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Physique
Cours : Physique > Chapitre 9
Leçon 3: Dynamique des fluides- Débit volumique et conservation de la masse
- Qu'est-ce que le débit volumique ?
- Équation de Bernoulli
- Application de l'équation de Bernoulli : Vidange - Partie I
- Application de l'équation de Bernoulli : Vidange - Partie II
- Application de l'équation de Bernoulli : Calcul d'un débit volumique
- Qu'est-ce que l'équation de Bernoulli ?
- Viscosité et écoulement de Poiseuille
- Turbulences à haute vitesse et nombre de Reynolds
- Effet Venturi et tubes de Pitot
- Tension superficielle et adhérence
Qu'est-ce que le débit volumique ?
Maintenant que l'on connait tout sur le mouvement des objets, on s'attaque à décrire le mouvement d'un fluide.
Qu'est-ce que le débit volumique ?
Débit volumique : sous ce terme barbare se cache un principe physique sans lequel on ne pourrait pas vivre. Le débit volumique d'un fluide est le volume de ce fluide qui passe par une section donnée par unité de temps. On appelle section une surface traversée par un fluide en mouvement, par exemple la surface délimitée par la ligne pointillée dans la figure ci-dessous.
Comme le débit volumique exprime un volume traversant une surface par unité de temps, on le définit mathématiquement de la manière suivante :
L'unité S.I. (Unité du Système International) qu'on utilise pour exprimer le débit volumique est le mètre cube par seconde, . Le débit volumique est donc le nombre de mètres cubes de fluide qui traversent une surface donnée par seconde.
Pourquoi a-t-on dit plus haut que le débit volumique nous maintenait en vie ? C'est parce que le cœur humain pompe un volume de sang à peu près égal au volume d'une canette de soda toutes les quatre secondes.
Existe-t-il une autre formule pour le débit volumique ?
Il se trouve qu'il existe une autre façon d'écrire le débit volumique que la formule .
Le volume de fluide se trouvant dans une portion de tuyau peut s'écrire , étant l'aire de la section de tuyau et sa longueur, comme indiqué dans la figure ci-dessous. On remplace par son expression dans l'équation du débit volumique pour obtenir la formule suivante :
Le terme représente en fait la longueur du volume de fluide divisée par le temps qu'il faut au fluide pour parcourir la dite longueur, ce qui correspond à la vitesse d'écoulement du fluide. On peut donc remplacer par la vitesse du fluide dans l'équation précédente :
Il faut bien faire attention, car on manipule maintenant deux grandeurs représentées par la même lettre, le volume par un majuscule, et la vitesse du fluide par un minuscule.
Incompressibilité des liquides
Il s'avère que la plupart des liquides sont quasiment incompressibles. Cela signifie qu'on peut transvaser un litre de lait dans n'importe quel récipient de capacité un litre, mais qu'il sera quoi qu'il arrive impossible de faire entrer ce litre de lait dans un récipient d'un demi-litre, quelle que soit la manière dont on s'y prend.
Comme les liquides sont incompressibles, toute portion de liquide se déplaçant dans un tuyau peut changer de forme, mais gardera toujours le même volume. Cela reste vrai même si le diamètre du tuyau augmente ou diminue. Dans la figure ci-dessous, le volume du liquide à gauche change de forme alors qu'il rentre dans la portion de tuyau plus étroite, à droite, mais ce volume de liquide reste constant, car le liquide est incompressible.
Qu'est-ce que la conservation du débit volumique ?
