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Mouvement vertical de projectile : vitesse d'impact au sol en fonction de la hauteur de chute

Transcription de la vidéo

salut dans cette vidéo je voudrais qu'on réponde à une question assez simple qui est de savoir quelle est la vitesse d'un objet au moment de l'impact donc on va prendre par exemple une falaise on a une falaise ici ou un immeuble où tout ce que tu veux ou qui a une hauteur qui a une hauteur h et on suppose que tu te trouve en haut de cette falaise ou de cet immeuble et que tu va jeter un objet alors patois bien sûr parce que c'est assez dangereux mais tu vas suçoter on va dire un caillou un caillou que tu va jeter avec une vitesse initiale 2 0 c'est à dire tu vas simplement une vitesse initiale qui est égale aux secteurs nul tu vas simplement prendre l'objet ouvrir ta main et le lâcher et nous on va s'intéresser à la vitesse ici au moment de l'impact la vitesse finale alors la vitesse finale elle va être orientés vers le bas ici et on veut connaître on veut connaître sa valeur donc on va supposer encore une fois que on avait une atmosphère qui n'était pas résistante c'est à dire qu'on va négliger la résistance de l'air la résistance de l'air donc en gros le calcul qu'on va faire finalement il va être vrai si jamais tu lâches en cailloux sphérique assez dense mais par exemple si tu lâches un objet comme une plume et bien la résistance de l'air tu imagines bien une plume tomber l e mail va pas tomber de façon rectiligne donc on va considérer un objet petit et dans ce type un caillou et on va voir on va essayer de déterminer une formule qui va nous donner la valeur de la vitesse finale en fonction de la hauteur alors la première chose qu'on sait qu'on a déjà vu et revu dans les vidéos passé c'est que le déplacement s il est égal à la vitesse moyenne multiplié par une variation entend multiplier par un temps donc une variation en temps ça veut dire par exemple tête et finale - thé initial d'accord on va dire qu'un thé initial qui déclencha chronomètre et tu es finale tu l'arête et bien tu fais tu fais la différence entre les deux temps les deux heures qu'il était et tu vas avoir une variation en temps et donc vous mon l'avait défini une vitesse moyenne puisque tu vois bien que l'objet ici par à une vitesse initiale nul et termine au moment de l'impact au sol avec une vitesse finale qui n'est pas nulle et la vitesse augmente linéairement puisqu'on avait vu aussi que un objet en chute libre et est soumis à la gravité il est soumis au chant attraction gravitationnelle dont il subit une accélération une accélération de la valeur de j'ai une accélération égal à g le champ gravitationnel ou l'accélération due à la gravité est en âge équivaut 9,81 à peu près on va dire 9 8 mètres par seconde au carré donc à partir de maintenant on va prendre les valeurs algébrique pour travailler sur cette formule donc je rappelle que les valeurs algébrique finalement elles sont définies par rapport à un axe est un axe qui va être orientés donc ici je vais tracer un axe orienté vers le haut l'acce z et on va avoir le vecteur unitaire cas qui va diriger cet axe qui va diriger cet axe c'est à dire qu' il va nous dire dans quel sens y va donc là en l'occurrence il va vers le haut et l'origine de cet accès taxi peut il continue vers le bas l'origine de cet axe est ici au niveau du point de départ alors local où je l' ai mis un petit peu haut mais on va considérer que vraiment c'est là le point de départ at à partir du moment où l'objet commencent à chuter donc on a cet axe et on va prendre les valeurs algébrique c'est à dire les projections des vecteurs sur sur l'axé et projection du vecteur et bien c'est tout simplement la norme du vecteur mais en regardant le sens c'est à dire que si le vecteur est dans le même sens que le vecteur directeur alors la valeur algébrique est positive et si le vecteur est dans le sens opposé du vecteur directeur alors la valeur algébrique est négative et déjà ce qu'on peut dire c'est que pour vf la vitesse finale vu qu'elle est orientée vers le bas on va avoir une valeur algébrique négative donc on va repartir ici on va prendre s z pour dire que s1 10 aides pour dire que c'est la valeur algébrique est d'ailleurs resté dix aide aussi va être négatif puisque le vecteur déplacement le vecteur déplacement à l'instant finale et bien qu est-ce qui va être ça va être tout simplement le vecteur qui relie le point initial au point final et ça va être lui d'accord la selarl assez le départ là c'est l'arrivée est bien ici on a le vecteur est ce qui fait toute la distance parcourue qui relie le point de départ au point d'arriver donc s z est égal à vm vitesse moyenne x alors vmz x delta t et qu'est ce qu'on avait vu aussi plusieurs vidéos auparavant c'est que vm alors v m on va le prendre en vecteur mais après il suffira de faire la projection c'est la même chose était égal à vitesse initiale plus vitesse finale divisé par deux et ça uniquement parce que l'accélération est constante c'est le cas dans notre exercice encore une fois l'accélération à constante donc on peut écrire ça et donc on va prendre les valeurs algébrique deux pays et vf et on va leur porter ici on va repartir d'ici donc on as z qui est égal à v ient plus vf / 2 x et alors là on