If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal

Qu'est-ce que l'équation de Bernoulli ?

Cette équation permet d'analyser le mouvement d'un fluide qui coule dans un sens ou dans un autre dans toutes sortes de tubes.

Qu'est-ce que le principe de Bernoulli ?

Le principe de Bernoulli relie la vitesse d'un fluide et sa pression en un point donné. Le principe de Bernoulli, qui peut sembler contre-intuitif de prime abord, s'énonce de la manière suivante :
Principe de Bernoulli : dans un fluide s'écoulant horizontalement, la pression du fluide aux points où sa vitesse est élevée, est plus faible que la pression du fluide aux points où sa vitesse est plus faible.
Ainsi, dans une canalisation horizontale ayant des sections de différents diamètres, la pression de l'eau dans les sections où l'eau s'écoule rapidement est plus faible que dans les sections où l'eau s'écoule lentement. Cela peut sembler contre-intuitif, car on aurait tendance à associer une vitesse élevée à une pression élevée. Mais la suite du cours va permettre d'expliquer et de démystifier le principe de Bernoulli, pour le rendre plus intuitif. En effet, ce principe traduit simplement le fait que l'eau va accélérer s'il y a plus de pression derrière elle que devant elle.

D'où vient le principe de Bernoulli ?

Un fluide incompressible, lorsqu'il atteint une portion étroite de tuyau, voit sa vitesse augmenter afin de maintenir son débit volumique constant. C'est la raison pour laquelle l'eau jaillit plus rapidement d'un tuyau d'arrosage quand on y monte un embout étroit. Mais si la vitesse du fluide augmente, son énergie cinétique augmente aussi, n'est ce pas ? D'où provient donc cette énergie cinétique nouvellement acquise ? Du tuyau ? De l'embout ?
La seule façon de fournir de l'énergie cinétique à un système est de lui fournir sous forme de travail. C'est le théorème de l'énergie cinétique qui l'impose :
W, start subscript, e, x, t, end subscript, equals, delta, E, start subscript, c, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, start subscript, f, end subscript, squared, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, start subscript, i, end subscript, squared
Donc si la vitesse du fluide augmente, c'est qu'une force extérieure lui fournit un travail. Quelle force peut donc fournir un travail au fluide ? Il existe bien des forces dissipatives dont le travail est négatif, mais pour simplifier on considère dans cet article que ces forces visqueuses sont négligeables et que l'écoulement du fluide est parfaitement laminaire. Un écoulement laminaire est un écoulement dans lequel les lignes de courant sont parallèles entre elles et ne se croisent jamais. Dans un écoulement laminaire, il n'y a ni turbulences ni tourbillons.
On admet donc qu'il n'y a pas de pertes d'énergies dues à des forces dissipatives. Dans ce cas, quelles forces non-dissipatives fournissent au fluide le travail qui lui permet d'atteindre sa nouvelle vitesse ? C'est la pression des portions de fluide voisines qui est à l'origine de la force fournissant au fluide le travail nécessaire à son accélération.
On considère une conduite dans laquelle de l'eau s'écoule de façon laminaire de gauche à droite. Lorsque le volume d'eau, indiqué en bleu foncé dans la figure ci dessous, atteint la partie étroite de la conduite, sa vitesse augmente. La force pressante engendrée par la pression P, start subscript, 1, end subscript, à gauche du volume d'eau considéré, le pousse vers la droite et lui fournit un travail positif puisqu'elle le pousse dans le sens de son déplacement. La force pressante engendrée par la pression P, start subscript, 2, end subscript, à droite du volume d'eau considéré, le pousse vers la gauche et lui fournit un travail négatif puisqu'elle le pousse dans le sens opposé à son déplacement.
On sait que l'eau doit accélérer (pour qu'il y ait conservation du débit volumique), et donc que le travail total fourni par les forces de pression à la portion de fluide considérée doit être positif. Le travail fourni par la force de pression à gauche de la portion d'eau doit donc être supérieur au travail fourni par la force de pression à droite de la portion d'eau. Cela impose que la pression P, start subscript, 1, end subscript du côté le plus large de la conduite doit être plus élevée que la pression P, start subscript, 2, end subscript du côté le plus étroit.
Cette relation inverse entre la pression et la vitesse d'un fluide en un point est appelée principe de Bernoulli.
Enoncé du principe de Bernoulli : Le long d'une ligne de courant horizontale d'un écoulement laminaire, aux points où la pression est élevée, la vitesse d'écoulement du fluide est faible et aux points où la pression est faible, la vitesse d'écoulement du fluide est élevée.
Il est peut-être plus simple d'aborder le principe de Bernoulli comme le fait qu'un fluide en mouvement depuis une zone de haute pression vers une zone de plus basse pression accélère car la résultante des forces à laquelle il est soumis est orientée dans le sens de son mouvement.
Le fait que là où le fluide a une vitesse élevée la pression est faible, peut sembler étrange. Un jet d'eau à grande vitesse aura sûrement plus d'impact et donc appliquera une plus grande pression sur le corps contre lequel il est dirigé ! Et bien c'est vrai, mais ici on parle de deux pressions différentes. La pression qui intervient dans le principe de Bernoulli est la pression interne du fluide, qui s'exerce dans toutes les directions lors de l'écoulement du fluide, y compris sur les parois du tuyau. Cette pression n'est pas la même que celle que le fluide exercerait sur un objet qui se mettrait en travers de son chemin et arrêterait son mouvement.
Remarque : Le principe de Bernoulli ne dit pas qu'un fluide ayant une vitesse élevée ne peut pas avoir une pression relativement élevée. Il dit simplement que la pression dans une région où l'écoulement est lent doit être plus élevée que dans la région où l'écoulement est rapide.

