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Physique

Cours : Physique > Chapitre 3 

Leçon 5: Plans inclinés et frottements
Sciences
Physique
Forces et lois de Newton
Plans inclinés et frottements
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Qu'est-ce qu'un plan incliné ?

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En général, les surfaces ne sont pas horizontales. Que se passe-t-il sur une pente ?

Qu'est-ce qu'un plan incliné ?

Une rampe de skate, une descente de garage, la rampe de chargement d'une camionnette sont autant d'exemples de plans inclinés. Un plan incliné est une surface oblique sur laquelle un objet peut descendre ou monter, en glissant ou en roulant, ou tout simplement être posé.
Les plans inclinés sont très utiles, car ils permettent de réduire la force à appliquer pour déplacer un objet verticalement. C'est l'un des six types de machines simples.

Comment appliquer la deuxième loi de Newton lorsqu'on a un plan incliné ?

En général, pour résoudre les exercices sur les forces, on exprime la deuxième loi de Newton selon l'horizontale et la verticale. Mais, dans le cas des plans inclinés, le mouvement qui nous intéresse est celui qui est parallèle à la surface du plan. Il est donc plus pratique d'exprimer la deuxième loi de Newton en projetant les forces sur l'axe parallèle et l'axe perpendiculaire au plan incliné.
On se place donc dans un repère formé par l'axe perpendiculaire \perp et l'axe parallèle \parallel à la surface du plan incliné, et on exprime les composantes des forces et de l'accélération dans ce repère.
a, start subscript, \perp, end subscript, equals, start fraction, \Sigma, F, start subscript, \perp, end subscript, divided by, m, end fraction, a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, start fraction, \Sigma, F, start subscript, \parallel, end subscript, divided by, m, end fraction
Généralement, la masse se déplace parallèlement à la surface du plan incliné, mais ne se déplace pas perpendiculairement à la surface. Ainsi, on peut presque toujours supposer que a, start subscript, \perp, end subscript, equals, 0.

Comment déterminer les composantes \perp et \parallel du poids ?

Pour exprimer la deuxième loi de Newton selon l'axe perpendiculaire et l'axe parallèle à la surface du plan incliné, nous devons d'abord déterminer les composantes perpendiculaire et parallèle du poids.
Les composantes du poids sont représentées sur le schéma ci-dessous. Attention à ne pas inverser start text, s, i, n, end text et start text, c, o, s, end text dans ces expressions !

Comment déterminer la réaction normale R, start subscript, N, end subscript du plan incliné sur un objet ?

La réaction normale R, start subscript, N, end subscript est toujours perpendiculaire à la surface exerçant cette force. Ainsi, la réaction normale d'un plan incliné sur un objet est perpendiculaire à la surface du plan.
S'il n'y a pas d'accélération selon l'axe perpendiculaire au plan incliné, il doit y avoir un équilibre des forces dans cette direction. Si on se reporte au bilan des forces représenté ci-dessous, on voit que la réaction normale doit être égale à la composante perpendiculaire du poids pour que la somme des composantes perpendiculaires des forces soit nulle.
En d'autres mots, la réaction normale d'un plan incliné sur un objet posé ou glissant sur le plan peut s'écrire :
R, start subscript, N, end subscript, equals, m, g, start text, c, o, s, end text, theta

