Si vous voyez ce message, cela signifie que nous avons des problèmes de chargement de données externes.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Contenu principal

Différences entre le produit scalaire et le produit vectoriel

Comprendre les différences entre le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs. Créé par Sal Khan.

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Philippe Sarrazin
    Je suis sceptique ... comment peut on projeter le vecteur b ( bleu ) sur la droite supportée par le vecteur a ( vert ) et dessiner le vecteur b cos ( teta ) sur cette même droite ? Le vecteur b cos (teta) doit avoir la même direction que le vecteur b ! Multiplier un vecteur par un scalaire ( cos teta ) ne change pas la direction d'un vecteur, ce qui est pourtant dessiné ici ...
    (2 votes)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va essayer de comparer le produit scalaires aux produits vectorielles et plus tôt on va essayer de comprendre quelles sont les différences entre ces deux produits de vecteurs et qu'est ce que ça veut dire de faire un produit qu'à l'air et qu'est ce que ça veut dire de faire un produit vectorielle on va essayer vraiment comprendre qu'est ce que ça veut dire tout ça alors pour commencer on va rappeler les définitions de ces deux produits donc pour ce qui est des définitions alors le produit scalaires lui on va commencer on comprend deux vecteurs a et b1 fait leurs produits scalaires alors ça se note à ce qu à l'herbe et donc avec un petit point comme ça et c'est égal 1 b scalaires ad'ailleurs donc ça on a vu dans la vidéo précédente sur le produit scalaires on a vu que finalement comme on obtient à la fin un scalaire donc un nombre et que c'est juste des multiplications peu importe si c'est ask à l'herbe et au bsca les rats et ensuite ça se calcule comme étant la norme du vecteur a multiplié par un énorme du vecteur b x le cosinus de teta août état et l'angle entre a et b alors pour ce qui est maman du produit victorienne et bien on peut l'écrire vectorielle b comme ça et ce qu'on sait c'est que il est différent de b vectorielles et alors il est différent pas n'importe comment en fait il va avoir la même amplitude la même direction mais un sens différent ils ont pointé dans lance dans un sens différent et donc pour ce qui est de la définition ça on laisse ça de côté 1,2 à vectorielle b eh bien ça va s'écrire norme de 1 x normes de b x le sinus de teta est multiplié par le vecteur rennes où elle est un vecteur attention unitaire est perpendiculaire a et b donc lui il est unitaire et perpendiculaires q l'air à a et b alors unitaire ça veut juste dire que ça ne vaut un est perpendiculaire a et b ça veut ça te donne finalement tu vois la direction et le sens lui il va être donné par la règle de la main droite comme on l'avait fait déjà plusieurs fois sur la vidéo sur le produit vectorielles et également sur dans une vidéo sur le magnétisme par exemple donc maintenant qu'on a donné ces définitions et bien à prendre en exemple et on va essayer de voir ce que ça veut dire par exemple je prends un vecteur a comme ça et je prends un vecteur b comme ça un vecteur become alors déjà on va essayer de comprendre un petit peu le produit scalaires alors ça on a fait dans la vidéo précédent de lenval refaire histoire d'être sûr qu'on a bien compris donc par exemple je dis que je regroupe ensemble et bien des costes et 1 alors oui c'est pas dessiner d'état il se trouve donc si je regroupe ensemble des costes et as tu te souviens ce qu'on avait dit dans cette vidéo c'est que ça revenait finalement à chercher la composante du vecteur b sur le poteau sur la direction de donc si je dis que la direction de mon vecteur à et bien c'est comme ça et bien la projection orthogonale de mon vecteur b sur la direction 1 et bien c'est sain hop comme ça est ce qu'on avait dit c'est du coup et bien b cost et enfin normes de b cost est un et bien c'était cette distance sur cette distance ce vecteur l'a donc sa cb costello et donc finalement ce qu'on voit c'est que le produit qu'à l'ère de la part belle de faim de victoires à part le vecteur bo du vecteur mais par le rectorat et bien c'est bien je cherche les deux composants la composante du vecteur qui est parallèle à celle du deuxième vecteur et je multiplie les deux normes entraîne donc je vois que sam en face on sait à quel point ces vecteurs se ressemblent à quel point ce lecteur vont dans la même direction alors pour bien comprendre je vais dessiner l'autre cas ici faire nos dessins pour y voir bien clair comme ça donc c'est à peu près pareil tu vois et maintenant je fais normes de à foix cost état et je ne lance que ça représente donc on avait dit tu te souviens que c'était la projection du vecteur 1 sur le vecteur b la projection orthogonale donc là j'ai pas besoin de rallonger ma direction tu vois vu qu' il est plus petit celui là et je n'ai qu'à faire donc comme ça avec un angle droit ici comme ça voilà et donc ça me dit que et bien la norme enfin un énorme l'homme le normes de la fois cost état et bien c'est cette distance là et donc je peux dire que ce vecteur là et bien c'est un coast état et je vois que l'un est bien quand je multiplie tout ça par b ça me donne encore quelle est la composante du vecteur à qui est parallèle aux vecteurs d où qui va dans la même direction que le vecteur b et du coup je multiplie entre entre elles de cette composante parallèle au deuxième vecteur donc finalement tu vois ça confirme bien tout ce qu'on a vite dans la vidéo précédente