Qu'est-ce que l'équation de Bernoulli ?

L'équation de Bernoulli est simplement une forme plus générale et plus mathématique du principe de Bernoulli qui prend en compte les variations d'énergie potentielle de pesanteur. Elle sera démontrée dans le paragraphe suivant mais dans un premier temps on regarde à quoi elle ressemble, ce qu'elle signifie et dans quel contexte l'utiliser.
L'équation de Bernoulli relie les pressions, les vitesses et les altitudes de deux points d'une ligne de courant d'un fluide de masse volumique rho en écoulement laminaire permanent. L'équation de Bernoulli s'écrit généralement de la manière suivante :
P, start subscript, 1, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 1, end subscript, equals, P, start subscript, 2, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 2, end subscript
Les variables P, start subscript, 1, end subscript, v, start subscript, 1, end subscript, h, start subscript, 1, end subscript représentent respectivement la pression, la vitesse et l'altitude du fluide au point 1, tandis que les variables P, start subscript, 2, end subscript, v, start subscript, 2, end subscript, et h, start subscript, 2, end subscript font référence à la pression, la vitesse et l'altitude du fluide au point 2, comme illustré sur le schéma ci-dessous. Dans ce schéma, on a choisi arbitrairement deux points 1 et 2 du fluide, mais l'équation de Bernoulli est vérifiée pour n'importe quel couple de points d'une même ligne de courant.
Comment savoir quels points choisir lorsqu'on applique l'équation de Bernoulli ? Il est toujours judicieux de choisir le point auquel se trouve une variable que l'on cherche. On choisit typiquement comme second point celui où l'on a le plus d'informations, comme par exemple un point où le fluide est exposé à l'air libre où la pression vaut la pression atmosphérique : P, start subscript, a, t, m, end subscript, equals, 1, comma, 01, times, 10, start superscript, 5, end superscript, P, a.
h correspond à l'altitude du fluide par rapport à un niveau de référence choisi arbitrairement. Il est souvent plus pratique de simplement choisir comme niveau de référence, h, equals, 0, l'altitude du point le plus bas parmi les deux points considérés. On peut choisir pour P la pression absolue ou la pression relative, mais il faut bien faire attention à utiliser la même grandeur de chaque coté de l'équation. On ne peut pas utiliser la pression relative au point 1 et la pression absolue au point 2. De même, si on choisit d'utiliser la pression relative au point 1, et qu'on utilise l'équation pour exprimer la pression au point 2, c'est bien une pression relative que l'on va obtenir.
Les termes start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, squared et rho, g, h de l'équation de Bernoulli ressemblent aux formules de l'énergie cinétique start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, squared et de l'énergie potentielle de pesanteur m, g, h, avec la masse volumique rho à la place de la masse m. Il n'est donc pas surprenant de savoir que l'équation de Bernoulli se démontre en appliquant la loi de conservation de l'énergie au fluide en mouvement. Cette démonstration est détaillée dans le paragraphe suivant.

Comment obtient-on l'équation de Bernoulli ?