Exemples d'exercices sur des plans inclinés

Exemple 1 : Luge sur une pente enneigée

Un enfant descend une pente enneigée sur une luge. L'angle de la pente par rapport à l'horizontale est theta, equals, 30, start superscript, o, end superscript et le coefficient de frottement cinétique entre la luge et la neige est mu, start subscript, c, end subscript, equals, 0, comma, 150. La masse combinée de l'enfant et de la luge est 65, comma, 0, start text, space, k, g, end text.
Quelle est l'accélération de la luge lors de la descente ?
Nous allons d'abord faire une représentation vectorielle des forces.
On peut ensuite exprimer la deuxième loi de Newton selon l'axe parallèle au plan incliné, ce qui nous donne :
a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, start fraction, \Sigma, F, start subscript, \parallel, end subscript, divided by, m, end fraction, start text, left parenthesis, e, x, p, r, i, m, o, n, s, space, l, a, space, d, e, u, x, i, e, with, \`, on top, m, e, space, l, o, i, space, d, e, space, N, e, w, t, o, n, space, s, e, l, o, n, space, l, apostrophe, a, x, e, space, p, a, r, a, l, l, e, with, \`, on top, l, e, right parenthesis, end text
a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, start fraction, m, g, start text, s, i, n, end text, theta, minus, f, start subscript, c, end subscript, divided by, m, end fraction, start text, left parenthesis, e, with, \', on top, c, r, i, v, o, n, s, space, e, n, space, d, e, with, \', on top, t, a, i, l, space, l, a, space, s, o, m, m, e, space, d, e, s, space, c, o, m, p, o, s, a, n, t, e, s, space, p, a, r, a, l, l, e, with, \`, on top, l, e, s, right parenthesis, end text
a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, start fraction, m, g, start text, s, i, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, c, end subscript, R, start subscript, N, end subscript, divided by, m, end fraction, start text, left parenthesis, a, p, p, l, i, q, u, o, n, s, space, l, a, space, f, o, r, m, u, l, e, space, d, e, space, l, a, space, f, o, r, c, e, space, d, e, space, f, r, o, t, t, e, m, e, n, t, space, c, i, n, e, with, \', on top, t, i, q, u, e, right parenthesis, end text
a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, start fraction, m, g, start text, s, i, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, c, end subscript, left parenthesis, m, g, start text, c, o, s, end text, theta, right parenthesis, divided by, m, end fraction, start text, left parenthesis, r, e, m, p, l, a, ç, o, n, s, space, end text, R, start subscript, N, end subscript, start text, space, p, a, r, space, s, o, n, space, e, x, p, r, e, s, s, i, o, n, space, end text, m, g, start text, c, o, s, end text, theta, right parenthesis
a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, start fraction, start cancel, m, end cancel, g, start text, s, i, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, c, end subscript, left parenthesis, start cancel, m, end cancel, g, start text, c, o, s, end text, theta, right parenthesis, divided by, start cancel, m, end cancel, end fraction, start text, left parenthesis, s, i, m, p, l, i, f, i, o, n, s, space, l, a, space, m, a, s, s, e, space, a, u, space, n, u, m, e, with, \', on top, r, a, t, e, u, r, space, e, t, space, a, u, space, d, e, with, \', on top, n, o, m, i, n, a, t, e, u, r, right parenthesis, end text
a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, g, start text, s, i, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, c, end subscript, left parenthesis, g, start text, c, o, s, end text, theta, right parenthesis, start text, left parenthesis, a, d, m, i, r, o, n, s, space, q, u, e, space, l, apostrophe, a, c, c, e, with, \', on top, l, e, with, \', on top, r, a, t, i, o, n, space, n, e, space, d, e, with, \', on top, p, e, n, d, space, p, a, s, space, d, e, space, l, a, space, m, a, s, s, e, right parenthesis, end text
a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, left parenthesis, 9, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, start text, s, i, n, end text, 30, start superscript, o, end superscript, minus, left parenthesis, 0, comma, 150, right parenthesis, left parenthesis, 9, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, start text, c, o, s, end text, 30, start superscript, o, end superscript, start text, left parenthesis, r, e, m, p, l, a, ç, o, n, s, space, l, e, s, space, p, a, r, a, m, e, with, \`, on top, t, r, e, s, space, p, a, r, space, l, e, u, r, s, space, v, a, l, e, u, r, s, space, n, u, m, e, with, \', on top, r, i, q, u, e, s, right parenthesis, end text
a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, 3, comma, 63, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, start text, left parenthesis, f, a, i, s, o, n, s, space, l, e, space, c, a, l, c, u, l, space, e, t, space, c, apostrophe, e, s, t, space, t, e, r, m, i, n, e, with, \', on top, space, !, right parenthesis, end text

