Qu'est-ce que l'équation de Bernoulli ?

Le principe de Bernoulli relie la vitesse d'un fluide et sa pression en un point donné. Le principe de Bernoulli, qui peut sembler contre-intuitif de prime abord, s'énonce de la manière suivante :

Principe de Bernoulli : dans un fluide s'écoulant horizontalement, la pression du fluide aux points où sa vitesse est élevée, est plus faible que la pression du fluide aux points où sa vitesse est plus faible.

Ainsi, dans une canalisation horizontale ayant des sections de différents diamètres, la pression de l'eau dans les sections où l'eau s'écoule rapidement est plus faible que dans les sections où l'eau s'écoule lentement. Cela peut sembler contre-intuitif, car on aurait tendance à associer une vitesse élevée à une pression élevée. Mais la suite du cours va permettre d'expliquer et de démystifier le principe de Bernoulli, pour le rendre plus intuitif. En effet, ce principe traduit simplement le fait que l'eau va accélérer s'il y a plus de pression derrière elle que devant elle.

Un fluide incompressible, lorsqu'il atteint une portion étroite de tuyau, voit sa vitesse augmenter afin de maintenir son débit volumique constant. C'est la raison pour laquelle l'eau jaillit plus rapidement d'un tuyau d'arrosage quand on y monte un embout étroit. Mais si la vitesse du fluide augmente, son énergie cinétique augmente aussi, n'est ce pas ? D'où provient donc cette énergie cinétique nouvellement acquise ? Du tuyau ? De l'embout ?

La seule façon de fournir de l'énergie cinétique à un système est de lui fournir sous forme de travail. C'est le théorème de l'énergie cinétique qui l'impose :

Donc si la vitesse du fluide augmente, c'est qu'une force extérieure lui fournit un travail. Quelle force peut donc fournir un travail au fluide ? Il existe bien des forces dissipatives dont le travail est négatif, mais pour simplifier on considère dans cet article que ces forces visqueuses sont négligeables et que l'écoulement du fluide est parfaitement laminaire. Un écoulement laminaire est un écoulement dans lequel les lignes de courant sont parallèles entre elles et ne se croisent jamais. Dans un écoulement laminaire, il n'y a ni turbulences ni tourbillons.

On admet donc qu'il n'y a pas de pertes d'énergies dues à des forces dissipatives. Dans ce cas, quelles forces non-dissipatives fournissent au fluide le travail qui lui permet d'atteindre sa nouvelle vitesse ? C'est la pression des portions de fluide voisines qui est à l'origine de la force fournissant au fluide le travail nécessaire à son accélération.

On considère une conduite dans laquelle de l'eau s'écoule de façon laminaire de gauche à droite. Lorsque le volume d'eau, indiqué en bleu foncé dans la figure ci dessous, atteint la partie étroite de la conduite, sa vitesse augmente. La force pressante engendrée par la pression $P_1$‍, à gauche du volume d'eau considéré, le pousse vers la droite et lui fournit un travail positif puisqu'elle le pousse dans le sens de son déplacement. La force pressante engendrée par la pression $P_2$‍, à droite du volume d'eau considéré, le pousse vers la gauche et lui fournit un travail négatif puisqu'elle le pousse dans le sens opposé à son déplacement.

On sait que l'eau doit accélérer (pour qu'il y ait conservation du débit volumique), et donc que le travail total fourni par les forces de pression à la portion de fluide considérée doit être positif. Le travail fourni par la force de pression à gauche de la portion d'eau doit donc être supérieur au travail fourni par la force de pression à droite de la portion d'eau. Cela impose que la pression $P_1$‍ du côté le plus large de la conduite doit être plus élevée que la pression $P_2$‍ du côté le plus étroit.

Cette relation inverse entre la pression et la vitesse d'un fluide en un point est appelée principe de Bernoulli.

Enoncé du principe de Bernoulli : Le long d'une ligne de courant horizontale d'un écoulement laminaire, aux points où la pression est élevée, la vitesse d'écoulement du fluide est faible et aux points où la pression est faible, la vitesse d'écoulement du fluide est élevée.

Il est peut-être plus simple d'aborder le principe de Bernoulli comme le fait qu'un fluide en mouvement depuis une zone de haute pression vers une zone de plus basse pression accélère car la résultante des forces à laquelle il est soumis est orientée dans le sens de son mouvement.

