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Formule de la décroissance radioactive : approche analytique

Démonstration de la loi de décroissance radioactive N(t)=Ne^(-kt) donnant le nombre de noyaux non désintégrés en fonction du temps. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

donc dans la vidéo précédente je te présenter la notion de demi vie donc la demi vie on la note parfois en fait t'es un demi comme ça c'est pratique dans les équations et donc ce qu'on a vu c'est que avec le temps de demi vie on sait au bout de combien de temps la moitié des éléments radioactifs se sont désintégrées dont par exemple si on commence à thé égal 0 on a par exemple 100% de on va dire carbone 14 si je regarde à thé égale t1 demi donc au bout de la durée de demi-vie je n'ai plus que 50% des éléments ne se sont pas désintégré si je regarde à thé égale deux fois tu es un demi à ce moment là il nous reste plus que 25 % des atomes radioactifs du début qui ne ce ne sont pas des intégrés et ainsi de suite donc en fait la durée le temps de demi vie vient c'est quelque chose qui est très pratique pour connaître la quantité d'atomes qui se sont désintégrées lorsqu'on ne veut blanc ce qu'on regarde un multiple entier de cette durée de ce temps de demi vie est donc la question que je te pose ici c est ce qu'on peut trouver en fait une fonction qui dépend bien sûr donc du temps qui nous donne la quantité de noyaux nom d intégrer à un instant quelconque qui n'est pas forcément un multiple de 7 2 me vit donc dans la suite on va établir cette fonction qui nous donne le nombre de nos aïeux radioactifs restant en fonction du temps et bien sûr ça implique quelques calculs comme tu vas le voir la première chose qu'on peut se dire c'est que la variation du nombre de noyaux radioactifs en fonction du temps donc je donne delta haine sur delta t et bien c'est quelque chose qui est négatif puisque effectivement on a une diminution du nombre de noyaux radioactifs aux fonctions du temps puisque spontanément à partir d'un noyau radioactif instable on obtient un second noyau un peu plus stable par exemple le carbone 14 va se transformer en azote donc le nombre d'atomes de carbone 14 dans un échantillon donné au cours du temps va diminuer donc la variation delta haine sur delta t et bien c'est quelque chose qui est négatif en fait on peut montrer que non seulement cette variation en cours du temps est négative mais elle est proportionnelle au nombre total d'actes radioactifs c'est à dire que delta n sur delta t c'est moins une certaine constate qu'on note lambda fois n par exemple si je prends un échantillon dans lequel on a 10 puissance 9 atomes de carbone 14 est que met-on eh bien on est mille désintégration par seconde donc ça c'est complètement un chiffre arbitraire alors maintenant si je considère seulement une partie de cet échantillon avec par exemple seulement 10 puissance 6 atomes radioactifs eh bien cette fois j'aurai beaucoup moins j'aurai très exactement 10 puissance trois fois moins de désintégration par seconde donc j'aurai simplement une désintégration par seconde et donc si l'intervalle de temps delta t tend vers zéro ou rejoint la notion de delta tes dents vers zéro eh bien on rejoint la notion de dérivés c'est à dire qu'on obtient des deux n sur d'été donc la dérivée de la fonction n par rapport au temps c'est égal à - lambda donc une constante fois la fonction n on comprend donc on comprend bien intuitivement cette proportionnalité entre la dérive et de haine et la fonction haine et cette constante de proportionnalité dépend de l'atome radioactifs en question c'est ce qu'on appelle donc lambda c'est la constante constante de désintégration alors si on analyse la dimension de ce qu'on achète de chaque côté de cette égalité ou na n / un temps et ici on a lambda fois n donc très simplement on voit que lambda et en seconde moins donc on a ici une équation différentielle qu'on va chercher donc à résoudre pour connaître la fonction n en fonction du temps alors on va déjà m les variables du même côté donc on va diviser chaque côté par n ça nous donne