c'est à quel point ces vecteurs se ressemblent à quel point ses lecteurs vont dans la même direction donc maintenant on va se pencher sur le produit vectorielle alors déjà on va se pencher sur aisne comme ça tu vois on l'aura fait et on va ensuite se pencher sur l'amplitude et bien ce vecteur est non a dit qu'on ne trouvait avec la règle de la main droite donc on va appliquer la règle de la main droite ici dans le cas de avec tauriel b et on va trouver la direction de haine là deux sens de haine alors d'ailleurs on va commencer par la direction tu vois on dit qu'ici et bien le vecteur est le vecteur b sont inclus dans le plan de mon écran et que du coup la direction qui est perpendiculaire à la direction mon écran et bien c'est celle qui rentrent qui sort de mon écran donc là jusque là c'est plutôt facile c'est celle qui vraiment et tu vois rendre nous sort perpendiculairement mon écran et maman pour savoir si ce vecteur n unitaire est perpendiculaire à -b il rentre de mon écran il sort j'utilise la règle de la main droite donc je mets mon pouce selon as donc mon pouce est comme ça selon à mon index est comme ça selon b je plie 20 je tends mon majeur et en fait je t'en mets deux doigts et ça fait comme ça donc en fait tu vois comment majeur glace et le dessus de maman eh bien je ne vois pas parce qu'il est sous ma main donc ça veut dire qu'en fait ils pointent en rentrant mon écran donc ça veut dire que n ici il rentre dans l'écran et il a une norme 2 et que tu vois qu'on a réussi comme ça à trouver le vecteur à m donc maintenant on se penche un petit peu sur l'amplitude de ce produit sectorielle alors je vais dessiner en rose tu vois il en va dire que tout ce qui était jaune c'était relatifs aux produits skalli donc si je reprends eh bien je dis par exemple dans un premier temps bézy must état qu'est ce que ça représente bessines ugta alors tu vois je vais leur dessiner là-dessus ce qu'on avait dit sexy b cost et a été l'un est bien bessines teta il est ici puisque c'est le côté opposé c'est ce côté là donc tu vois que ça eh bien c b sinus d'état donc je vois qu'ici ce cette grandeur la par rapport aux vecteurs à et bien c'est la composante 2b qui est perpendiculaire à as tu vois c'est vraiment extrêmement différente du produit scala puisque là au lieu de chercher la composante qui est le plus proche de mon vecteur la composante 2b qui est le plus proche du vecteur à ou qui va dans la même direction tout ça ça veut dire la même chose est bien là je vais prendre la composante du vecteur b la plus différente du vecteur à la plus éloignée tu vois celle qui va dans une direction complètement perpendiculaire et si maintenant je prends l'autre situation où je dis que c'est le lampiste de la fois sinus teta est bien là encore ça va être cette grandeur ici ça va être ce côté là qui est le côté opposé à langue d'état qui se trouve ici et donc ça ça va être un site état et là encore je vois que par rapport aux vecteurs b eh bien c'est la composante 2 à 1 qui est perpendiculaire à la direction de béquille est différente de b donc tu vois que vraiment le produit vectorielle la nand produits vectorielle elle va vraiment te donner une situation complètement opposée à celle du produit ce qui al'air en plus effectivement d'être un vecteur alors que le produit scalaires et bien c'est un nombre est donc maintenant si on fait un petit point sur les applications tu vois qu'on avait dit que le produit scalaires sa ferme et notamment à cacher des travaux mais travaux des forces où je me demande finalement quelle est la composante de ma force qui va dans la direction de mon déplacement donc à quel point ma force va dans une direction proche de celle de mon déplacement et quelle quelle influence elle a alors que par exemple pour le produit victorienne on avait vu dans les couples où dans les problèmes sur le magnétisme par exemple et on avait vu que c'était des problèmes on peut se demander à quel point justement c'est ce et les grandeurs sont différentes par exemple dans celle du couple pour faire tourner quelque chose eh bien il faut que la force que j'applique soit perpendiculaire au bras de levier parce que tu vois c'est ça qui va me donner un mouvement de rotation alors que dans le cas du travail tu vois c'est et puis un moment de translation enfin bon tu as j'espère que ça t'a donné un petit peu plus de deux explications sur ce qu'était le produit ce cas là le produit vectorielle donc pour conclure il faut se souvenir que ces deux choses extrêmement différente que ces deux façons de multiplier des vecteurs mais qui ne sont pas du tout analogue que dans le cas du produit qu'à l'air on obtient la fin un scalaire donc un nombre qui va traduire à quel point les deux vecteurs vont dans des directions similaires alors que dans le cas du produit victorienne eh bien on obtient un vecteur à la fin dont la norme dépendent à quel point les lecteurs vont dans des directions perpendiculaire l'une de l'autre donc d'ailleurs si on conclut un petit peu tout ça tu vois que le produit scalaires il est maximum quand le cosinus juin donc qu'en langue vos héros alors que l'amplitude du produit vectorielle lui et maximum quand le sinus vaut 1 donc en langue opi sur deux donc c'est cohérent avec kant et à vos 01 une idée parallélisme et quand on est à vos seins une idée de te faire voir pardon quand et a vomi sur deux une idée de choses qui sont perpendiculaires j'espère que tu as à éclairer un petit peu et dans la prochaine vidéo mais on va faire des petits calculs avec tout ça