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Pourquoi d est l'aire sous la courbe de v en fonction de t

Transcription de la vidéo

disons que j'ai un objet qui se déplace dans l'espace à la vitesse v 2 5 mètres par seconde cinq mètres par seconde si je devais tracé le vecteur on n'a qu'à dire que cet objet se déplace vers la droite ici le vecteur vitesse et on va s'intéresser à la courbe représentative de cette fonction vitesse en fonction du temps la vitesse ou bien la norme du vecteur vitesse ça va être la même chose donc on va tracer un graphique de la vitesse en mètre par seconde en fonction du temps exprimé en seconde et on va avoir donc la vitesse on va dire qu'elle va être constantes à 5 mètres par seconde si on a cinq si on trace la courbe représentatif et bien puisque la vitesse est constante ça va être une droite d'accord la vitesse ne varie pas en fonction du temps donc sa courbe représentative c'est une droite et on va graduée l'échelle temporelle l'axé des abscisses et on va s'arrêter disons 2 3 4 5 donc ici on a cinq secondes la vitesse au bout de cinq secondes est toujours de 5 mètres par seconde puisque la vitesse est constante et on sait aussi que on à la formule qui nous dit que la vitesse est égal aux déplacements / le temps où une variations temporelles donc on avait égale des sûretés mais on sait aussi qu'à partir de st on peut obtenir l'expression pour la distance distance parcourue qui est égal à delta tréfois v1 en multiplient de chaque côté par delta day donc on a d égale delta t multipliée par la vitesse et dans ce cas présent si on veut connaître la distance parcourue après 5 secondes eh bien on a des qui est égal à 5 secondes x 5 m par seconde les seconds se simplifient ont fait 5 fois 5 c'est égal à l'écrire en verre à 25 mètres voilà donc à la vitesse de 5 mètres par seconde au bout de cinq secondes on parcourt la distance de 25 mètres alors ça c'est assez c'était assez évident et c'est direct et facile comme calcul mais il y a une chose un petit peu plus intéressante ça va être que ces 25 mètres là cette distance et bien il se trouve que c'est exactement l'air de ce rectangle l'ère de la partie sous la courbe d'accord ici si on à laax bien sûr désordonnée est également graduée 1 2 3 4 5 et bien si on fait 5 fois sinclair de ce rectangle vaut 25 questions comme on a gradué les accès il ya des unités sur les axes l'air de ce rectangle aux 25 mètres et on va voir dans cette vidéo que de manière générale lorsqu on trace la courbe représentative de la vitesse par exemple si on prend une toute autre vitesse qui peut varier dans le temps d'un objet quelconque et bien la distance parcourue par cet objet ça va être égal à l'air qui se trouve exactement sous la courbe est donc pour le cas de la vitesse constante on voit que c'est facile et ça va être un peu plus problématique pour d'autres cas comme avec des vitesses qui varient de façon plus aléatoire bon maintenant on va voir un cas où la vitesse varie de façon linéaire c'est à dire avec une accélération constante donc on va prendre une accélération on va dire égal à 1 mètre par seconde au carré donc ça c'est l'accélération et elle va être constante au cours du temps donc on va faire de la même façon tout à l'heure on va tracer le graphique de la vitesse en fonction du temps ici on n'avait qu' en mètre par seconde et encore tu es en seconde et on va graduée ces deux axes 1 2 3 4 5 et même chose pour l'accès ordonné 2 3 4 5 et on va dire que l'objet va se déplacer pendant 5 secondes avec une accélération de 1 mètre par seconde au carré et avec une vitesse initiale de 0 mètre par seconde donc on commence ici donc on va tracer la vitesse on commence à 0 au bout d'une seconde puisque l'accélération est de 1 mètre par seconde au carré au bout d'une seconde l'objet va à un mètre par seconde 1 mètre par seconde plus rapidement donc un mètre par seconde plus vite que 0 ça fait un mètre par seconde et ainsi de suite au bout de deux secondes il va 2 mètres par seconde donc ici la courbe de la vitesse c'est tout simplement une droite avec une certaine pointe et cette pente qu'est ce qu'elle est si on trace par exemple ici la variation en temps eh bien on a juste ici la variation de vitesse donc on à delta t et delta v et qu'est-ce que tu remarques on a dit que c'était une variation de vitesse / une variation de temps une variation de vitesse au cours d'une certaine période de temps et bien en fait cette variation de vitesse qu'on voit ici delta v et la version temporel delta t c'est simplement le coefficient le coefficient directeur de la droite coefficient directeur c'est la définition du coefficient directeur d'accord on a une variation d'ordonner / la variation correspondante d'apsys donc delta v / delta t et le coefficient