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Physique

Cours : Physique > Chapitre 1

Leçon 3: Accélération

Pour tout savoir sur la courbe représentative de v(t)

Comment analyser un graphique qui rapporte vitesse et temps à l'accélération et au déplacement.

Que représente l'axe vertical sur la courbe représentative de v(t) ?

L'axe vertical représente la vitesse algébrique de l'objet. Cela semble évident, mais il vaut mieux être prévenu : les courbes représentatives de v(t) peuvent être difficiles à interpréter. On peut facilement oublier que l'axe vertical donne la vitesse algébrique lorsqu'on est habitué à déterminer cette dernière par la pente de la courbe représentative de x(t).

Sur la représentation graphique ci-dessous, il est possible de faire glisser le point vert horizontalement pour choisir différents instants et ainsi voir comment la vitesse évolue.

Application : Quelle est la vitesse algébrique de l'objet à l'instant t, equals, 4, start text, space, s, e, c, o, n, d, e, s, end text selon la courbe ci-dessus ?

[Réponse]

Que représente la pente de la courbe représentative de v(t) ?

La pente de la courbe représentative de v(t) correspond à l'accélération de l'objet. Autrement dit, l'accélération de l'objet à un instant donné est la valeur de la pente à cet instant.

La pente de la courbe représentative de v(t) est donnée par la formule suivante :

start text, p, e, n, t, e, end text, equals, start fraction, start text, v, a, r, i, a, t, i, o, n, space, v, e, r, t, i, c, a, l, e, end text, divided by, start text, v, a, r, i, a, t, i, o, n, space, h, o, r, i, z, o, n, t, a, l, e, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, 2, end subscript, minus, v, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction, equals, start fraction, delta, v, divided by, delta, t, end fraction

Puisque, pour le mouvement à une dimension, start fraction, delta, v, divided by, delta, t, end fraction correspond par définition à l'accélération, la pente de la courbe représentative de v(t) est égale à l'accélération de l'objet.

start text, p, e, n, t, e, end text, equals, start text, a, c, c, e, with, \', on top, l, e, with, \', on top, r, a, t, i, o, n, end text

Cela signifie que lorsque la pente est élevée, la vitesse algébrique de l'objet varie rapidement. À l'inverse, lorsque la pente est faible, la vitesse algébrique ne varie pas très rapidement. De plus, si la pente est négative, dirigée vers le bas, l'accélération est alors négative. À l'inverse, si la pente est positive, dirigée vers le haut, l'accélération est alors positive.

Sur la représentation graphique ci-dessous, il est possible de faire glisser le point vert horizontalement pour voir comment la pente évolue à différents instants.

La pente de la courbe est positive entre les instants t, equals, 0, start text, space, s, end text et t, equals, 2, start text, space, s, end text puisqu'elle est dirigée vers le haut. L'accélération est alors positive.

La pente de la courbe est négative entre les instants t, equals, 2, start text, space, s, end text et t, equals, 8, start text, space, s, end text puisqu'elle est dirigée vers le bas. L'accélération est alors négative.

A t, equals, 2, start text, space, s, end text la pente est nulle puisque la tangente à la courbe est horizontale. L'accélération est alors nulle à cet instant.

Application : Est-ce que l'objet dont le mouvement est décrit par la courbe ci-dessus est en train d'accélérer ou de ralentir à l'instant t, equals, 4, start text, space, s, end text ?

[Réponse]

Que représente l'aire sous la courbe représentative de v(t) ?

L'aire sous la courbe représentative de v(t) représente le déplacement de l'objet. Pour comprendre cela, on considère ci-dessous une courbe représentant le mouvement d'un objet se déplaçant à une vitesse algébrique constante de 6 mètres par seconde pendant 5 secondes.

Pour calculer le déplacement correspondant à cet intervalle de temps, on utilise la formule suivante :

delta, x, equals, v, delta, t, equals, 6, start text, space, m, slash, s, end text, ×, 5, start text, space, s, end text, equals, 30, start text, space, m, end text

Le déplacement est donc de 30, start text, space, m, end text.

En fait, cette méthode équivaut à déterminer l'aire sous la courbe. On considère donc la surface rectangulaire ci-dessous.

L'aire de ce rectangle peut se calculer en multipliant la hauteur, 6 m/s, par la largeur, 5 s, ce qui donne :

start text, space, a, i, r, e, end text, equals, start text, h, a, u, t, e, u, r, end text, times, start text, l, a, r, g, e, u, r, end text, equals, 6, start text, space, m, slash, s, end text, times, 5, start text, space, s, end text, equals, 30, start text, space, m, end text

On obtient donc la même chose que précédemment pour le calcul du déplacement. Pour le mouvement à une dimension, l'aire sous la courbe représentative de v(t) est égale au déplacement durant cet intervalle de temps, peu importe la forme de la courbe.