On considère la situation représentée dans le schéma ci-dessous dans laquelle de l'eau s'écoule de gauche à droite dans une conduite dont la section droite et l'altitude varient. Comme vu précédemment, l'eau accélère et acquiert de l'énergie cinétique E, start subscript, c, end subscript lorsque la conduite devient plus étroite car le débit volumique doit rester constant pour un fluide incompressible, qu'il y ait ou non variation d'altitude. Mais comme l'eau atteint dans cette portion de conduite une altitude plus élevée, elle acquiert aussi de l'énergie potentielle de pesanteur E, start subscript, p, p, end subscript en plus de son énergie cinétique E, start subscript, c, end subscript. On démontre l'équation de Bernoulli en écrivant que la variation de l'énergie totale du fluide est égale au travail des forces extérieures exercées sur le fluide.
On considère le système formé par les volume d'eau 1 et 2 (en bleu foncé sur le schéma), ainsi que toute l'eau qui se trouve entre ces volumes. On admet que le fluide s'écoule de façon laminaire, non-visqueuse, et qu'il n'est pas soumis à des forces dissipatives. Dans ce cas, la variation d'énergie du système delta, left parenthesis, E, start subscript, c, end subscript, plus, E, start subscript, p, end subscript, right parenthesis, start subscript, s, y, s, t, end subscript est égale au travail left parenthesis, W, start subscript, e, x, t, end subscript, right parenthesis des forces extérieures agissant sur le fluide qui sont ici uniquement les forces de pression.
On l'exprime mathématiquement ainsi :
W, start subscript, e, x, t, end subscript, equals, delta, left parenthesis, E, start subscript, c, end subscript, plus, E, start subscript, p, end subscript, right parenthesis, start subscript, s, y, s, t, end subscript
On commence par déterminer le travail W, start subscript, e, x, t, end subscript fourni à l'eau. L'eau comprise entre les points 1 et 2 ne participe pas à ce travail car elle fait partie du système. Les seules forces extérieures qui fournissent un travail au système sont les forces de pression dues aux pressions P, start subscript, 1, end subscript et P, start subscript, 2, end subscript, comme illustré sur la figure. L'eau à la pression P, start subscript, 1, end subscript à gauche du volume 1 fournit un travail positif car la force de pression due à P, start subscript, 1, end subscript est orientée dans le même sens que le déplacement du fluide. L'eau à la pression P, start subscript, 2, end subscript à droite du volume 2 fournit un travail négatif, car la force de pression due à P, start subscript, 2, end subscript est orientée dans le sens opposé au mouvement du fluide.
Pour simplifier, on considère que la force de pression de l'eau à gauche du volume 1 est suffisamment grande pour pousser le volume 1 sur toute sa longueur d, start subscript, 1, end subscript. Si on admet que le fluide est incompressible, le volume déplacé doit être le même en tout point du système, ce qui fait que le volume 2 parcourt également toute sa longueur d, start subscript, 2, end subscript.
On sait que le travail vaut W, equals, F, d. Sachant que la force de pression s'écrit F, equals, P, S, on a W, equals, P, S, d. Ainsi, le travail positif fourni au système par l'eau à gauche du point 1 s'écrit W, start subscript, 1, end subscript, equals, P, start subscript, 1, end subscript, S, start subscript, 1, end subscript, d, start subscript, 1, end subscript, et le travail négatif fourni au système par l'eau à droite du point 2 s'écrit W, start subscript, 2, end subscript, equals, minus, P, start subscript, 2, end subscript, S, start subscript, 2, end subscript, d, start subscript, 2, end subscript.
L'expression W, start subscript, e, x, t, end subscript, equals, delta, left parenthesis, E, start subscript, c, end subscript, plus, E, start subscript, p, end subscript, right parenthesis, start subscript, s, y, s, t, end subscript s'écrit donc :
P, start subscript, 1, end subscript, S, start subscript, 1, end subscript, d, start subscript, 1, end subscript, minus, P, start subscript, 2, end subscript, S, start subscript, 2, end subscript, d, start subscript, 2, end subscript, equals, delta, left parenthesis, E, start subscript, c, end subscript, plus, E, start subscript, p, end subscript, right parenthesis, start subscript, s, y, s, t, end subscript
Les termes S, start subscript, 1, end subscript, d, start subscript, 1, end subscript et S, start subscript, 2, end subscript, d, start subscript, 2, end subscript sont égaux puisqu'ils représentent les volumes d'eau déplacés aux points 1 et 2. Comme le fluide est incompressible, le volume déplacé est le même quelque soit le point considéré dans le fluide. Ainsi, on a V, start subscript, 1, end subscript, equals, S, start subscript, 1, end subscript, d, start subscript, 1, end subscript, equals, S, start subscript, 2, end subscript, d, start subscript, 2, end subscript, equals, V, start subscript, 2, end subscript. On simplifie en notant le volume V dans l'expression des travaux, ce qui donne :