Exemple 2 : Descente de garage en pente forte

Une personne construit une maison. Elle veut savoir quelle inclinaison maximale peut avoir sa descente de garage sachant qu'elle doit pouvoir y garer sa voiture sans que celle-ci ne glisse. Elle sait que le coefficient de frottement statique entre les pneus de sa voiture et le béton de la pente est de 0, comma, 75.
Quelle est la valeur maximale de l'angle entre la pente et l'horizontale permettant à cette personne de garer sa voiture sans glisser ?
Nous allons d'abord exprimer la deuxième loi de Newton selon l'axe parallèle à la pente.
a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, start fraction, \Sigma, F, start subscript, \parallel, end subscript, divided by, m, end fraction, start text, left parenthesis, e, x, p, r, i, m, o, n, s, space, l, a, space, d, e, u, x, i, e, with, \`, on top, m, e, space, l, o, i, space, d, e, space, N, e, w, t, o, n, space, s, e, l, o, n, space, l, apostrophe, a, x, e, space, p, a, r, a, l, l, e, with, \`, on top, l, e, right parenthesis, end text
a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, start fraction, m, g, start text, s, i, n, end text, theta, minus, f, start subscript, s, end subscript, divided by, m, end fraction, start text, left parenthesis, e, with, \', on top, c, r, i, v, o, n, s, space, e, n, space, d, e, with, \', on top, t, a, i, l, space, l, e, s, space, c, o, m, p, o, s, a, n, t, e, s, space, p, a, r, a, l, l, e, with, \`, on top, l, e, s, space, d, u, space, p, o, i, d, s, space, e, t, space, d, e, space, l, a, space, f, o, r, c, e, space, d, e, space, f, r, o, t, t, e, m, e, n, t, space, s, t, a, t, i, q, u, e, right parenthesis, end text
0, equals, start fraction, m, g, start text, s, i, n, end text, theta, minus, f, start subscript, s, end subscript, divided by, m, end fraction, start text, left parenthesis, l, apostrophe, a, c, c, e, with, \', on top, l, e, with, \', on top, r, a, t, i, o, n, space, e, s, t, space, n, u, l, l, e, comma, space, c, a, r, space, l, a, space, v, o, i, t, u, r, e, space, n, e, space, g, l, i, s, s, e, space, p, a, s, right parenthesis, end text
0, equals, m, g, start text, s, i, n, end text, theta, minus, f, start subscript, s, end subscript, start text, left parenthesis, m, u, l, t, i, p, l, i, o, n, s, space, c, h, a, q, u, e, space, c, o, with, \^, on top, t, e, with, \', on top, space, p, a, r, space, end text, m, right parenthesis
0, equals, m, g, start text, s, i, n, end text, theta, minus, f, start subscript, s, start text, space, m, a, x, end text, end subscript, start text, left parenthesis, s, u, p, p, o, s, o, n, s, space, q, u, e, space, end text, f, start subscript, s, end subscript, start text, space, e, s, t, space, e, with, \', on top, g, a, l, e, space, a, with, \`, on top, space, s, a, space, v, a, l, e, u, r, space, m, a, x, i, m, a, l, e, space, end text, f, start subscript, s, start text, space, m, a, x, end text, end subscript, right parenthesis
0, equals, m, g, start text, s, i, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, s, end subscript, R, start subscript, N, end subscript, start text, left parenthesis, r, e, m, p, l, a, ç, o, n, s, space, l, a, space, f, o, r, c, e, space, d, e, space, f, r, o, t, t, e, m, e, n, t, space, s, t, a, t, i, q, u, e, space, m, a, x, i, m, a, l, e, space, p, a, r, space, s, o, n, space, e, x, p, r, e, s, s, i, o, n, end text, right parenthesis
