Formule des niveaux d'énergie du modèle de Bohr : démonstration

dans cette vidéo on va parler des niveaux d'énergie de l'électron dans l'atome d'hydrogène à partir du modèle de bord et on va faire beaucoup de physique c'est donc tout à fait possible de passer directement à la vidéo suivante dans laquelle on va repartir des résultats qu'on aura démontré à la fin de cette vidéo on va commencer par rappeler le modèle de bord qui consiste donc à avoir pour l'atome d'hydrogène le noyau constitué d'un proton chargée positivement autour duquel on a un électron qui a gravité sur une orbite circulaire avec un mouvement circulaire uniforme donc si on imagine que l'électron se déplace dans le sens inverse des aiguilles d'une montre par exemple bien on peut représenter le vecteur vitesse de cet électron qui est temps jean ciel à la trajectoire et quand c'est un mouvement circulaire uniforme et bien la norme de ce vecteur va être la même quel que soit le point sur lequel on à l'électron sur cette trajectoire est dans la vidéo précédente on a parlé du rayon de ces deux trajectoires et fille on a vu qu'en fait le rayon possible pour cet électron et est quantifiée on a plusieurs rayons possible qui correspondent à des niveaux différents les niveaux d'énergie différencie ce qu'on va voir cette vidéo et que le plus petit rayon possible on l'appelle le rayon de bord ce rayon ici le plus petit possible c'est un rayon qu'on appelle à 0 qui est constamment qu'on rayon de bord qui est d'environ 53 picot m il s'agit du rayon pour le niveau n égale 1 dans cette vidéo on va parler d'énergie on va commencer à se poser la question de l'énergie cinétique de cet électron ici l'énergie cinétique elle est bien sûr définie par un demi de la masse de l'électron x sa vitesse au carré donc la norme du vecteur vitesse ici au carré et on va déterminer une expression de cette valeur de la vitesse à partir du bilan des forces sur cet électron donc on a une force qui s'applique vous êtes électrons qui est la force électrostatique une force électrique ici il s'agit d'une force centripète qui a dirigé vers le centre du cercle de cette trajectoire donc en fait vers le proton vers le centre de l'atome d'hydrogène est la norme de ce vecteur f e elle est donnée par loi de coulon elle est égale à qu'à la constante du coulon que multiplie la valeur absolue de la charge du premier corps impliqué dans l'interaction en l'occurrence ici par exemple le proton multiplié par la valeur absolue de la deux m charge du deuxième corps impliqué dans l'interaction ici il s'agit de l'électron / la distance entre ces deux corps au carré ici est rocard et sachant que qu'à la constante du coulon on peut aussi le trouver sous la forme un sur quatre fois et pylônes 0 et 0 étant la permissivité du vide donc ici qu un correspond en fait à la charge du proton qui est petit e et q2 à la charge de l'électron qui est moins eux donc quand on prend les valeurs absolues on va se retrouver avec l'expression suivante donc pour cette force électrique on n'a donc qu'à fois eu la charge du proton fois eu la charge des électrons dont on prend la valeur absolue / r au carré c'est à dire qu'à x e au carré / m² et dans le cadre d'un système comme celui ci pour lequel on va avoir une trajectoire circulaire ici une force centripète qui s'applique à cet électron la seconde loi de newton s'écrit sous cette forme on a en fait la norme de la somme des forces appliquées ici il sèche de efe la force électrique qui est égale à la masse de l'électron x l'accélération centripète qu'on note à un dispostif et cette accélération centripète elle vaut v carré / r pour en savoir plus sur cette seconde loi de newton qui s'applique dans le cadre de ce contexte ici on peut se référer au chapitre de physique sur les forces centripètes avec les vidéos et les articles qui en parle donc je me retrouve ici avec deux expressions pour la force électrique cette expression ici ke carré air carré et cette expression ici mathieu électrons je vais carrés sur air donc si j'égalise ici ces deux expressions je me retrouve avec ke carré / r car etc est égal à mas de l'électron fois vicas au carré / r donc là je vois que je peux trouver une expression pour m e maze électrons fois vie 4/4 et que je pouvoir réintégrer ensuite dans l'expression de l'énergie cinétique donc j'en déduis de ceux ci que m e fois vitesse au carré ces gars là qu'a eu carré est ici j'ai pu simplifier par air divisé donc par r donc si je prends ceci est ce si je peux trouver une expression de l'énergie cinétique l'énergie cinétique qui voit alors un demi 2 m e vekaric est égal à qu'à eux car et / r maintenant qu'on a déterminés l'expression de l'énergie cinétique on va s'intéresser à l'énergie potentielle pour cet électron et en l'occurrence ici on à l'énergie potentielle électrique qui va rentrer en jeu il l'énergie potentielle électrique est là pour expression la consente de coulon x la charge du premier corps impliqué dans l'interaction x la charge du deuxième corps impliqué dans l'interaction / la distance entre les deux corps ici petit air donc ici on n'a pas de valeur absolue tant quoi