P, start subscript, 1, end subscript, V, minus, P, start subscript, 2, end subscript, V, equals, delta, left parenthesis, E, start subscript, c, end subscript, plus, E, start subscript, p, end subscript, right parenthesis, start subscript, s, y, s, t, end subscript
La partie gauche de l'équation a maintenant été simplifiée, mais pour la partie droite les calculs vont être plus subtils. On rappelle que le système comprend non seulement les deux volumes d'eau en bleu foncé, mais aussi toute l'eau qui se trouve entre ces deux volumes. Comment faire pour prendre en compte toutes les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle de pesanteur de ce long et sinueux système ?
Pour pouvoir exprimer ces énergies, il faut faire une hypothèse supplémentaire. On considère que l'écoulement est permanent : un écoulement est "permanent" si la vitesse du fluide en un point donné de la conduite est toujours la même. En d'autres termes, si la conduite était transparente et qu'on pouvait observer toujours le même point à l'intérieur, on verrait sans cesse passer de nouvelles particules de fluide ; dans le cas d'un écoulement permanent, toutes les particules que l'on verrait passer en ce point auraient exactement la même vitesse.
Donc, quel rapport entre l'écoulement permanent et les variations d'énergie du système ? On considère la figure ci-dessous. Le système considéré est représenté par toute la partie grise (volume 1, volume 2, plus tout le fluide entre les deux). Sur la figure du haut, le système possède une énergie totale left parenthesis, E, start subscript, c, end subscript, plus, E, start subscript, p, end subscript, right parenthesis, start subscript, i, n, i, t, i, a, l, e, end subscript. Sur la figure du bas, le système a reçu du travail, acquis de l'énergie, s'est déplacé vers la droite, et son énergie totale est maintenant left parenthesis, E, start subscript, c, end subscript, plus, E, start subscript, p, end subscript, right parenthesis, start subscript, f, i, n, a, l, e, end subscript. Or, l'énergie de la partie située entre les lignes pointillées reste strictement la même malgré le travail extérieur dans le cadre d'un écoulement permanent. En effet, l'eau a bien changé de position et de vitesse au cours de son déplacement entre les lignes pointillées, mais de telle manière qu'elle a la même vitesse (par exemple v, start subscript, a, end subscript et v, start subscript, b, end subscript) et la même altitude que l'eau qui était au même endroit auparavant. La seul différence qu'il y a dans l'état final du système par rapport à l'état initial est que le volume 2 se trouve maintenant dans une portion de conduite dans laquelle il n'était pas auparavant, et que l'espace qui était avant occupé par le volume 1 est maintenant occupé par un nouveau volume d'eau qui ne fait pas partie du système.
Ce qu'il faut retenir c'est que la variation totale d'énergie du système peut se résumer à la variation d'énergie des extrémités du système. Il suffit donc de considérer les énergies cinétique et potentielle left parenthesis, E, start subscript, c, 2, end subscript, plus, E, start subscript, p, 2, end subscript, right parenthesis qui ont été acquises par le volume 2 sous l'effet du travail extérieur fourni, et en retrancher les énergies cinétique et potentielle left parenthesis, E, start subscript, c, 1, end subscript, plus, E, start subscript, p, 1, end subscript, right parenthesis qui ont été perdues par le volume 1 sous l'effet du travail extérieur fourni. En d'autres termes, delta, left parenthesis, E, start subscript, c, end subscript, plus, E, start subscript, p, end subscript, right parenthesis, start subscript, s, y, s, t, end subscript, equals, left parenthesis, E, start subscript, c, 2, end subscript, plus, E, start subscript, p, 2, end subscript, right parenthesis, minus, left parenthesis, E, start subscript, c, 1, end subscript, plus, E, start subscript, p, 1, end subscript, right parenthesis.
En remplaçant à droite de l'équation qui relie le travail et l'énergie P, start subscript, 1, end subscript, V, minus, P, start subscript, 2, end subscript, V, equals, delta, left parenthesis, E, start subscript, c, end subscript, plus, E, start subscript, p, end subscript, right parenthesis, start subscript, s, y, s, t, end subscript, on obtient :
P, start subscript, 1, end subscript, V, minus, P, start subscript, 2, end subscript, V, equals, left parenthesis, E, start subscript, c, 2, end subscript, plus, E, start subscript, p, 2, end subscript, right parenthesis, minus, left parenthesis, E, start subscript, c, 1, end subscript, plus, E, start subscript, p, 1, end subscript, right parenthesis
On exprime maintenant l'énergie cinétique E, start subscript, c, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, squared et l'énergie potentielle de pesanteur E, start subscript, p, p, end subscript, equals, m, g, h, on obtient :
