Qu'est-ce que le débit volumique ?

Débit volumique : sous ce terme barbare se cache un principe physique sans lequel on ne pourrait pas vivre. Le débit volumique $D_v$D, start subscript, v, end subscript d'un fluide est le volume de ce fluide qui passe par une section donnée par unité de temps. On appelle section une surface traversée par un fluide en mouvement, par exemple la surface délimitée par la ligne pointillée dans la figure ci-dessous.

Comme le débit volumique exprime un volume traversant une surface par unité de temps, on le définit mathématiquement de la manière suivante :

L'unité S.I. (Unité du Système International) qu'on utilise pour exprimer le débit volumique est le mètre cube par seconde, $\dfrac{\text m^3}{\text s}$start fraction, start text, m, end text, cubed, divided by, start text, s, end text, end fraction. Le débit volumique est donc le nombre de mètres cubes de fluide qui traversent une surface donnée par seconde.

Pourquoi a-t-on dit plus haut que le débit volumique nous maintenait en vie ? C'est parce que le cœur humain pompe un volume de sang à peu près égal au volume d'une canette de soda toutes les quatre secondes.

Il se trouve qu'il existe une autre façon d'écrire le débit volumique que la formule $D_v=\dfrac{V}{t}$D, start subscript, v, end subscript, equals, start fraction, V, divided by, t, end fraction.

Le volume de fluide se trouvant dans une portion de tuyau peut s'écrire $V=Ad$V, equals, A, d, $A$A étant l'aire de la section de tuyau et $d$d sa longueur, comme indiqué dans la figure ci-dessous. On remplace $V$V par son expression dans l'équation du débit volumique pour obtenir la formule suivante :

Le terme $\dfrac{d}{t}$start fraction, d, divided by, t, end fraction représente en fait la longueur du volume de fluide divisée par le temps qu'il faut au fluide pour parcourir la dite longueur, ce qui correspond à la vitesse d'écoulement du fluide. On peut donc remplacer $\dfrac{d}{t}$start fraction, d, divided by, t, end fraction par la vitesse $v$v du fluide dans l'équation précédente :

$A$A est l'aire de la section du tuyau dans lequel passe le fluide, et $v$v est la vitesse du fluide dans le tuyau. On obtient donc une nouvelle formulation du débit volumique $D_v=Av$D, start subscript, v, end subscript, equals, A, v, qui est souvent plus pratique d'utilisation que la formule précédente, en raison du fait que l'aire $A$A est facile à déterminer. La plupart des tuyaux sont cylindriques—l'aire de leur section est donc $A=\pi r^2$A, equals, pi, r, squared—et la vitesse $v$v du fluide est une grandeur qui est particulièrement intéressante dans la plupart des problèmes.

Il faut bien faire attention, car on manipule maintenant deux grandeurs représentées par la même lettre, le volume par un $V$V majuscule, et la vitesse du fluide par un $v$v minuscule.

Il s'avère que la plupart des liquides sont quasiment incompressibles. Cela signifie qu'on peut transvaser un litre de lait dans n'importe quel récipient de capacité un litre, mais qu'il sera quoi qu'il arrive impossible de faire entrer ce litre de lait dans un récipient d'un demi-litre, quelle que soit la manière dont on s'y prend.

Comme les liquides sont incompressibles, toute portion de liquide se déplaçant dans un tuyau peut changer de forme, mais gardera toujours le même volume. Cela reste vrai même si le diamètre du tuyau augmente ou diminue. Dans la figure ci-dessous, le volume $V$V du liquide à gauche change de forme alors qu'il rentre dans la portion de tuyau plus étroite, à droite, mais ce volume de liquide reste constant, car le liquide est incompressible.

Comme les liquides sont incompressibles, une quantité donnée de liquide conserve le même volume lorsqu'elle se déplace dans un tuyau. Cela signifie que le volume de liquide qui entre dans une portion de tuyau durant un temps donné doit être le même que le volume de liquide sortant de ce tuyau pendant le même temps. Si par exemple, 2 m$^3$cubed d'eau sont injectés dans un tuyau déjà rempli d'eau en une heure, alors 2 m$^3$cubed d'eau doivent ressortir de ce tuyau pendant cette même heure. Si ça n'arrive pas, c'est soit que l'eau a été comprimée dans le tuyau—mais on a vu que ça ne pouvait pas arriver car le liquide est incompressible—soit que le tuyau s'est déformé—ce qui ne devrait pas arriver non plus si on admet qu'il est rigide. Ce raisonnement est non seulement valable pour les quantités de liquide entrant et sortant d'un tuyau entier, mais est également tout aussi applicable pour une quantité de liquide entrant ou sortant de n'importe quelle portion de tuyau délimitée arbitrairement.