Le fait que là où le fluide a une vitesse élevée la pression est faible, peut sembler étrange. Un jet d'eau à grande vitesse aura sûrement plus d'impact et donc appliquera une plus grande pression sur le corps contre lequel il est dirigé ! Et bien c'est vrai, mais ici on parle de deux pressions différentes. La pression qui intervient dans le principe de Bernoulli est la pression interne du fluide, qui s'exerce dans toutes les directions lors de l'écoulement du fluide, y compris sur les parois du tuyau. Cette pression n'est pas la même que celle que le fluide exercerait sur un objet qui se mettrait en travers de son chemin et arrêterait son mouvement.

Remarque : Le principe de Bernoulli ne dit pas qu'un fluide ayant une vitesse élevée ne peut pas avoir une pression relativement élevée. Il dit simplement que la pression dans une région où l'écoulement est lent doit être plus élevée que dans la région où l'écoulement est rapide.

L'équation de Bernoulli est simplement une forme plus générale et plus mathématique du principe de Bernoulli qui prend en compte les variations d'énergie potentielle de pesanteur. Elle sera démontrée dans le paragraphe suivant mais dans un premier temps on regarde à quoi elle ressemble, ce qu'elle signifie et dans quel contexte l'utiliser.

L'équation de Bernoulli relie les pressions, les vitesses et les altitudes de deux points d'une ligne de courant d'un fluide de masse volumique $\rho$‍ en écoulement laminaire permanent. L'équation de Bernoulli s'écrit généralement de la manière suivante :

Les variables $P_1$‍, $v_1$‍, $h_1$‍ représentent respectivement la pression, la vitesse et l'altitude du fluide au point 1, tandis que les variables $P_2$‍, $v_2$‍, et $h_2$‍ font référence à la pression, la vitesse et l'altitude du fluide au point 2, comme illustré sur le schéma ci-dessous. Dans ce schéma, on a choisi arbitrairement deux points 1 et 2 du fluide, mais l'équation de Bernoulli est vérifiée pour n'importe quel couple de points d'une même ligne de courant.

Comment savoir quels points choisir lorsqu'on applique l'équation de Bernoulli ? Il est toujours judicieux de choisir le point auquel se trouve une variable que l'on cherche. On choisit typiquement comme second point celui où l'on a le plus d'informations, comme par exemple un point où le fluide est exposé à l'air libre où la pression vaut la pression atmosphérique : $P_{atm}=1,01\times {10}^{5}Pa$‍.

$h$‍ correspond à l'altitude du fluide par rapport à un niveau de référence choisi arbitrairement. Il est souvent plus pratique de simplement choisir comme niveau de référence, $h=0$‍, l'altitude du point le plus bas parmi les deux points considérés. On peut choisir pour $P$‍ la pression absolue ou la pression relative, mais il faut bien faire attention à utiliser la même grandeur de chaque coté de l'équation. On ne peut pas utiliser la pression relative au point 1 et la pression absolue au point 2. De même, si on choisit d'utiliser la pression relative au point 1, et qu'on utilise l'équation pour exprimer la pression au point 2, c'est bien une pression relative que l'on va obtenir.

Les termes ${\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v^2$‍ et $\rho gh$‍ de l'équation de Bernoulli ressemblent aux formules de l'énergie cinétique ${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2$‍ et de l'énergie potentielle de pesanteur $mgh$‍, avec la masse volumique $\rho$‍ à la place de la masse $m$‍. Il n'est donc pas surprenant de savoir que l'équation de Bernoulli se démontre en appliquant la loi de conservation de l'énergie au fluide en mouvement. Cette démonstration est détaillée dans le paragraphe suivant.

On considère la situation représentée dans le schéma ci-dessous dans laquelle de l'eau s'écoule de gauche à droite dans une conduite dont la section droite et l'altitude varient. Comme vu précédemment, l'eau accélère et acquiert de l'énergie cinétique $E_c$‍ lorsque la conduite devient plus étroite car le débit volumique doit rester constant pour un fluide incompressible, qu'il y ait ou non variation d'altitude. Mais comme l'eau atteint dans cette portion de conduite une altitude plus élevée, elle acquiert aussi de l'énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}$‍ en plus de son énergie cinétique $E_c$‍. On démontre l'équation de Bernoulli en écrivant que la variation de l'énergie totale du fluide est égale au travail des forces extérieures exercées sur le fluide.

