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Cours : Physique > Chapitre 3

Leçon 5: Plans inclinés et frottements

Qu'est-ce qu'un plan incliné ?

En général, les surfaces ne sont pas horizontales. Que se passe-t-il sur une pente ?

Qu'est-ce qu'un plan incliné ?

Une rampe de skate, une descente de garage, la rampe de chargement d'une camionnette sont autant d'exemples de plans inclinés. Un plan incliné est une surface oblique sur laquelle un objet peut descendre ou monter, en glissant ou en roulant, ou tout simplement être posé.

Les plans inclinés sont très utiles, car ils permettent de réduire la force à appliquer pour déplacer un objet verticalement. C'est l'un des six types de machines simples.

Une machine simple est un dispositif mécanique offrant un avantage mécanique, c'est-à-dire réduisant la force à exercer pour accomplir une tâche. Il en existe six types : le levier, l'ensemble roue-essieu, la poulie, le plan incliné, le coin et la vis.

Les machines simples sont extrêmement pratiques, car elles réduisent l'intensité de la force requise pour déplacer un objet. Par exemple, la rampe de chargement d'un camion (donc, un plan incliné) permet de déplacer verticalement une charge lourde en exerçant une force réduite. Il y a cependant un léger inconvénient. Certes, la force à appliquer sera inférieure, mais il faudra l'exercer sur une plus longue distance.

Comment appliquer la deuxième loi de Newton lorsqu'on a un plan incliné ?

En général, pour résoudre les exercices sur les forces, on exprime la deuxième loi de Newton selon l'horizontale et la verticale. Mais, dans le cas des plans inclinés, le mouvement qui nous intéresse est celui qui est parallèle à la surface du plan. Il est donc plus pratique d'exprimer la deuxième loi de Newton en projetant les forces sur l'axe parallèle et l'axe perpendiculaire au plan incliné.

On se place donc dans un repère formé par l'axe perpendiculaire $⊥$ ‍ et l'axe parallèle $∥$ ‍ à la surface du plan incliné, et on exprime les composantes des forces et de l'accélération dans ce repère.

a_{⊥} = \frac{Σ F_{⊥}}{m} a_{∥} = \frac{Σ F_{∥}}{m}

Généralement, la masse se déplace parallèlement à la surface du plan incliné, mais ne se déplace pas perpendiculairement à la surface. Ainsi, on peut presque toujours supposer que

a_{⊥} = 0

Comment déterminer les composantes $⊥$ ‍ et $∥$ ‍ du poids ?

Pour exprimer la deuxième loi de Newton selon l'axe perpendiculaire et l'axe parallèle à la surface du plan incliné, nous devons d'abord déterminer les composantes perpendiculaire et parallèle du poids.

Les composantes du poids sont représentées sur le schéma ci-dessous. Attention à ne pas inverser

sin

cos

dans ces expressions !

Pas de souci ! Ce n'est pas forcément évident. On va donc voir chaque étape en détail.

Comme vous pouvez voir, le vecteur poids $P = m g$ ‍ est vertical et dirigé vers le bas.

On peut projeter le vecteur poids sur les deux axes du repère pour faire apparaître sa composante parallèle $P_{∥}$ ‍ et sa composante perpendiculaire $P_{⊥}$ ‍.

L'angle $ϕ$ ‍ du plan incliné en haut à gauche est égal à l'angle $ϕ$ ‍ entre la composante parallèle du poids $P_{∥}$ ‍ et le vecteur poids $P = m g$ ‍. Vous verrez que ce n'est pas cet angle qui nous intéresse, mais il permet de déterminer le troisième angle à l'étape suivante (qui est l'angle d'inclinaison du plan, donc celui qui nous intéresse).

Dans le triangle formé par les composantes du poids, on retrouve deux des angles du plan incliné (l'angle droit et $ϕ$ ‍). Par conséquent, l'angle du bas entre $m g$ ‍ et $P_{⊥}$ ‍ sera identique à l'angle $θ$ ‍ du plan incliné en bas à droite. En effet, la somme des angles d'un triangle est toujours égale à $180^{o}$ ‍. Donc, si deux triangles ont deux angles égaux deux à deux, les deux angles restants seront aussi égaux.

Maintenant que nous connaissons l'angle entre $m g$ ‍ et $P_{⊥}$ ‍, nous pouvons en exprimer le sinus :

sin θ = \frac{côté opposé}{hypoténuse} = \frac{P_{∥}}{m g}

puis isoler

P_{∥}

P_{∥} = m g sin θ

De la même manière, nous pouvons exprimer le cosinus de l'angle :

cos θ = \frac{côté adjacent}{hypoténuse} = \frac{P_{⊥}}{m g}

puis isoler

P_{⊥}

P_{⊥} = m g cos θ

Comment déterminer la réaction normale $R_{N}$ ‍ du plan incliné sur un objet ?

La réaction normale

R_{N}

est toujours perpendiculaire à la surface exerçant cette force. Ainsi, la réaction normale d'un plan incliné sur un objet est perpendiculaire à la surface du plan.

S'il n'y a pas d'accélération selon l'axe perpendiculaire au plan incliné, il doit y avoir un équilibre des forces dans cette direction. Si on se reporte au bilan des forces représenté ci-dessous, on voit que la réaction normale doit être égale à la composante perpendiculaire du poids pour que la somme des composantes perpendiculaires des forces soit nulle.

