Vitesse, vecteur vitesse ou vitesse algébrique ? Vitesse moyenne ou instantanée ? On continue à préciser le vocabulaire.

Qu'est ce que la vitesse algébrique pour un mouvement à une dimension ?

La définition scientifique de la vitesse algébrique pour un mouvement à une dimension est similaire à la notion de vitesse dans la vie courante. On sait généralement qu'un déplacement important en un temps très court correspond à une vitesse élevée, ou encore que la vitesse s'exprime par une unité de longueur divisée par une unité de temps, comme le kilomètre par heure.
Pour le mouvement à une dimension, on définit la vitesse algébrique moyenne comme étant la variation de la position divisée par l'intervalle de temps correspondant.
vmoy=ΔxΔt=xfx0tft0\Large v_{moy}=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{x_f-x_0}{t_f-t_0}
Dans cette formule, vmoyv_{moy} est la vitesse algébrique moyenne, Δx\Delta x est la variation de la position ou encore le déplacement, et xfx_f et x0x_0 sont les positions finale et initiale aux instants respectifs tft_f et t0t_0. Si l'instant initial t0t_0 est égal à zéro, alors la vitesse algébrique moyenne s'écrit :
vmoy=Δxtv_{moy}=\dfrac{\Delta x}{t}
Remarque : tt remplace alors Δt\Delta t.
Cette définition de la vitesse algébrique est en fait la version simplifiée pour le mouvement à une dimension de la définition du vecteur vitesse. Le vecteur vitesse, défini comme le vecteur déplacement divisé par l'intervalle de temps correspondant à ce déplacement, a une direction, une norme et un sens. Dans le cadre du mouvement à une dimension, la direction est simplement celle du mouvement étudié. La norme et le sens sont les deux caractéristiques qui sont exprimées par la "vitesse algébrique". Dans le Système International (SI), l'unité de la vitesse algébrique est le mètre par seconde ou ms\dfrac{ \text{m}}{\text{s}}, cependant d'autres unités comme le kmh\dfrac{ \text{km}}{\text{h}}, le mih\dfrac{ \text{mi}}{\text{h}} (noté aussi mph pour miles par heure), et le cms\dfrac{ \text{cm}}{\text{s}} sont souvent utilisées. On considère par exemple le passager d'un avion qui a mis 55 secondes pour se déplacer de 4-4 mètres, le signe moins indiquant qu'il s'est déplacé vers l'arrière de l'avion. Sa vitesse algébrique moyenne est alors :
vmoy=Δxt=4 m5 s=0,8msv_{moy}=\dfrac{\Delta x}{t}=\dfrac{-4\text{ m}}{5 \text{ s}}=-0{,}8 \dfrac{\text m}{\text{s}}
Le signe moins indique que la vitesse algébrique moyenne est aussi orientée vers l'arrière de l'avion.
Cependant, la vitesse algébrique moyenne d'un objet ne donne pas d'information sur ce qu'il se passe entre son point de départ et son point d'arrivée. Avec la vitesse algébrique moyenne, on ne peut, par exemple, pas savoir si le passager s'est arrêté momentanément ou s'il a reculé avant de se diriger vers l'arrière de l'avion. Pour étudier cela plus en détail, il faut considérer des segments plus petits sur des intervalles de temps plus courts. Par exemple, on peut voir dans la figure ci-dessous que le déplacement total Δxtot\Delta x _ \text{tot}, peut être divisé en 4 segments, Δxa\Delta x_\text a, Δxb\Delta x_\text b, Δxc\Delta x_\text c, et Δxd\Delta x_\text d.
Plus les intervalles de temps considérés dans le mouvement sont petits, plus la description du mouvement sera fine. En poursuivant ce raisonnement, on arrive alors à un intervalle de temps infiniment petit. Pour un tel intervalle, la vitesse algébrique moyenne devient la vitesse algébrique instantanée, ou encore la vitesse algébrique à un instant donné. Par exemple, le compteur de vitesse d'une voiture montre la valeur de la vitesse algébrique instantanée de la voiture mais pas sa direction. C'est en se basant sur cette vitesse instantanée que la police donne des contraventions. Par contre, pour évaluer le temps qu'on mettra pour faire un trajet, il faut utiliser la vitesse algébrique moyenne. La vitesse algébrique instantanée, vv, est simplement la vitesse algébrique moyenne à un instant donné, c'est à dire sur un intervalle de temps infiniment petit.
Déterminer la vitesse algébrique instantanée, vv, à un instant donné tt nécessite de calculer une limite. C'est une opération mathématique qu'il n'est pas nécessaire de détailler au niveau de cet article. En pratique, on peut souvent trouver les vitesses algébriques instantanées sans aucun calcul.