P, start subscript, 1, end subscript, V, minus, P, start subscript, 2, end subscript, V, equals, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, start subscript, 2, end subscript, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, m, start subscript, 2, end subscript, g, h, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, minus, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, start subscript, 1, end subscript, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, m, start subscript, 1, end subscript, g, h, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis
Dans cette équation P, start subscript, 1, end subscript et P, start subscript, 2, end subscript représentent respectivement les pressions du fluide dans les volumes 1 et 2. Les variables v, start subscript, 1, end subscript et v, start subscript, 2, end subscript représentent respectivement les vitesses du fluide dans les volumes 1 et 2. Et enfin h, start subscript, 1, end subscript et h, start subscript, 2, end subscript représentent respectivement les altitudes du fluide dans les volumes 1 et 2.
Mais comme le fluide est incompressible, les masses des volumes 1 et 2 (qui on le rappelle sont égaux) doivent être égales, m, start subscript, 1, end subscript, equals, m, start subscript, 2, end subscript, equals, m. En remplaçant toutes les masses par m, on obtient :
P, start subscript, 1, end subscript, V, minus, P, start subscript, 2, end subscript, V, equals, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, m, g, h, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, minus, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, m, g, h, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis
On divise de chaque côté par V et on développe les termes entre parenthèses :
P, start subscript, 1, end subscript, minus, P, start subscript, 2, end subscript, equals, start fraction, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, start subscript, 2, end subscript, squared, divided by, V, end fraction, plus, start fraction, m, g, h, start subscript, 2, end subscript, divided by, V, end fraction, minus, start fraction, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, start subscript, 1, end subscript, squared, divided by, V, end fraction, minus, start fraction, m, g, h, start subscript, 1, end subscript, divided by, V, end fraction
On peut simplifier cette équation en remarquant que la masse du fluide déplacé divisée par le volume de fluide déplacé est égale à la masse volumique du fluide rho, equals, start fraction, m, divided by, V, end fraction. On remplace donc start fraction, m, divided by, V, end fraction par rho pour obtenir :
P, start subscript, 1, end subscript, minus, P, start subscript, 2, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 2, end subscript, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 1, end subscript, squared, minus, rho, g, h, start subscript, 1, end subscript
On réarrange maintenant l'équation pour mettre du même côté tous les termes faisant référence au même point du système (1 ou 2) :
P, start subscript, 1, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 1, end subscript, equals, P, start subscript, 2, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 2, end subscript
Et on obtient l'équation de Bernoulli. Elle dit que si, pour n'importe quel couple de points d'une ligne de courant d'un écoulement laminaire permanent, on fait la somme de la pression P, de la densité d'énergie cinétique start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, squared, et de la densité d'énergie potentielle de pesanteur rho, g, h, alors ces sommes seront forcément égales.
L'équation de Bernoulli peut être considérée comme l'application du principe de conservation de l'énergie dans un fluide en mouvement. La signification de cette équation est que toute variation d'énergies cinétique ou potentielle dans un système de fluide en mouvement est causée par du travail fourni par la pression du fluide entourant le système. Il faut garder à l'esprit que cette formule n'est valable que si on fait plusieurs hypothèses : l'écoulement doit être laminaire, et il ne doit pas y avoir de forces dissipatives, sans quoi de l'énergie thermique pourrait être échangée par le système. Il faut de plus admettre que l'écoulement est permanent sinon on ne peut pas ignorer l'énergie de la portion centrale de fluide, qui se trouve entre les extrémités. Il faut enfin faire l'hypothèse que le fluide est incompressible, pour que les masses et les volumes considérés dans les calculs soient tous les mêmes.
Comme la quantité P, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, squared, plus, rho, g, h est la même en tout point d'une ligne de courant d'un écoulement laminaire, on peut écrire l'équation de Bernoulli d'une autre manière :
P, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, squared, plus, rho, g, h, equals, start text, c, o, n, s, t, a, n, t, e, end text
Cette constante sera différente pour chaque système, mais pour un même écoulement laminaire, permanent, et non-dissipatif de fluide en mouvement, la valeur de P, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, squared, plus, rho, g, h sera la même en tout point d'une ligne de courant.