En d'autres mots, la réaction normale d'un plan incliné sur un objet posé ou glissant sur le plan peut s'écrire :

R_{N} = m g cos θ

On exprime la deuxième loi de Newton selon l'axe perpendiculaire à la surface du plan incliné, ce qui nous donne :

a_{⊥} = \frac{Σ F_{⊥}}{m} (exprimons la deuxième loi de Newton selon l’axe perpendiculaire)

0 = \frac{Σ F_{⊥}}{m} (a_{⊥} est nulle car il n’y a pas de mouvement selon l’axe perpendiculaire)

0 = \frac{R_{N} - m g cos θ}{m} (écrivons en détail la somme des composantes perpendiculaires des forces)

0 = R_{N} - m g cos θ (multiplions chaque côté par m)

R_{N} = m g cos θ (exprimons R_{N})

Cela montre que la réaction normale du plan incliné sur un objet de masse

m

est égale à

m g cos θ

(en supposant qu'il n'y a pas d'autres forces perpendiculaires s'exerçant sur l'objet).

Exemples d'exercices sur des plans inclinés

Exemple 1 : Luge sur une pente enneigée

Un enfant descend une pente enneigée sur une luge. L'angle de la pente par rapport à l'horizontale est

θ = 30^{o}

et le coefficient de frottement cinétique entre la luge et la neige est

μ_{c} = 0,150

. La masse combinée de l'enfant et de la luge est

65, 0 kg

Quelle est l'accélération de la luge lors de la descente ?

Nous allons d'abord faire une représentation vectorielle des forces.

On peut ensuite exprimer la deuxième loi de Newton selon l'axe parallèle au plan incliné, ce qui nous donne :

a_{∥} = \frac{Σ F_{∥}}{m} (exprimons la deuxième loi de Newton selon l’axe parallèle)

a_{∥} = \frac{m g sin θ - f_{c}}{m} (écrivons en détail la somme des composantes parallèles)

a_{∥} = \frac{m g sin θ - μ_{c} R_{N}}{m} (appliquons la formule de la force de frottement cinétique)

a_{∥} = \frac{m g sin θ - μ_{c} (m g cos θ)}{m} (remplaçons R_{N} par son expression m g cos θ)

a_{∥} = \frac{m g sin θ - μ_{c} (m g cos θ)}{m} (simplifions la masse au numérateur et au dénominateur)

a_{∥} = g sin θ - μ_{c} (g cos θ) (admirons que l’accélération ne dépend pas de la masse)

a_{∥} = (9, 8 \frac{m}{s^{2}}) sin 30^{o} - (0,150) (9, 8 \frac{m}{s^{2}}) cos 30^{o} (remplaçons les paramètres par leurs valeurs numériques)

a_{∥} = 3, 63 \frac{m}{s^{2}} (faisons le calcul et c’est terminé !)

Exemple 2 : Descente de garage en pente forte

Une personne construit une maison. Elle veut savoir quelle inclinaison maximale peut avoir sa descente de garage sachant qu'elle doit pouvoir y garer sa voiture sans que celle-ci ne glisse. Elle sait que le coefficient de frottement statique entre les pneus de sa voiture et le béton de la pente est de

0, 75

Quelle est la valeur maximale de l'angle entre la pente et l'horizontale permettant à cette personne de garer sa voiture sans glisser ?

Nous allons d'abord exprimer la deuxième loi de Newton selon l'axe parallèle à la pente.

a_{∥} = \frac{Σ F_{∥}}{m} (exprimons la deuxième loi de Newton selon l’axe parallèle)

a_{∥} = \frac{m g sin θ - f_{s}}{m} (écrivons en détail les composantes parallèles du poids et de la force de frottement statique)

0 = \frac{m g sin θ - f_{s}}{m} (l’accélération est nulle, car la voiture ne glisse pas)

0 = m g sin θ - f_{s} (multiplions chaque côté par m)

0 = m g sin θ - f_{s max} (supposons que f_{s} est égale à sa valeur maximale f_{s max})

La force de frottement statique augmente avec l'inclinaison de l'allée. Puisque nous cherchons l'angle maximal avant que la voiture ne glisse, on se place dans la situation où la force de frottement statique a atteint la plus haute valeur possible pour cette valeur de réaction normale et pour ce coefficient de frottement statique donné.

Cela nous permet d'appliquer la formule

f_{s max} = μ_{s} R_{N}

pour la force de frottement statique.

0 = m g sin θ - μ_{s} R_{N} (remplaçons la force de frottement statique maximale par son expression)

0 = m g sin θ - μ_{s} (m g cos θ) (remplaçons la réaction normale sur un plan incliné par son expression)

0 = m g sin θ - μ_{s} (m g cos θ) (divisons chaque côté par m g)

0 = sin θ - μ_{s} (cos θ) (admirons que l’angle ne dépend pas de la masse de la voiture)

sin θ = μ_{s} (cos θ) (exprimons sin θ)

\frac{sin θ}{cos θ} = μ_{s} (divisons chaque côté par cos θ)

tan θ = μ_{s} (on peut remplacer \frac{sin θ}{cos θ} par tan θ)

θ = t a n^{- 1} (μ_{s}) (prenons l’inverse de la tangente de chaque côté)

θ = t a n^{- 1} (0, 75) (remplaçons le coefficient de frottement par sa valeur)

θ = 37^{o} (faisons le calcul et c’est terminé !)

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Qu'est-ce qu'un plan incliné ?

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Comment déterminer les composantes ⊥‍ et ∥‍ du poids ?

Comment déterminer la réaction normale RN‍ du plan incliné sur un objet ?

Exemples d'exercices sur des plans inclinés

Exemple 1 : Luge sur une pente enneigée

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