On considère le système formé par les volume d'eau 1 et 2 (en bleu foncé sur le schéma), ainsi que toute l'eau qui se trouve entre ces volumes. On admet que le fluide s'écoule de façon laminaire, non-visqueuse, et qu'il n'est pas soumis à des forces dissipatives. Dans ce cas, la variation d'énergie du système $\mathrm{\Delta }(E_c+E_p{)}_{syst}$‍ est égale au travail $(W_{ext})$‍ des forces extérieures agissant sur le fluide qui sont ici uniquement les forces de pression.

On l'exprime mathématiquement ainsi :

On commence par déterminer le travail $W_{ext}$‍ fourni à l'eau. L'eau comprise entre les points 1 et 2 ne participe pas à ce travail car elle fait partie du système. Les seules forces extérieures qui fournissent un travail au système sont les forces de pression dues aux pressions $P_1$‍ et $P_2$‍, comme illustré sur la figure. L'eau à la pression $P_1$‍ à gauche du volume 1 fournit un travail positif car la force de pression due à $P_1$‍ est orientée dans le même sens que le déplacement du fluide. L'eau à la pression $P_2$‍ à droite du volume 2 fournit un travail négatif, car la force de pression due à $P_2$‍ est orientée dans le sens opposé au mouvement du fluide.

Pour simplifier, on considère que la force de pression de l'eau à gauche du volume 1 est suffisamment grande pour pousser le volume 1 sur toute sa longueur $d_1$‍. Si on admet que le fluide est incompressible, le volume déplacé doit être le même en tout point du système, ce qui fait que le volume 2 parcourt également toute sa longueur $d_2$‍.

On sait que le travail vaut $W=Fd$‍. Sachant que la force de pression s'écrit $F=PS$‍, on a $W=PSd$‍. Ainsi, le travail positif fourni au système par l'eau à gauche du point 1 s'écrit $W_1=P_1{S}_1{d}_1$‍, et le travail négatif fourni au système par l'eau à droite du point 2 s'écrit $W_2=-P_2{S}_2{d}_2$‍.

L'expression $W_{ext}=\mathrm{\Delta }(E_c+E_p{)}_{syst}$‍ s'écrit donc :

Les termes $S_1{d}_1$‍ et $S_2{d}_2$‍ sont égaux puisqu'ils représentent les volumes d'eau déplacés aux points 1 et 2. Comme le fluide est incompressible, le volume déplacé est le même quelque soit le point considéré dans le fluide. Ainsi, on a $V_1=S_1{d}_1=S_2{d}_2=V_2$‍. On simplifie en notant le volume $V$‍ dans l'expression des travaux, ce qui donne :

La partie gauche de l'équation a maintenant été simplifiée, mais pour la partie droite les calculs vont être plus subtils. On rappelle que le système comprend non seulement les deux volumes d'eau en bleu foncé, mais aussi toute l'eau qui se trouve entre ces deux volumes. Comment faire pour prendre en compte toutes les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle de pesanteur de ce long et sinueux système ?

Pour pouvoir exprimer ces énergies, il faut faire une hypothèse supplémentaire. On considère que l'écoulement est permanent : un écoulement est "permanent" si la vitesse du fluide en un point donné de la conduite est toujours la même. En d'autres termes, si la conduite était transparente et qu'on pouvait observer toujours le même point à l'intérieur, on verrait sans cesse passer de nouvelles particules de fluide ; dans le cas d'un écoulement permanent, toutes les particules que l'on verrait passer en ce point auraient exactement la même vitesse.