Ainsi, le débit volumique $D_v$D, start subscript, v, end subscript pour un fluide incompressible est le même en tout point du tuyau dans lequel ce fluide s'écoule.

On peut donc écrire $D_v=constante$D, start subscript, v, end subscript, equals, c, o, n, s, t, a, n, t, e, ce qui revient à écrire, pour tout couple de points à l'intérieur du tuyau, l'égalité des débits volumiques :

En remplaçant dans cette formule le débit volumique par son expression $D_v=\dfrac{V}{t}$D, start subscript, v, end subscript, equals, start fraction, V, divided by, t, end fraction, on obtient :

On peut aussi utiliser l'autre expression du débit volumique, $D_v=Av$D, start subscript, v, end subscript, equals, A, v, dans la formule $D_{v1}=D_{v2}$D, start subscript, v, 1, end subscript, equals, D, start subscript, v, 2, end subscript, pour obtenir :

Cette équation s'appelle l'équation de conservation du débit volumique pour les fluides incompressibles—les deux équations précédentes sont parfois aussi utilisées pour traduire cette conservation . Elle découle directement du fait que le fluide s'écoulant dans le tuyau est incompressible.

Cette équation est très utile, particulièrement sous cette forme, car elle indique que la quantité $Av$A, v garde une valeur constante en tout point du tuyau. En d'autres termes, quel que soit le point considéré dans un tuyau, la valeur de $Av$A, v sera toujours la même pour ce tuyau, si le fluide est incompressible.

Ainsi, si l'aire $A$A de la section de tuyau diminue, la vitesse, $v$v, du liquide la traversant doit augmenter de façon à ce que le produit, $Av$A, v, reste constant. Cela signifie que le fluide accélère quand il entre dans une portion de tuyau plus étroite, et ralentit quand il entre dans une portion plus large. On retrouve ce principe dans la vie de tous les jours—par exemple, quand on bloque partiellement l'embout du tuyau d'arrosage avec son pouce, réduisant ainsi l'aire de sortie $A$A. L'eau doit alors sortir avec une vitesse $v$v plus élevée, pour que le débit volumique, $Av$A, v, reste le même. C'est pourquoi lorsqu'on place un embout étroit sur un arrosoir, comme la surface de sortie $A$A diminue, la vitesse $v$v de sortie de l'eau augmente.

Une dame très riche, qui adore les boissons gazeuses, fait construire une maison avec un tuyau cylindrique qui transporte du soda depuis le rez-de-chaussée jusque dans sa chambre à l'étage. La boisson entre en bas de la maison par un tuyau de section d'aire $0{,}0036 \text{ m}^2$0, comma, 0036, start text, space, m, end text, squared, avec une vitesse de $0{,}48$0, comma, 48 mètres par seconde. Dans la chambre de madame, le robinet duquel s'écoule le précieux liquide possède une aire de sortie de $0{,}0012\text{ m}^2$0, comma, 0012, start text, space, m, end text, squared.

$A_1 v_1 =A_2 v_2 \quad$A, start subscript, 1, end subscript, v, start subscript, 1, end subscript, equals, A, start subscript, 2, end subscript, v, start subscript, 2, end subscript (Comme le liquide est incompressible, on peut écrire l'équation de conservation du débit volumique.)

$v_2 = (\dfrac{A_1}{A_2})v_1 \quad$v, start subscript, 2, end subscript, equals, left parenthesis, start fraction, A, start subscript, 1, end subscript, divided by, A, start subscript, 2, end subscript, end fraction, right parenthesis, v, start subscript, 1, end subscript (On en déduit l'expression de la vitesse du liquide dans la chambre.)