Qu'est ce que la vitesse ?

Dans le langage courant, on utilise surtout la notion de vitesse, et très peu celle de vitesse algébrique. En physique, ces deux notions n'ont pas la même signification. La différence principale est que la vitesse est un scalaire, elle n'a pas de sens ni de direction, contrairement à la vitesse algébrique qui, elle, a un sens (sa direction étant celle du mouvement à une dimension). Tout comme on avait distingué la vitesse algébrique moyenne de la vitesse algébrique instantanée, on fait la distinction entre vitesse moyenne et vitesse instantanée.
La vitesse instantanée est la valeur absolue de la vitesse algébrique instantanée. Par exemple, si le passager de l'avion a une vitesse algébrique instantanée de 3,0ms-3{,}0\dfrac{\text{m}}{\text{s}} (le signe moins signifiant qu'il se dirige vers l'arrière de l'avion), sa vitesse instantanée est de 3,0ms3{,}0\dfrac{\text{m}}{\text{s}}. Autre exemple, si à un instant donné, la vitesse algébrique instantanée d'une personne en voyage est de 40kmh40 \dfrac{\text {km}}{\text{h}} vers le nord, sa vitesse instantanée est alors de 40kmh40 \dfrac{\text {km}}{\text{h}} (même valeur mais sans la direction). La vitesse moyenne, par contre, est très différente de la vitesse algébrique moyenne. La vitesse moyenne est la distance parcourue divisée par le temps qui s'est écoulé. Par conséquent, bien que la vitesse instantanée et la vitesse algébrique instantanée aient la même valeur absolue, celles de la vitesse moyenne et de la vitesse algébrique moyenne peuvent être très différentes.
Puisque la distance parcourue peut être plus grande que le déplacement, la vitesse moyenne peut être plus grande que la vitesse algébrique moyenne qui est seulement le déplacement divisé par le temps. Par exemple, si l'on fait un aller-retour de la maison jusqu'au magasin en 30 minutes pour une distance totale parcourue de 6 km, alors la vitesse moyenne est de 12kmh12 \dfrac{\text {km}}{\text{h}}. En revanche, la vitesse algébrique moyenne est nulle puisque le déplacement du trajet est nul (la position est la même au départ et à l'arrivée). La vitesse moyenne n'est donc pas simplement la valeur absolue de la vitesse algébrique moyenne.
Un moyen très pratique de visualiser le mouvement d'un objet consiste à représenter graphiquement la position ou la vitesse algébrique de l'objet en fonction du temps. Par exemple, la Figure 3 donne la position, la vitesse algébrique et la vitesse pour cet aller-retour au magasin en fonction du temps. On précise qu'on a utilisé pour cette représentation graphique une modélisation très simplifiée du mouvement : la vitesse est supposée constante, ce qui n'est pas réaliste puisqu'il y a forcément un arrêt au magasin, et le trajet entre la maison et le magasin est supposé rectiligne.

Exemples d'exercices sur les vitesses algébriques et les vitesses :

Exemple 1 : L'iguane désorienté

Un iguane ayant un sens de l'orientation plus que médiocre fait des va-et-vient dans le désert. D'abord, il marche 12 mètres vers la droite pendant 20 secondes. Puis, il court 16 mètres vers la gauche pendant 8 secondes.
Quelle sont la vitesse moyenne et la vitesse algébrique moyenne de l'iguane sur la totalité du trajet ?
On suppose que la direction vers la droite est comptée positivement.
Pour calculer la vitesse moyenne, on considère la distance totale parcourue que l'on divise par l'intervalle de temps.
vitesse moyenne=distance parcourueintervalle de temps=12,0 m+16,0 m20,0 s+8,0 s\text{vitesse moyenne}=\dfrac{\text{distance parcourue}}{\text{intervalle de temps}}=\dfrac{12{,}0\text{ m}+16{,}0\text{ m}}{20{,}0\text{ s}+8{,}0\text{ s}}
vitesse moyenne=28,0 m28,0 s\text{vitesse moyenne}=\dfrac{28{,}0\text{ m}}{28{,}0\text{ s}}
vitesse moyenne=1 m s\text{vitesse moyenne}=1\dfrac{\text{ m}}{\text{ s}}
Pour calculer la vitesse algébrique moyenne, on considère le déplacement Δx\Delta x que l'on divise par l'intervalle de temps.
vitesse algbrique moyenneeˊ=dplacementeˊintervalle de temps=4,0 m28,0 s\text{vitesse algébrique moyenne}=\dfrac{\text{déplacement}}{\text{intervalle de temps}}=\dfrac{-4{,}0\text{ m}}{28{,}0\text{ s}}
vitesse algbrique moyenneeˊ=17 m s\text{vitesse algébrique moyenne}=-\dfrac{1}{7}\dfrac{\text{ m}}{\text{ s}}