Donc, quel rapport entre l'écoulement permanent et les variations d'énergie du système ? On considère la figure ci-dessous. Le système considéré est représenté par toute la partie grise (volume 1, volume 2, plus tout le fluide entre les deux). Sur la figure du haut, le système possède une énergie totale $(E_c+E_p{)}_{initiale}$‍. Sur la figure du bas, le système a reçu du travail, acquis de l'énergie, s'est déplacé vers la droite, et son énergie totale est maintenant $(E_c+E_p{)}_{finale}$‍. Or, l'énergie de la partie située entre les lignes pointillées reste strictement la même malgré le travail extérieur dans le cadre d'un écoulement permanent. En effet, l'eau a bien changé de position et de vitesse au cours de son déplacement entre les lignes pointillées, mais de telle manière qu'elle a la même vitesse (par exemple $v_a$‍ et $v_b$‍) et la même altitude que l'eau qui était au même endroit auparavant. La seul différence qu'il y a dans l'état final du système par rapport à l'état initial est que le volume 2 se trouve maintenant dans une portion de conduite dans laquelle il n'était pas auparavant, et que l'espace qui était avant occupé par le volume 1 est maintenant occupé par un nouveau volume d'eau qui ne fait pas partie du système.

Ce qu'il faut retenir c'est que la variation totale d'énergie du système peut se résumer à la variation d'énergie des extrémités du système. Il suffit donc de considérer les énergies cinétique et potentielle $(E_{c2}+E_{p2})$‍ qui ont été acquises par le volume 2 sous l'effet du travail extérieur fourni, et en retrancher les énergies cinétique et potentielle $(E_{c1}+E_{p1})$‍ qui ont été perdues par le volume 1 sous l'effet du travail extérieur fourni. En d'autres termes, $\mathrm{\Delta }(E_c+E_p{)}_{syst}=(E_{c2}+E_{p2})-(E_{c1}+E_{p1})$‍.

En remplaçant à droite de l'équation qui relie le travail et l'énergie $P_{1}V-P_{2}V=\mathrm{\Delta }(E_c+E_p{)}_{syst}$‍, on obtient :

On exprime maintenant l'énergie cinétique $E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2$‍ et l'énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}=mgh$‍, on obtient :

Dans cette équation $P_1$‍ et $P_2$‍ représentent respectivement les pressions du fluide dans les volumes 1 et 2. Les variables $v_1$‍ et $v_2$‍ représentent respectivement les vitesses du fluide dans les volumes 1 et 2. Et enfin $h_1$‍ et $h_2$‍ représentent respectivement les altitudes du fluide dans les volumes 1 et 2.

Mais comme le fluide est incompressible, les masses des volumes 1 et 2 (qui on le rappelle sont égaux) doivent être égales, $m_1=m_2=m$‍. En remplaçant toutes les masses par $m$‍, on obtient :

On divise de chaque côté par $V$‍ et on développe les termes entre parenthèses :

On peut simplifier cette équation en remarquant que la masse du fluide déplacé divisée par le volume de fluide déplacé est égale à la masse volumique du fluide $\rho ={\displaystyle \frac{m}{V}}$‍. On remplace donc ${\displaystyle \frac{m}{V}}$‍ par $\rho$‍ pour obtenir :

On réarrange maintenant l'équation pour mettre du même côté tous les termes faisant référence au même point du système (1 ou 2) :

Et on obtient l'équation de Bernoulli. Elle dit que si, pour n'importe quel couple de points d'une ligne de courant d'un écoulement laminaire permanent, on fait la somme de la pression $P$‍, de la densité d'énergie cinétique ${\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v^2$‍, et de la densité d'énergie potentielle de pesanteur $\rho gh$‍, alors ces sommes seront forcément égales.

L'équation de Bernoulli peut être considérée comme l'application du principe de conservation de l'énergie dans un fluide en mouvement. La signification de cette équation est que toute variation d'énergies cinétique ou potentielle dans un système de fluide en mouvement est causée par du travail fourni par la pression du fluide entourant le système. Il faut garder à l'esprit que cette formule n'est valable que si on fait plusieurs hypothèses : l'écoulement doit être laminaire, et il ne doit pas y avoir de forces dissipatives, sans quoi de l'énergie thermique pourrait être échangée par le système. Il faut de plus admettre que l'écoulement est permanent sinon on ne peut pas ignorer l'énergie de la portion centrale de fluide, qui se trouve entre les extrémités. Il faut enfin faire l'hypothèse que le fluide est incompressible, pour que les masses et les volumes considérés dans les calculs soient tous les mêmes.