[Pourquoi cela reste-t-il vrai lorsque la vitesse algébrique varie ?]

start text, a, i, r, e, end text, equals, start text, d, e, with, \', on top, p, l, a, c, e, m, e, n, t, end text

[Attendez... Une aire est toujours positive, non ? Et si la courbe se trouve en dessous de l'axe du temps ?]

Exemples d'exercices sur les courbes représentatives de v(t) :

Exemple 1 : Variation de vitesse en planche à voile

Une véliplanchiste avance en ligne droite selon la courbe représentative de v(t) suivante.

Parmi les propositions suivantes, choisir celles qui caractérisent la vitesse et l'accélération de la véliplanchiste.

(A) Sa vitesse augmente.
(B) Son accélération augmente.
(C) Sa vitesse diminue.
(D)Son accélération diminue.

Seules les propositions A et D sont vraies.

La pente de la courbe représentative de v(t) correspond à l'accélération. Ici, la pente diminue, cela signifie que l'accélération diminue elle aussi.

Cela pourrait sembler contre-intuitif puisque, d'après la courbe, la vitesse de la véliplanchiste augmente. En réalité, la valeur de cette augmentation par seconde diminue. Pour les 4,5 premières secondes, la vitesse est passée de 0 m/s à 5 m/s, alors que pour les 4,5 secondes suivantes, elle est seulement passée de 5 m/s à 7 m/s.

Exemple 2 : Accélération en kart

Le mouvement d'un kart est représenté par sa courbe v(t) ci-dessous.

A. Quelle est l'accélération du kart à l'instant t, equals, 4, start text, space, s, end text ?
B. Quel est le déplacement du kart entre les instants t, equals, 0, start text, space, s, end text et t, equals, 7, start text, space, s, end text ?

A. Accélération du kart à l'instant t, equals, 4, start text, space, s, end text

On détermine l'accélération à l'instant t, equals, 4, start text, space, s, end text en calculant la pente de la courbe représentative de v(t) à cet instant.

Pour calculer la pente, on choisit, sur la partie oblique de la courbe, les deux points suivants : —3, start text, space, s, end text, comma, 6, start text, space, m, slash, s, end text— et —7, start text, space, s, end text, comma, 0, start text, space, m, slash, s, end text. On a donc :

start text, p, e, n, t, e, end text, equals, start fraction, v, start subscript, 2, end subscript, minus, v, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction, equals, start fraction, 0, start text, space, m, slash, s, end text, minus, 6, start text, space, m, slash, s, end text, divided by, 7, start text, space, s, end text, minus, 3, start text, space, s, end text, end fraction, equals, start fraction, minus, 6, start text, space, m, slash, s, end text, divided by, 4, start text, space, s, end text, end fraction, equals, minus, 1, comma, 5, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction

start text, a, c, c, e, with, \', on top, l, e, with, \', on top, r, a, t, i, o, n, end text, equals, minus, 1, comma, 5, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction

B. Déplacement du kart entre les instants t, equals, 0, start text, space, s, end text et t, equals, 7, start text, space, s, end text

On détermine le déplacement du kart en calculant l'aire sous la courbe représentative de v(t). Cette aire est constituée de deux parties : un rectangle, entre les instants t, equals, 0, start text, space, s, end text et t, equals, 3, start text, space, s, end text, et un triangle, entre les instants t, equals, 3, start text, space, s, end text et t, equals, 7, start text, space, s, end text. Une fois qu'on aura additionné les aires de ces deux formes géométriques, on aura le déplacement total.

L'aire du rectangle est :

start text, a, i, r, e, end text, equals, h, times, l, equals, 6, start text, space, m, slash, s, end text, times, 3, start text, space, s, end text, equals, 18, start text, space, m, end text

L'aire du triangle est :

start text, a, i, r, e, end text, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, h, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, ×, 4, start text, space, s, end text, ×, 6, start text, space, m, slash, s, end text, equals, 12, start text, space, m, end text

On additionne ces deux aires :

start text, a, i, r, e, space, t, o, t, a, l, e, end text, equals, 18, start text, space, m, end text, plus, 12, start text, space, m, end text, equals, 30, start text, space, m, end text

start text, d, e, with, \', on top, p, l, a, c, e, m, e, n, t, space, t, o, t, a, l, end text, equals, 30, start text, space, m, end text

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