Exemple 2 : Le dauphin qui avait faim

Un dauphin nage horizontalement et fait des va-et-vient cherchant de la nourriture. Son mouvement est décrit ci-dessous par la représentation graphique de sa position en fonction du temps.
Déterminer les paramètres suivant pour ce dauphin :
a. vitesse algébrique moyenne entre les instants t=0 st=0 \text{ s} et t=6 st=6\text{ s}
b. vitesse moyenne entre les instants t=0 st=0 \text{ s} et t=6 st=6\text{ s}
c. vitesse algébrique instantanée à l'instant t=1 st=1\text{ s}
d. vitesse instantanée à l'instant t=4 st=4\text{ s}
a : La vitesse algébrique moyenne est définie comme le déplacement sur le temps.
vmoy=ΔxΔt=0 m8 m6 s0 s=8 m6 s(On utilise la dfinition de la vitesse algbrique moyenne.)eˊeˊv_{moy}=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{0\text { m}-8\text{ m}}{6 \text{ s}-0\text{ s}}=\dfrac{-8\text{ m}}{6 \text{ s}}\quad \text{(On utilise la définition de la vitesse algébrique moyenne.)}
vmoy=43ms(On fait le calcul et on prcise les units.)eˊeˊv_{moy}=-\dfrac{4}{3} \dfrac{\text m}{\text s}\quad \text{(On fait le calcul et on précise les unités.)}
b : La vitesse moyenne est définie comme la distance totale parcourue sur le temps. Cette distance est la somme de toutes les longueurs des segments qui constituent le trajet total du dauphin.
Vmoy=distance totale parcoureΔt=12 m+0 m+4 m6 s0 s=16 m6 s(On utilise la dfinition de la vitesse moyenne.)eˊV_{moy}=\dfrac{\text{distance totale parcoure}}{\Delta t}=\dfrac{12\text{ m}+0\text{ m}+4\text{ m}}{6 \text{ s}-0\text{ s}}=\dfrac{16\text{ m}}{6 \text{ s}}\quad\text{(On utilise la définition de la vitesse moyenne.)}
Vmoy=83ms(On fait le calcul et on prcise les units.)eˊeˊV_{moy}=\dfrac{8}{3} \dfrac{\text m}{\text s}\quad \text{(On fait le calcul et on précise les unités.)}
c : La vitesse algébrique instantanée est la vitesse algébrique à un instant donné, elle est égale à la pente de la courbe à cet instant. Pour déterminer la pente à l'instant t=1 st=1\text{ s}, on choisit deux points de la courbe entre les instants t=0 st=0\text{ s} et t=3 st=3\text{ s} (la pente ne change pas entre ces instants). Par exemple, en choisissant les instants t=2 st=2\text{ s} et t=0 st=0\text{ s}, on calcule la pente de la manière suivante :
vinstantaneeˊ=pente de la courbe=x2x0t2t0v_\text{instantanée}=\text{pente de la courbe}=\dfrac{x_2-x_0}{t_2-t_0}
vinstantaneeˊ=0 m8 m2 s0 s=8 m2 sv_\text{instantanée}=\dfrac{0\text{ m}-8\text{ m}}{2\text{ s}-0\text{ s}}=\dfrac{-8\text{ m}}{2\text{ s}}
vinstantaneeˊ=4msv_\text{instantanée}=-4\dfrac{\text{m}}{\text{s}}
Partie d : La vitesse instantanée est la vitesse à un instant donné, elle est égale à la valeur absolue de la pente de la courbe à cet instant. A l'instant t=4 st=4\text{ s} la pente est nulle, la vitesse instantanée à l'instant t=4 st=4\text{ s} est donc aussi nulle.
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