$v_2 = \dfrac{0{,}0036 \text m^2}{0{,}0012 \text m^2}×(0{,}48 \text{ m/s}) \quad$v, start subscript, 2, end subscript, equals, start fraction, 0, comma, 0036, start text, m, end text, squared, divided by, 0, comma, 0012, start text, m, end text, squared, end fraction, ×, left parenthesis, 0, comma, 48, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis (On remplace les grandeurs par leurs valeurs numériques.)

$v_2=1{,}44 \text{ m/s} \quad$v, start subscript, 2, end subscript, equals, 1, comma, 44, start text, space, m, slash, s, end text (On fait l'application numérique et on précise les unités.)

Remarque : On aurait pu résoudre ce problème simplement en remarquant que l'aire $A_2$A, start subscript, 2, end subscript du tuyau de sortie dans la chambre est égale à $\dfrac{1}{3}$start fraction, 1, divided by, 3, end fraction de l'aire du tuyau d'entrée au rez-de-chaussée, $A_1$A, start subscript, 1, end subscript. La vitesse du liquide doit donc être trois fois plus élevée dans le tuyau de la chambre que dans le tuyau du rez-de-chaussée pour que la quantité $Av$A, v reste constante.

Un chef pâtissier veut s'assurer d'avoir toujours son lait de coco à portée de main quand il réalise ses recettes de cupcakes. Il installe donc un tuyau cylindrique qui relie la réserve à la cuisine. La portion de tuyau se trouvant dans la réserve a un rayon de $4$4 cm, et le lait de coco s'y écoule à une vitesse de $0{,}25$0, comma, 25 mètres par seconde. Le lait ressort par le tuyau de la cuisine à une vitesse de $1$1 mètre par seconde.

$A_1 v_1 =A_2 v_2 \quad$A, start subscript, 1, end subscript, v, start subscript, 1, end subscript, equals, A, start subscript, 2, end subscript, v, start subscript, 2, end subscript (Comme le liquide est incompressible, on peut écrire l'équation de conservation du débit volumique.)

$\pi (r_1)^2 v_1 =\pi (r_2)^2 v_2 \quad$pi, left parenthesis, r, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis, squared, v, start subscript, 1, end subscript, equals, pi, left parenthesis, r, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, squared, v, start subscript, 2, end subscript (On utilise la formule $\pi r^2$pi, r, squared pour exprimer l'aire de la section d'un tuyau cylindrique.)

$(r_1)^2 v_1 = (r_2)^2 v_2 \quad$left parenthesis, r, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis, squared, v, start subscript, 1, end subscript, equals, left parenthesis, r, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, squared, v, start subscript, 2, end subscript (On simplifie par $\pi$pi.)

$(r_2)^2 = (r_1)^2 \dfrac{v_1}{v_2} \quad$left parenthesis, r, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, r, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis, squared, start fraction, v, start subscript, 1, end subscript, divided by, v, start subscript, 2, end subscript, end fraction (On en déduit l'expression du carré du rayon du tuyau de sortie.)

$r_2 = r_1 \sqrt{\dfrac{v_1}{v_2}} \quad$r, start subscript, 2, end subscript, equals, r, start subscript, 1, end subscript, square root of, start fraction, v, start subscript, 1, end subscript, divided by, v, start subscript, 2, end subscript, end fraction, end square root (On prend la racine carrée des deux cotés.)

$r_2 = (4 \text{ cm})× \sqrt{\dfrac{0{,}25 \text{ m/s}}{1{,}0 \text{ m/s}}} \quad$r, start subscript, 2, end subscript, equals, left parenthesis, 4, start text, space, c, m, end text, right parenthesis, ×, square root of, start fraction, 0, comma, 25, start text, space, m, slash, s, end text, divided by, 1, comma, 0, start text, space, m, slash, s, end text, end fraction, end square root (On remplace les grandeurs par leurs valeurs numériques.)

$r_2 = 2\text{ cm} \text{ ou } 0{,}02\text { m}$r, start subscript, 2, end subscript, equals, 2, start text, space, c, m, end text, start text, space, o, u, space, end text, 0, comma, 02, start text, space, m, end text$\quad$ (On fait l'application numérique et on précise les unités.)

Remarque : Comme on a fait les calculs avec le rayon $r_1=4\text{ cm}$r, start subscript, 1, end subscript, equals, 4, start text, space, c, m, end text, en centimètres, le résultat est donc lui aussi exprimé en centimètres.