directeur correspond à une variation unitaire en abscisse ici on a une seconde d'une unité dax une seconde et on regarde de combien on monte pour retourner sur notre courbe et en monte du d'un mètre par seconde puisque d'accélération et de 1 mètre par seconde au carré donc le coefficient directeur delta v sur delta t c'est égal à l'accélération donc pour une accélération constante le coefficient directeur de la droite représentative de la vitesse en fonction du temps et bien c'est tout simplement l'accélération par définition alors maintenant la question que je te pose c'est quelle distance on va avoir parcouru ou quelle distance va avoir parcouru l'objet au bout de cinq secondes d'accord au bout de cinq secondes on a l'objet qui se trouve à la vitesse de 5 mètres par seconde 1 puisqu'il a accéléré à la vitesse d'un mètre par seconde au carré pendant 5 secondes donc la vitesse au bout de cinq secondes est égal à 5 mètres par seconde bon mais alors quelle distance il a parcouru alors tu pourrais te dire que tu pourrais essayer de calculer un petit peu en prenant l'exemple de la vitesse constante tu pourrais essayer de calculer des airs de rectangles ici voilà est là et tu peux te dire que bon bah entre 2 et 3 secondes il a parcouru cette distance mais en fait il manque tout une partie ici de l'air là il est parcouru un petit peu plus rapidement entre 2 et 3 secondes il n'a pas parcouru le l'espace à la vitesse de 2 mètres par seconde mais de façon linéaire il a la vitesse a augmenté donc tu peux dire aussi que ben pour ça c'est pas grave il suffit de diviser les rectangles on va prendre des rectangles un peu plus petit par exemple on va prendre des rectangles d'une demi unités donc on va avoir l'air de ces rectangles et six ans la somme on devrait peut-être avoir l'air du déplacement mais en fait encore une fois il nous manque des petits triangles donc peut-être que tu vois où je veux en venir plus on va réduire la base de ce rectangle c'est à dire les quarante ans plus on va être précis dans notre calcul si on fait la somme de tous les rectangles ainsi on fait encore la somme de ce rectangle bon eh bien si on fait encore plus petit rectangle c'est à dire qu'on divise l'espace en quatre on va avoir une on va encore plus approcher l'air sous la courbe avec nos petits rectangles bon eh bien finalement si on réduit au maximum la base les 40 ans du rectangle et bien qu'est ce qu'on va voir on va avoir l'air du triangle on va avoir l'air de ce triangle là et l'air de ce triangle là eh bien ça va être la distance parcourue pendant 5 secondes est bon qu'on connaît l'air d'un triangle l'air d'un triangle c'est un demi de la base x la hauteur et la base et bien tout simplement c'est le temps ces cinq secondes et la hauteur puisque c'est un triangle rectangle ici eh bien c'est la vitesse finale et donc si on veut connaître l'air de notre triangle rectangle qui va être égale aussi à la distance parcourue d eh bien on va avoir le temps cinq secondes multipliée par la vitesse 5 mètres par seconde aimer ça sans oublier le 1/2 d'accord donc on va simplifier les seconds par les seconds pour les unités donc on va rester avec des maîtres on va avoir 5 x 5 x 1 demi et ça c'est égal à 12,5 m donc deux choses intéressantes dans cet exemple c'est premièrement que l'air sous la courbe représentative de la vitesse en fonction du temps donc tout simplement là la courbe de la vitesse est bien l'air sous cette courbe ça correspond à la distance parcourue pendant une certaine période de temps et deuxièmement on a remarqué avec cette petite exemple que le coefficient directeur de la droite représentatif de la vitesse si la vitesse varie linéairement qu'elle soit constante ou qu'elles varient qu'elle augmente ou diminue linéairement et bien cette ce coefficient directeur et bien c'est l'accélération par exemple si on revient en premier exemple l'accélération si on dit que c'est le coefficient directeur le coefficient directeur de cette droite qu'est ce que c'est quand on avance d'une seconde eh bien on augmente ou diminue la vitesse de 0 mètre par seconde donc l'accélération ici est égal à zéro m par seconde au carré du coup on a une droite horizontale tandis que là la variation de vitesse au cours d'une variation de temps unitaire une seconde correspond à un mètre par seconde donc l'accélération qui est égale au coefficient directeur delta v / delta tu es bien c'est tout simplement la formule en fait de l'accélération qui est égal à delta v sur delta t j'espère que tu as bien compris que finalement tout était un petit peu liés et que une chose intéressante de tracer la vitesse en fonction du temps c'est que si on trouve un moyen de calculer l'air sous la cour mais bien ça peut nous donner tout simplement la distance parcourue