va essayer de transformer delta t puisque delta t on connaît pas puisqu'on va considérer que dans le cas de ton lancé tu es tout seul et a pas de chronomètre pour mesurer le temps de chute donc tu on va prendre delta tait et on va dire que delta t on va l'exprimer en fonction de l'accélération et qu'est ce que c'est bien delta t c'est une variation de vitesse / une accélération et ça ça vient du fait que l'accélération c'est égal à une variation de vitesse dit visé par une variation de temps ou sur une variation de temps et donc j'ai juste changé et fait une petite opération algébrique en changeant à et delta t pour obtenir que delta t égale d'état v / a donc si on reporte là dedans et bien des travées qu'est ce que c'est bien c'est vf - pays alors là je vais rajouter le petit indice z os x vf2 aide - véhi deux aides / a et là encore une fois c'est la valeur algébrique donc à deux aides à deux aides d'ailleurs c'est égal à moins 9,8 1 il écrire ici à z c'est égal à -9 8 mètres par seconde au carré puisque s'est orienté vers le bas d'accord c'est orienté selon gct gala j'ai donc s'est orienté vers le bas donc dans le sens opposé de notre vecteur directeur car alors on va pouvoir déjà simplifier un peu notre expression en mettant que et bien vieilli même si on prend le vecteur ça va être la même chose pour la valeur à des briques weïss est égal à zéro d'accord la norme c'est le vecteur nul donc sa norme nuls et sa valeur algébrique et bien évidemment nul aussi donc on va simplifier un peu l'expression de z et on va avoir vf z x vf z divisé par deux a donc ça nous donne vf z au carré divisé par deux fois à deux aides et pour l'instant finale puisque on april avait la vitesse à l'instant finale ici est bien est ce sa valeur algébrique on la connaît finalement sct gala - h puisque s ici est orienté vers le bas on à la norme 2 est ce qui étaye à la hache mais on a la valeur algébrique de s qui est égal à - 1 h puisque s est orientée vers le bas donc là on avait f2 aide au carré sur deux à petit z qui est égal à - h donc à partir de là on va pouvoir réécrire cette opération et dire que en multipliant des deux côtés par de a à z en avez f2 aide qui est égal à au carré qui est égal à 1 - h x et puisqu'on a remplacé s par sa valeur on va remplacer à z par sa valeur aussi et à z c'est égal à moins 9,8 donc on a deux fois moins 9,8 donc x -9 8 x 2 ça fait 19,6 donc fois - 19,6 et par chance on a moins par mois qui fait plus et on va pouvoir écrire que on a 19 6 x h et donc pour obtenir maintenant la vitesse et bien il va falloir élever les deux membres de notre équation à la racine donc j'étais sont un petit peu et si je prends la racine carrée de vf z au carré je vais avoir donc je vais élever un à racines ici et ici aussi mais j'ai donc deux solutions pour vf z g soit 19,6 x h à la racine carrée ou alors - racine carrée de 19,6 x h puisque si on élève ses deux expressions rocard et on va obtenir le résultat c'est à dire 19,6 x h et là on va retourner à notre problème physique qui nous disait que puisqu'on a un axe qui est orienté vers le haut et bien la vitesse finale en tout cas la preuve le vecteur vitesse finale il est orienté vers le bas et donc sa valeur algébrique est négative sa projection sur l'axé z est négative donc on va choisir et bien le ça va nous permettre de choisir entre notre résultat mathématique qui ne nous donnait pas de solution exact il nous donnait deux solutions et bien on va choisir grâce au fait que la vitesse est orienté vers le bas eh bien on va choisir la racine carrée x - 1 et donc la vitesse vf2 aide des galas - racine carrée de 19,6 x h et maintenant puisqu'on à cette expression on peut s'amuser à calculer la vitesse finale pour disons quelques quelques valeurs 2h et donc par exemple si on fait le calcul avec h qui est égal à 5 m eh bien tu vas pouvoir obtenir directement la vitesse finale au sol et si on prend hqe est égal à 5 mètres alors moi je vais le faire de tête donc on va on va dire qu'on va arrondir sa à 20 on va avoir cinq fois 20 qui vaut 100 et racine carrée de sens est égal à 10 et donc la vitesse finale pour h égale 5 mètres va être environ égal à moins 10 mètres par seconde le moins vient uniquement du fait qu'on a la valeur algébrique bien sûr une vitesse n'est jamais négative mais une vitesse orienté sur un axe peut être négative puisque c'est tout simplement la valeur algébrique d'un vecteur donc le moins nous indique que le vecteur pointent vers le bas donc donc voilà grâce à cette petite expression de la vitesse finale tu peux tu vas pouvoir calculer pour n'importe quelle hauteur la vitesse finale au sol bien sûr en n'oubliant pas à chaque fois qu'on a fait une hypothèse de d'absence de résistance de l'air si on comptait la résistance de l'air on verra plus tard certainement que le calcul est un tout petit peu plus compliqué mais il est quand même possible donc voilà je dirais en conclusion que ben à cet exercice il est relativement simple mais qu'il a au moins le mérite d'illustrer que le résultat mathématique qui sont toujours à prendre avec le regard de la physique puisque quand on prend la racine carrée de 7,2 cette valeur là est bien le résultat mathématique nous donne deux solutions et c'est la physique qui va nous permettre de choisir entre ces deux solutions