Comme la quantité $P+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v^2+\rho gh$‍ est la même en tout point d'une ligne de courant d'un écoulement laminaire, on peut écrire l'équation de Bernoulli d'une autre manière :

Cette constante sera différente pour chaque système, mais pour un même écoulement laminaire, permanent, et non-dissipatif de fluide en mouvement, la valeur de $P+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v^2+\rho gh$‍ sera la même en tout point d'une ligne de courant.

On va montrer que le principe de Bernoulli est en fait un cas particulier de l'équation de Bernoulli. On part de l'équation de Bernoulli :

et on fait l'hypothèse que le fluide ne change pas d'altitude, les termes en $\rho gh$‍ sont donc égaux et on peut les simplifier de chaque coté de l'équation.

que l'on peut aussi écrire :

Cette formule est une écriture mathématique du théorème de Bernoulli, car en effet si la vitesse $v$‍ d'un fluide est plus grande en un point donné d'un écoulement laminaire, alors la pression $P$‍ de ce fluide en ce point doit être plus petite (c'est bien le théorème de Bernoulli). Une augmentation de la vitesse $v$‍ doit forcément s'accompagner d'une diminution de la pression $P$‍ pour que la somme des termes soit constante.

Un patron de bar imagine un système innovant pour servir sa bière à ses clients. Une solution envisagée est d'utiliser un tube pour transporter la bière, de masse volumique $1090{\displaystyle \frac{kg}{m^3}}$‍, d'un bout à l'autre du bar. Une section du tube est représentée sur la figure ci-dessous. Selon les plans de construction, la vitesse et la pression relative de la bière au point 1 doivent être respectivement de $3,00\text{ m/s}$‍ et de $12300\text{ Pa}$‍. La bière au point 2 se situe à $1,20\text{ m}$‍ plus haut qu'au point 1, et se déplace à une vitesse de $\mathrm{0,750}\text{ m/s}$‍. Le chiffre qui indique la pression de la bière au point 2 sur le plan est illisible.

$P_1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v_1^2+\rho g{h}_1=P_2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v_2^2+\rho g{h}_2$‍ (On commence par écrire l'équation de Bernoulli.)

$P_2=P_1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v_1^2+\rho g{h}_1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v_2^2-\rho g{h}_2$‍ (On en déduit l'expression de $P_2$‍.)

Il faut maintenant choisir une altitude de référence $h=0$‍. On choisit l'altitude du point 1 comme étant $h=0$‍. On a donc comme valeurs numériques $h_1=0$‍ et $h_2=1,2\text{ m}$‍. On insère ces valeurs dans l'équation :

$P_2=P_1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v_1^2+\rho g\times (0\text{ m})-{\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v_2^2-\rho g\times (1,2m)$‍ (On remplace les grandeurs $h_1$‍ et $h_2$‍ par leurs valeurs numériques.)

On peut simplifier le terme avec un zéro et remplacer les autres grandeurs connues par leurs valeurs numériques :

Remarque : Ce résultat est la pression relative au point 2, et non la pression absolue, car c'est la pression relative du point 1 qu'on a utilisée dans l'équation. Pour obtenir la pression absolue au point 2, il faudrait ajouter la pression atmosphérique $(1,01\times {10}^5\text{ Pa})$‍ au résultat obtenu.

Un grand complexe hôtelier engage un ingénieur pour construire une fontaine d'eau alimentée par un tube cylindrique de diamètre $15\text{ cm}$‍, qui transporte l'eau horizontalement à une profondeur de $8,00\text{ m}$‍ sous la surface du sol. Le tuyau fait alors un angle droit et remonte au niveau de la surface avec un nouveau diamètre de $5,00\text{ cm}$‍. L'eau jaillit ensuite du bout du tuyau à une hauteur de $1,75\text{ m}$‍ au dessus du sol, et avec une vitesse de $32,0\text{ m/s}$‍. La masse volumique de l'eau est de $1000{\displaystyle \frac{kg}{m^3}}$‍.

Les problèmes comme celui-là qui utilisent l'équation de Bernoulli sont assez difficiles à se représenter, il vaut donc mieux faire un schéma et choisir deux points d'intérêt (la figure ci-dessous n'est pas à l'échelle) :

On choisit le premier point dans la partie horizontale du tuyau, car c'est dans cette partie que l'on cherche à déterminer la pression. Comme point numéro 2, le point où l'eau jaillit au sommet de la fontaine est un bon choix car on connaît la vitesse de l'eau à cet endroit.