0, equals, m, g, start text, s, i, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, s, end subscript, left parenthesis, m, g, start text, c, o, s, end text, theta, right parenthesis, start text, left parenthesis, r, e, m, p, l, a, ç, o, n, s, space, l, a, space, r, e, with, \', on top, a, c, t, i, o, n, space, n, o, r, m, a, l, e, space, s, u, r, space, u, n, space, p, l, a, n, space, i, n, c, l, i, n, e, with, \', on top, space, p, a, r, space, s, o, n, space, e, x, p, r, e, s, s, i, o, n, end text, right parenthesis
0, equals, start cancel, m, g, end cancel, start text, s, i, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, s, end subscript, left parenthesis, start cancel, m, g, end cancel, start text, c, o, s, end text, theta, right parenthesis, start text, left parenthesis, d, i, v, i, s, o, n, s, space, c, h, a, q, u, e, space, c, o, with, \^, on top, t, e, with, \', on top, space, p, a, r, space, end text, m, g, right parenthesis
0, equals, start text, s, i, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, s, end subscript, left parenthesis, start text, c, o, s, end text, theta, right parenthesis, start text, left parenthesis, a, d, m, i, r, o, n, s, space, q, u, e, space, l, apostrophe, a, n, g, l, e, space, n, e, space, d, e, with, \', on top, p, e, n, d, space, p, a, s, space, d, e, space, l, a, space, m, a, s, s, e, space, d, e, space, l, a, space, v, o, i, t, u, r, e, right parenthesis, end text
start text, s, i, n, end text, theta, equals, mu, start subscript, s, end subscript, left parenthesis, start text, c, o, s, end text, theta, right parenthesis, start text, left parenthesis, e, x, p, r, i, m, o, n, s, space, s, i, n, end text, theta, right parenthesis
start fraction, start text, s, i, n, end text, theta, divided by, start text, c, o, s, end text, theta, end fraction, equals, mu, start subscript, s, end subscript, start text, left parenthesis, d, i, v, i, s, o, n, s, space, c, h, a, q, u, e, space, c, o, with, \^, on top, t, e, with, \', on top, space, p, a, r, space, c, o, s, end text, theta, right parenthesis
start text, t, a, n, end text, theta, equals, mu, start subscript, s, end subscript, start text, left parenthesis, o, n, space, p, e, u, t, space, r, e, m, p, l, a, c, e, r, end text, start fraction, start text, s, i, n, end text, theta, divided by, start text, c, o, s, end text, theta, end fraction, start text, space, p, a, r, space, t, a, n, end text, theta, right parenthesis
theta, equals, t, a, n, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, mu, start subscript, s, end subscript, right parenthesis, start text, left parenthesis, p, r, e, n, o, n, s, space, l, apostrophe, i, n, v, e, r, s, e, space, d, e, space, l, a, space, t, a, n, g, e, n, t, e, space, d, e, space, c, h, a, q, u, e, space, c, o, with, \^, on top, t, e, with, \', on top, right parenthesis, end text
theta, equals, t, a, n, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 0, comma, 75, right parenthesis, start text, left parenthesis, r, e, m, p, l, a, ç, o, n, s, space, l, e, space, c, o, e, f, f, i, c, i, e, n, t, space, d, e, space, f, r, o, t, t, e, m, e, n, t, space, p, a, r, space, s, a, space, v, a, l, e, u, r, right parenthesis, end text
theta, equals, 37, start superscript, o, end superscript, start text, left parenthesis, f, a, i, s, o, n, s, space, l, e, space, c, a, l, c, u, l, space, e, t, space, c, apostrophe, e, s, t, space, t, e, r, m, i, n, e, with, \', on top, space, !, right parenthesis, end text

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