Comment le principe de Bernoulli est-il lié à l'équation de Bernoulli ?

On va montrer que le principe de Bernoulli est en fait un cas particulier de l'équation de Bernoulli. On part de l'équation de Bernoulli :
P, start subscript, 1, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 1, end subscript, equals, P, start subscript, 2, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 2, end subscript
et on fait l'hypothèse que le fluide ne change pas d'altitude, les termes en rho, g, h sont donc égaux et on peut les simplifier de chaque coté de l'équation.
P, start subscript, 1, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 1, end subscript, squared, equals, P, start subscript, 2, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 2, end subscript, squared
que l'on peut aussi écrire :
P, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, squared, equals, start text, c, o, n, s, t, a, n, t, e, end text
Cette formule est une écriture mathématique du théorème de Bernoulli, car en effet si la vitesse v d'un fluide est plus grande en un point donné d'un écoulement laminaire, alors la pression P de ce fluide en ce point doit être plus petite (c'est bien le théorème de Bernoulli). Une augmentation de la vitesse v doit forcément s'accompagner d'une diminution de la pression P pour que la somme des termes soit constante.

Exemples d'exercices utilisant l'équation de Bernoulli

Exemple 1 : Le distributeur de bière

Un patron de bar imagine un système innovant pour servir sa bière à ses clients. Une solution envisagée est d'utiliser un tube pour transporter la bière, de masse volumique 1090, start fraction, k, g, divided by, m, cubed, end fraction, d'un bout à l'autre du bar. Une section du tube est représentée sur la figure ci-dessous. Selon les plans de construction, la vitesse et la pression relative de la bière au point 1 doivent être respectivement de 3, comma, 00, start text, space, m, slash, s, end text et de 12300, start text, space, P, a, end text. La bière au point 2 se situe à 1, comma, 20, start text, space, m, end text plus haut qu'au point 1, et se déplace à une vitesse de 0, comma, 750, start text, space, m, slash, s, end text. Le chiffre qui indique la pression de la bière au point 2 sur le plan est illisible.
Utiliser l'équation de Bernoulli pour déterminer la pression relative de la bière au point 2.
P, start subscript, 1, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 1, end subscript, equals, P, start subscript, 2, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 2, end subscript (On commence par écrire l'équation de Bernoulli.)
P, start subscript, 2, end subscript, equals, P, start subscript, 1, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 1, end subscript, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 2, end subscript, squared, minus, rho, g, h, start subscript, 2, end subscript (On en déduit l'expression de P, start subscript, 2, end subscript.)
Il faut maintenant choisir une altitude de référence h, equals, 0. On choisit l'altitude du point 1 comme étant h, equals, 0. On a donc comme valeurs numériques h, start subscript, 1, end subscript, equals, 0 et h, start subscript, 2, end subscript, equals, 1, comma, 2, start text, space, m, end text. On insère ces valeurs dans l'équation :
P, start subscript, 2, end subscript, equals, P, start subscript, 1, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, rho, g, ×, left parenthesis, 0, start text, space, m, end text, right parenthesis, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 2, end subscript, squared, minus, rho, g, ×, left parenthesis, 1, comma, 2, m, right parenthesis (On remplace les grandeurs h, start subscript, 1, end subscript et h, start subscript, 2, end subscript par leurs valeurs numériques.)
On peut simplifier le terme avec un zéro et remplacer les autres grandeurs connues par leurs valeurs numériques :
P, start subscript, 2, end subscript, equals, 12300, start text, space, P, a, end text, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, 1090, start fraction, k, g, divided by, m, cubed, end fraction, right parenthesis, ×, left parenthesis, 3, comma, 00, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, 1090, start fraction, k, g, divided by, m, cubed, end fraction, right parenthesis, ×, left parenthesis, 0, comma, 750, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, 1090, start fraction, k, g, divided by, m, cubed, end fraction, right parenthesis, ×, g, ×, left parenthesis, 1, comma, 20, start text, space, m, end text, right parenthesis
P, start subscript, 2, end subscript, equals, 4080, start text, space, P, a, end text (On fait l'application numérique et on précise l'unité.)
Remarque : Ce résultat est la pression relative au point 2, et non la pression absolue, car c'est la pression relative du point 1 qu'on a utilisée dans l'équation. Pour obtenir la pression absolue au point 2, il faudrait ajouter la pression atmosphérique left parenthesis, 1, comma, 01, times, 10, start superscript, 5, end superscript, start text, space, P, a, end text, right parenthesis au résultat obtenu.