$P_1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v_1^2+\rho g{h}_1=P_2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v_2^2+\rho g{h}_2$‍ (On commence par écrire l'équation de Bernoulli.)

$P_1=P_2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v_2^2+\rho g{h}_2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v_1^2-\rho g{h}_1$‍ (On en déduit l'expression de $P_1$‍.)

On ignore la vitesse de l'eau au point 1. Il faut commencer par déterminer cette vitesse $v_1$‍ avant de pouvoir calculer la pression au point 1.

Pour cela on utilise l'équation de conservation du débit volumique $S_1{v}_1=S_2{v}_2$‍, qui est vérifiée puisque l'eau liquide est incompressible. On sait que la surface de la section d'un tuyau cylindrique est celle d'un disque $S=\pi r^2$‍, on utilise donc cette expression dans l'équation de conservation du débit volumique :

On en déduit l'expression de la vitesse $v_1$‍ après avoir simplifié par $\pi$‍ :

Il ne reste plus qu'à remplacer les grandeurs par leurs valeurs numériques et à faire l'application numérique :

$v_1={\displaystyle \frac{(2,50\text{ cm}{)}^2}{(7,50\text{ cm}{)}^2}}\times (32,0\text{ m/s})=3,56\text{ m/s}$‍

Maintenant qu'on a déterminé la vitesse au point 1, on remplace sa valeur dans l'équation de Bernoulli :

$P_1=P_2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \rho \times (32\text{ m/s}{)}^2+\rho g{h}_2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \rho \times (3,56\text{ m/s}{)}^2-\rho g{h}_1$‍ (Avec les valeurs des vitesses)

On choisit l'altitude de référence $h=0$‍ au point 1, ce qui fait qu'on a $h_1=0\text{ m}$‍ et $h_2=8,00\text{ m}+1,75\text{ m}=9,75\text{ m}$‍.

On insère ces valeurs numériques dans l'équation de Bernoulli, et le terme $\rho g{h}_1$‍ disparaît puisqu'il est nul.

$P_1=P_2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \rho \times (32\text{ m/s}{)}^2+\rho \times g\times (9,75\text{ m})-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \rho \times (3,56\text{ m/s}{)}^2$‍ (On a inséré les valeurs de $h$‍.)

Il ne reste maintenant qu'à déterminer la pression $P_2$‍ au point 2. On va admettre que la pression au point 2 est la pression atmosphérique, car c'est l'endroit où l'eau jaillit à l'air libre. Cette hypothèse se retrouve souvent dans les problèmes utilisant l'équation de Bernoulli. Chaque fois que le fluide est au contact avec l'air, alors il est à pression atmosphérique à cet endroit. On peut soit choisir d'utiliser la pression absolue dans l'équation de Bernoulli, et dans ce cas on a $P_2=1,01\times {10}^{5}Pa$‍, ou alors choisir d'utiliser la pression relative, et dans ce cas $P_2=0Pa$‍ (car la pression relative exprime la pression par rapport à la pression atmosphérique). Il est toujours plus simple d'utiliser des valeurs nulles dans les calculs, on choisit donc $P_2=0Pa$‍ :

$P_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \rho \times (32\text{ m/s}{)}^2+\rho \times g\times (9,75\text{ m})-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \rho \times (3,56\text{ m/s}{)}^2$‍ (On a utilisé $P_2=0Pa$‍)

On remplace maintenant la masse volumique de l'eau par sa valeur $\rho =1000{\displaystyle \frac{kg}{m^3}}$‍ et de même pour l'accélération de la pesanteur $g=+9,8{\displaystyle \frac{m}{s^2}}$‍ pour finalement obtenir :

$P_1=6,01\times {10}^{5}Pa$‍ (On fait l'application numérique et on précise l'unité.)

Remarque : Le résultat obtenu est la pression relative, puisqu'on a utilisé $P_2=0Pa$‍. Si on avait utilisé $P_2=1,01\times {10}^5\text{ Pa}$‍ à la place, le résultat du calcul aurait été la pression absolue au point 1.