg}$‍ rentre du boulot (heigh ho!) de manière un peu trop joyeuse et tombe dans un lac d'eau douce de $35,0\text{ m}$‍ de profondeur. Le nain de jardin est un objet solide et fermé (sans trous) ayant un volume total de $1,44\times {10}^{-3}{\text{ m}}^3$‍ . La masse volumique de l'eau douce du lac est de $1000{\displaystyle \frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}$‍ .

$P_A={\rho }_{eau}Vg$‍ (On utilise la formule de la poussée d'Archimède)

$P_A=(1000{\displaystyle \frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}})\times (1,44\times {10}^{-3}{\text{ m}}^3)\times (9,8{\displaystyle \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}})$‍ (On remplace les différents termes par leurs valeurs numériques)

$P_A=14,1\text{ N}$‍ (On fait l'application numérique en précisant l'unité.)

Un cube lesté, qui a sûrement beaucoup voyagé, possède une masse de $2,33\text{kg}$‍ .

Pour que le cube puisse flotter, la poussée d'Archimède à laquelle il est soumis doit être de même intensité que son poids $P_{cube}$‍. Il faut donc :

$P_{cube}=P_A$‍ (Le poids du cube est égal à l'intensité de la poussée d'Archimède)

$mg={\rho }_{eau}Vg$‍ (On développe les expressions du poids et de la poussée d'Archimède)

$mg={\rho }_{eau}{L}^{3}g$‍ (On insère la formule du volume du cube $V=L^3$‍)

$L^3={\displaystyle \frac{mg}{{\rho }_{eau}g}}$‍ (On exprime $L^3$‍)

$L={\left({\displaystyle \frac{m}{{\rho }_{eau}}}\right)}^{1/3}$‍ (On simplifie par $g$‍ et on prend la racine cubique de chaque coté)

$L={\left({\displaystyle \frac{2,33\text{ kg}}{1025{\displaystyle \frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}}}\right)}^{1/3}$‍ (On remplace les grandeurs par leurs valeurs numériques)

$L=\mathrm{0,131}\text{ m}$‍ (On fait l'application numérique et on précise l'unité)

Un immense ballon sphérique gonflé à l'hélium représentant une vache, est maintenu au sol à l'aide d'une corde. La masse totale du ballon et du gaz qui est à l'intérieur est de $9,20\text{ kg}$‍ . Le diamètre du ballon est de $3,50\text{ m}$‍ . La masse volumique de l'air est de $1,23{\displaystyle \frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}$‍ .

Cet exercice est un peu plus compliqué, on va donc commencer par dessiner un diagramme de forces pour mieux visualiser les forces s'exerçant sur le ballon. La figure suivante représente le système étudié ainsi que les variables connues. (On notera que dans ce cas le fluide qui est déplacé est l'air.)

Comme le ballon n'a aucune accélération, le somme des forces agissant sur lui est nulle. On peut donc écrire que la somme des forces orientées verticalement vers le haut est égale à la somme des forces orientées verticalement vers le bas.

$P_A=P+T$‍ (Où $P_A$‍ est la poussée d'Archimède que l'air exerce sur le ballon, $P$‍ le poids du ballon et du gaz qu'il contient, $T$‍ la tension que la corde exerce sur le ballon)

$\rho Vg=mg+T$‍ (On développe les expressions de la poussée d'Archimède et du poids du ballon)

$T=\rho Vg-mg$‍ (On en déduit l'expression de la force de tension $T$‍)

$T=\rho ({\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3)g-mg$‍ (On remplace $V$‍ par la formule du volume de la sphère)

$T=(1,23{\displaystyle \frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}})\times [{\displaystyle \frac{4}{3}}\pi ({\displaystyle \frac{3,50\text{ m}}{2}}{)}^3]\times g-(9,20\text{ kg})\times g$‍ (On remplace les termes par leurs valeurs numériques, en divisant le diamètre par 2 pour obtenir le rayon !)

$T=180\text{ N}$‍ (On fait l'application numérique et on précise l'unité)