Comme les liquides sont incompressibles, une quantité donnée de liquide conserve le même volume lorsqu'elle se déplace dans un tuyau. Cela signifie que le volume de liquide qui entre dans une portion de tuyau durant un temps donné doit être le même que le volume de liquide sortant de ce tuyau pendant le même temps. Si par exemple, 2 m d'eau sont injectés dans un tuyau déjà rempli d'eau en une heure, alors 2 m d'eau doivent ressortir de ce tuyau pendant cette même heure. Si ça n'arrive pas, c'est soit que l'eau a été comprimée dans le tuyau—mais on a vu que ça ne pouvait pas arriver car le liquide est incompressible—soit que le tuyau s'est déformé—ce qui ne devrait pas arriver non plus si on admet qu'il est rigide. Ce raisonnement est non seulement valable pour les quantités de liquide entrant et sortant d'un tuyau entier, mais est également tout aussi applicable pour une quantité de liquide entrant ou sortant de n'importe quelle portion de tuyau délimitée arbitrairement.
Ainsi, le débit volumique pour un fluide incompressible est le même en tout point du tuyau dans lequel ce fluide s'écoule.
On peut donc écrire , ce qui revient à écrire, pour tout couple de points à l'intérieur du tuyau, l'égalité des débits volumiques :
En remplaçant dans cette formule le débit volumique par son expression , on obtient :
On peut aussi utiliser l'autre expression du débit volumique, , dans la formule , pour obtenir :
Cette équation s'appelle l'équation de conservation du débit volumique pour les fluides incompressibles—les deux équations précédentes sont parfois aussi utilisées pour traduire cette conservation . Elle découle directement du fait que le fluide s'écoulant dans le tuyau est incompressible.
Cette équation est très utile, particulièrement sous cette forme, car elle indique que la quantité garde une valeur constante en tout point du tuyau. En d'autres termes, quel que soit le point considéré dans un tuyau, la valeur de sera toujours la même pour ce tuyau, si le fluide est incompressible.
Ainsi, si l'aire de la section de tuyau diminue, la vitesse, , du liquide la traversant doit augmenter de façon à ce que le produit, , reste constant. Cela signifie que le fluide accélère quand il entre dans une portion de tuyau plus étroite, et ralentit quand il entre dans une portion plus large. On retrouve ce principe dans la vie de tous les jours—par exemple, quand on bloque partiellement l'embout du tuyau d'arrosage avec son pouce, réduisant ainsi l'aire de sortie . L'eau doit alors sortir avec une vitesse plus élevée, pour que le débit volumique, , reste le même. C'est pourquoi lorsqu'on place un embout étroit sur un arrosoir, comme la surface de sortie diminue, la vitesse de sortie de l'eau augmente.
Exemples d'exercices faisant intervenir le débit volumique
Exemple 1 : Le paradis du soda
Une dame très riche, qui adore les boissons gazeuses, fait construire une maison avec un tuyau cylindrique qui transporte du soda depuis le rez-de-chaussée jusque dans sa chambre à l'étage. La boisson entre en bas de la maison par un tuyau de section d'aire , avec une vitesse de mètres par seconde. Dans la chambre de madame, le robinet duquel s'écoule le précieux liquide possède une aire de sortie de .
Quelle est la vitesse à laquelle s'écoule le soda à la sortie du robinet de la chambre ?
Remarque : On aurait pu résoudre ce problème simplement en remarquant que l'aire du tuyau de sortie dans la chambre est égale à de l'aire du tuyau d'entrée au rez-de-chaussée, . La vitesse du liquide doit donc être trois fois plus élevée dans le tuyau de la chambre que dans le tuyau du rez-de-chaussée pour que la quantité reste constante.
Exemple 2 : Cupcakes au lait de coco
Un chef pâtissier veut s'assurer d'avoir toujours son lait de coco à portée de main quand il réalise ses recettes de cupcakes. Il installe donc un tuyau cylindrique qui relie la réserve à la cuisine. La portion de tuyau se trouvant dans la réserve a un rayon de cm, et le lait de coco s'y écoule à une vitesse de mètres par seconde. Le lait ressort par le tuyau de la cuisine à une vitesse de mètre par seconde.
Quel est le rayon du tuyau par lequel s'écoule le lait de coco dans la cuisine ?
Remarque : Comme on a fait les calculs avec le rayon , en centimètres, le résultat est donc lui aussi exprimé en centimètres.
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