vraiment prendre les charges du proton et de l'électron donc l'énergie potentielle électrique elle vaut donc qu'à fois charge du proton e x charge de l'électron - e l'électro est chargée négativement / r ce qui me donne donc l'expression suivante le pe est égal à 4 fois et au carré sur air avec un signe moins de vent donc maintenant que j'ai une expression pour l'énergie cinétique et pour l'énergie bomsel électrique je peux trouver l'expression de l'énergie de mon électrons l'énergie totale qui est donc la somme de l'énergie cinétique plus de cette énergie potentiel électrique donc l'énergie totale c'est un demi deux cas le carré / r - k le carré / faire et donc ça j'ai un demi - 1 ke carré / r c'est à dire - 1/2 deux cas le carré / r et ça c'est l'expression de l'énergie pour mon électrons de son énergie totale et on voit que cette expression l'énergie fait intervenir le rayon or on a vu dans les vidéos précédentes sur justement le rayon dans le cadre du modèle de bord qu'on pouvait exprimer le rayon de la manière suivante puisque le rayon de la trajectoire que veut prendre l'électron est quantifiée donc ce rayon ne peut prendre que certaines valeurs on avait déterminé l'expression est indice end pour le niveau n était égal à haisnes au carré x à 0 à 0 étant le rayon de bord on a redit en début de vidéo que pour aînés gagnent 1 on avait r1 et gala à zéro et ce niveau n égale 1 c'est le niveau qu'on appelle l'état sont dame antal d'énergie et lorsqu'on observe un petit peu cette expression est fille de l'énergie on voit qu'elle est en valeur absolue inversément proportionnel à air mais qu'on a un signe négatif ici ce qui signifie que plus le rayon va être grand plus la valeur absolue ici va être petit comme on a 1 - c'est-à-dire plus l'énergie va être grande quand le rayon augmente l'énergie va augmenter donc le niveau d'énergie le plus bas il va être pour le rayon le plus petit donc on va calculer cette énergie qui correspond à n égale 1 et donc au rayon qui vaut à 0 donc on a alors cette énergie comme à noter le 1 puisqu'elle correspond au niveau n égale 1 qui vaut donc moins un demi deux cas la croissante de coulon qui vaut 9 10 puissance 9 que multiplie ensuite la charge de l'électron carré donc 1,6 soit 10 - 19 au carré / donc le rayon à l'état fondamental pour n égale 1 c'est-à-dire à 0 le rayon de bord qui on l'a vu dans les vidéos précédentes vos 5 points 3 x 10 - 11 m donc cette énergie si je sors ma calculatrice et vous donc - 1/2 x j'ouvre la parenthèse donc 9 10 puissance 9 que multiplie 1,6 soit dix puissance moins 19 au carré et ça je le divise par 5,3 x 10 miles et je trouve à peu près moins de deux fois dix puissance moins 18 ici on exprimé en joules donc on a bien un signe moins ici on parlera dans la vidéo suivante de la signification physique de ce signe - généralement on a plutôt coutu a utilisé comme unité pour cette énergie si les électrons volts donc on va convertir ici cette énergie en électrons volt sachant que on a un électron volt qui vaut 1,6 x 10 - 19 joule et si donc on refait ce calcul de 1 en faisant la conversion en électrons volt directement on va trouver que e1 est à peu près égale à moins 13,6 électron volt donc qu'est-ce qu'on peut l'ayant de tout ça et bien en fait on peut déduire que les niveaux d'énergie sont également quantifier tout comme l'était la norme du moment cinétique dans les hypothèses d'une discorde qui a entraîné la quantification dur rayon avec la détermination du rayon de bord à 0 et cette quantification du rayon entraîne également une quantification des niveaux d'énergie que peut prendre l'électron et si j'écris l'expression de cette énergie 6e en faisant apparaître lentilles haine dans l'expression de r du rayon ici je trouve ce qui vaut au moins un demi de cas fois et au carré / n au carré fois à 0 et si j'écris ça d'une autre manière je peux écrire du coup que le n égale si j'aurais arrange un petit peu tout ça - 1/2 de ke au carré sur à 0 x 1 sur aisne au carré et ça on l'a vu c'est cette valeur ici c'est le calcul qu'on a fait ici donc on peut écrire eux n est égale à e 1 sur rennes au carré ou non de façon dont on a de le trouver plus généralement c'est directement eux n égale moins 13,6 / n o car est exprimée emmené électron volt donc ça c'est l'expression du fait que cette énergie ici pour notre électrons elle est également quantifier elle ne peut prendre que certaines valeurs qui vont dépendre de la valeur de lantier haine qu'on va avoir à quel état d'énergie on est con au niveau n égale un l'état fondamental pour lequel on va avoir le rayon le plus petit et la valeur d'énergie la plus petite où n égale deux années galles 3 pour lesquels on va avoir un rayon plus grand et une énergie associés plus grande et en quoi est-ce que ça c'est très important et bien parce que c'est ce qui explique tout l'intérêt du modèle de bord pour l'hydrogène parce que cette expression de l'énergie qui est quantifié et bien elle permet d'expliquer les résultats expérimentaux qu'on obtient notamment pour les spectres da fort sion et des missions de l'hydrogène ce dont on va parler dans des vidéos suivantes