Exemple 2 : Technologie de la fontaine à eau

Un grand complexe hôtelier engage un ingénieur pour construire une fontaine d'eau alimentée par un tube cylindrique de diamètre 15, start text, space, c, m, end text, qui transporte l'eau horizontalement à une profondeur de 8, comma, 00, start text, space, m, end text sous la surface du sol. Le tuyau fait alors un angle droit et remonte au niveau de la surface avec un nouveau diamètre de 5, comma, 00, start text, space, c, m, end text. L'eau jaillit ensuite du bout du tuyau à une hauteur de 1, comma, 75, start text, space, m, end text au dessus du sol, et avec une vitesse de 32, comma, 0, start text, space, m, slash, s, end text. La masse volumique de l'eau est de 1, space, 000, start fraction, k, g, divided by, m, cubed, end fraction.
Quelle pression relative doit-on avoir dans la section horizontale enterrée du tube pour que l'eau jaillisse de la fontaine ?
Les problèmes comme celui-là qui utilisent l'équation de Bernoulli sont assez difficiles à se représenter, il vaut donc mieux faire un schéma et choisir deux points d'intérêt (la figure ci-dessous n'est pas à l'échelle) :
On choisit le premier point dans la partie horizontale du tuyau, car c'est dans cette partie que l'on cherche à déterminer la pression. Comme point numéro 2, le point où l'eau jaillit au sommet de la fontaine est un bon choix car on connaît la vitesse de l'eau à cet endroit.
P, start subscript, 1, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 1, end subscript, equals, P, start subscript, 2, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 2, end subscript (On commence par écrire l'équation de Bernoulli.)
P, start subscript, 1, end subscript, equals, P, start subscript, 2, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 2, end subscript, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 1, end subscript, squared, minus, rho, g, h, start subscript, 1, end subscript (On en déduit l'expression de P, start subscript, 1, end subscript.)
On ignore la vitesse de l'eau au point 1. Il faut commencer par déterminer cette vitesse v, start subscript, 1, end subscript avant de pouvoir calculer la pression au point 1.
Pour cela on utilise l'équation de conservation du débit volumique S, start subscript, 1, end subscript, v, start subscript, 1, end subscript, equals, S, start subscript, 2, end subscript, v, start subscript, 2, end subscript, qui est vérifiée puisque l'eau liquide est incompressible. On sait que la surface de la section d'un tuyau cylindrique est celle d'un disque S, equals, pi, r, squared, on utilise donc cette expression dans l'équation de conservation du débit volumique :
left parenthesis, pi, r, start subscript, 1, end subscript, squared, right parenthesis, v, start subscript, 1, end subscript, equals, left parenthesis, pi, r, start subscript, 2, end subscript, squared, right parenthesis, v, start subscript, 2, end subscript
On en déduit l'expression de la vitesse v, start subscript, 1, end subscript après avoir simplifié par pi :
v, start subscript, 1, end subscript, equals, left parenthesis, start fraction, r, start subscript, 2, end subscript, squared, divided by, r, start subscript, 1, end subscript, squared, end fraction, right parenthesis, v, start subscript, 2, end subscript
Il ne reste plus qu'à remplacer les grandeurs par leurs valeurs numériques et à faire l'application numérique :
v, start subscript, 1, end subscript, equals, start fraction, left parenthesis, 2, comma, 50, start text, space, c, m, end text, right parenthesis, squared, divided by, left parenthesis, 7, comma, 50, start text, space, c, m, end text, right parenthesis, squared, end fraction, ×, left parenthesis, 32, comma, 0, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, equals, 3, comma, 56, start text, space, m, slash, s, end text
Maintenant qu'on a déterminé la vitesse au point 1, on remplace sa valeur dans l'équation de Bernoulli :
P, start subscript, 1, end subscript, equals, P, start subscript, 2, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, ×, rho, ×, left parenthesis, 32, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 2, end subscript, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, ×, rho, ×, left parenthesis, 3, comma, 56, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, minus, rho, g, h, start subscript, 1, end subscript (Avec les valeurs des vitesses)
On choisit l'altitude de référence h, equals, 0 au point 1, ce qui fait qu'on a h, start subscript, 1, end subscript, equals, 0, start text, space, m, end text et h, start subscript, 2, end subscript, equals, 8, comma, 00, start text, space, m, end text, plus, 1, comma, 75, start text, space, m, end text, equals, 9, comma, 75, start text, space, m, end text.