des deux n sur d'été x n qui est égal à - landes a donc j'ai divisé chaque membre de cette équation 20 rennes et ensuite je vais multiplier chaque membre par d'été donc ça nous donne des deux n suresnes est donc égale 1 - lambda d'été à partir de là on va prendre l'intégrale de chaque côté de l'équation donc ça ça nous donne quelle est la primitive de d2 haine sur end une prime sur rue basse et le logarithme ne paie rien donc on a dû hélène de grant haine qui est donc égale alors ensuite la primitive de landas d'été lambda c'est une constante - lambda c'est une constante donc il nous reste moins lambda la primitive de dt ben c'est tout simplement t et bien sûr il reste une certaine constante puisqu'on vient de faire une intégrale donc je le répète un ce qu'on a fait c'est à parfaire cette des équations différentielles on a rassemblé les variables du même côté c'est à dire des deux ânes suresnes à gauche et - lambda d'été à droite ensuite on prend l'intégrale donc une primitive de d2m suresnes c'est le logarithme des périodes de n1 primitive de moins lambda dtc moins longue date et plus constante ensuite à partir de là on va vouloir isoler n donc ce qu'on va faire c'est que bien on va prendre l'exponentielle de chaque côté de cette équation si je prends l'exponentielle de tout ça ça me donne exponentielle de logarithmes donc ça fait précisément n sas est égal à donc exponentielle de moins longue date et et comme tu le sais exponentielle de a + b s'adonne exponentielle de l'offre exponentielle de b donc ça fait exponentielle de moins longue date et fois exponentielle cette constante qu'on ne connaît pas donc je peut réécrire ce que ça exponentielle une constante c'est toujours une constante je peux rire réécrire cette équation comme n est égal à exponentielle moins longue date et fois une deuxième constante qu'on va appeler par exemple ces deux donc pour trouver cette constante ces deux on va regarder ce qui se passe à l'instant t égal zéro donc hâté égal zéro notre haine de l'instant t égal zéro c'est la quantité initiale des atomes radioactifs on va l'appeler n0 c'est souvent une donnée lundi 0 et donc ça c'est égal alors si je fais tu est égal à zéro dans cette équation nous fait exponentielle 2 - lang d'un x 0 lambda x 0 ça fait zéro est exponentielle 2 0 ça fait 1 donc on a tout simplement exponentielle de zéro fois ces deux exponentielle 0 je viens de le dire c'est un donc on a ces deux c'est à dire que notre constante ces deux basses et simplement la quantité initiale d'atomes radioactifs et donc ça ça veut dire qu'on peut réécrire notre fonction grands thèmes grands thèmes qui dépend du temps et bien c'est tout simplement la constante ces deux c'est-à-dire f0 la quantité initiale d'atomes radioactifs fois exponentielle de moins longue date et est donc jean tour cette formule puisque c'est effectivement la solution de notre équation différentielle que j'avais écrit ici entouré en bleu c'est à dire c'est la solution de cette équation différentielle en tenant en compte en prenant en compte le fait qu' à l'instant initiale en un encierro atomes radioactifs donc il faut retenir and tcm 0 exponentielle de moins longue date et avec lambda qui est la constante de désintégration alors on peut faire un peu de place en dessous pour montrer qu'elle est la lure graphique de cette fonction est de thé donc je vais essayer dé signer deux axes ici c'est donc notre nombre de rats d'atomes radioactifs en ordonnée et en abscisses et bien c'est le temps donc notre fonction n 2 t et galen 0 exponentielle de ma longue date et c'est une des croissances exponentielles donc ça ressemble à peu près à quelque chose comme ça et donc à l'instant initiale lorsque tu est égal à zéro c'est à dire ici eh bien on a and the row c'est à dire le nombre initial d'atomes radioactifs et on peut montrer que la tangente à l'origine que j'ai c'est de dessiner ici en pointillés eh bien elle intercepte lax du temps à l'abc ce petit et est égal à 1 / lambda donc dans la prochaine vidéo et bien on va voir comment relier cette constante de radioactivité lambda autant de demi vie