On insère ces valeurs numériques dans l'équation de Bernoulli, et le terme rho, g, h, start subscript, 1, end subscript disparaît puisqu'il est nul.
P, start subscript, 1, end subscript, equals, P, start subscript, 2, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, ×, rho, ×, left parenthesis, 32, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, plus, rho, ×, g, ×, left parenthesis, 9, comma, 75, start text, space, m, end text, right parenthesis, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, ×, rho, ×, left parenthesis, 3, comma, 56, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared (On a inséré les valeurs de h.)
Il ne reste maintenant qu'à déterminer la pression P, start subscript, 2, end subscript au point 2. On va admettre que la pression au point 2 est la pression atmosphérique, car c'est l'endroit où l'eau jaillit à l'air libre. Cette hypothèse se retrouve souvent dans les problèmes utilisant l'équation de Bernoulli. Chaque fois que le fluide est au contact avec l'air, alors il est à pression atmosphérique à cet endroit. On peut soit choisir d'utiliser la pression absolue dans l'équation de Bernoulli, et dans ce cas on a P, start subscript, 2, end subscript, equals, 1, comma, 01, times, 10, start superscript, 5, end superscript, P, a, ou alors choisir d'utiliser la pression relative, et dans ce cas P, start subscript, 2, end subscript, equals, 0, P, a (car la pression relative exprime la pression par rapport à la pression atmosphérique). Il est toujours plus simple d'utiliser des valeurs nulles dans les calculs, on choisit donc P, start subscript, 2, end subscript, equals, 0, P, a :
P, start subscript, 1, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, ×, rho, ×, left parenthesis, 32, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, plus, rho, ×, g, ×, left parenthesis, 9, comma, 75, start text, space, m, end text, right parenthesis, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, ×, rho, ×, left parenthesis, 3, comma, 56, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared (On a utilisé P, start subscript, 2, end subscript, equals, 0, P, a)
On remplace maintenant la masse volumique de l'eau par sa valeur rho, equals, 1, space, 000, start fraction, k, g, divided by, m, cubed, end fraction et de même pour l'accélération de la pesanteur g, equals, plus, 9, comma, 8, start fraction, m, divided by, s, squared, end fraction pour finalement obtenir :
P, start subscript, 1, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, ×, left parenthesis, 1, space, 000, start fraction, k, g, divided by, m, cubed, end fraction, right parenthesis, ×, left parenthesis, 32, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, 1, space, 000, start fraction, k, g, divided by, m, cubed, end fraction, right parenthesis, ×, left parenthesis, plus, 9, comma, 8, start fraction, m, divided by, s, squared, end fraction, right parenthesis, ×, left parenthesis, 9, comma, 75, start text, space, m, end text, right parenthesis, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, ×, left parenthesis, 1, space, 000, start fraction, k, g, divided by, m, cubed, end fraction, right parenthesis, ×, left parenthesis, 3, comma, 56, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared
P, start subscript, 1, end subscript, equals, 6, comma, 01, times, 10, start superscript, 5, end superscript, P, a (On fait l'application numérique et on précise l'unité.)
Remarque : Le résultat obtenu est la pression relative, puisqu'on a utilisé P, start subscript, 2, end subscript, equals, 0, P, a. Si on avait utilisé P, start subscript, 2, end subscript, equals, 1, comma, 01, times, 10, start superscript, 5, end superscript, start text, space, P, a, end text à la place, le résultat du calcul aurait été la pression absolue au point 1.

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur floehr31
    Je cherche partout depuis 3 mois mais je ne trouve pas de réponse alors je pose la question ici peut-être qu'elle sera vue.
    J'étudie le mouvement de l'eau dans une lance à incendie dont j'ai moi-même défini les paramètres et je prends en compte les pertes de charges. Mon but est de déduire la vitesse de l'eau en sortie du tuyau, faut-il ajouter les pertes charges à la partie droite de l'égalité dans le théorème de Bernouilli ? Ou bien les soustraire ?

    Merci si vous me répondez, vraiment.
    (1 vote)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.