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Loi de décroissance radioactive : Exemple I

Exemples d'application de la loi de décroissance radioactive : demi-vie, constante de désintégration. Calcul de la masse de carbone 14 restant à un instant donné et calcul du temps nécessaire pour avoir une masse restante donnée de carbone 14 . Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

donc dans la vidéo précédente on a fait cette petite démonstration un peu calculatoire pour connaître l'évolution temporelle du nombre de noyaux radioactifs et on a montré que le nombre de grottes de noyaux radioactifs évolue en fonction du temps de la façon suivante donc n de t&t tout simplement égal à zéro c'est à dire le nombre à l'instant initial fois exponentielle de moins lambda ttc la variable c'est le temps et lambda c'est une constante donc je le remets ici lambda on appelle ça la constante de désintégration et donc elle s'exprime en seconde - 1 alors maintenant on va voir comment on peut relier cette constante de désintégration à une donnée caractéristiques une grandeur caractéristiques on a vu avancer la demi vie donc la demi vie qu on note souvent tu es un demi je redonne sa définition ça la durée nécessaire pour que la moitié de la quantité initiale de noyau et disparus tout ça je peux le transmettre je peux le transcrire pardon en équation très facilement il se trouve que n2 t0 donc l'instant initial plus tes ennemis c'est à dire que si j'ai un temps exactement cette demie vie en terme de durée par rapport à notre instinct initial eh bien on a divisé le nombre de noyaux par deux c'est par définition du de la demi vie donc ça veut dire que si je reprends l'expression ici que j'ai donné pour and they n 0 sur deux c'est aussi égal à n 0 exponentielle de moins lambda fois tu es un ami donc on a là une expression qu'on peut simplifier je veux / n 02 chaque côté ça nous donne un demi est égal à exponentielle de moins lambda fois tu es un demi je vais ensuite prendre le logarithme n'était rien de chaque côté de cette équation ça va nous donner hélène de 1/2 est donc égale à - lambda t1 demi un 10 1/2 bien sûr et donc ça ça implique que tu es un demi et bien c'est égal à hélène de 2 / lambda donc j'encadre cette formule importante qui nous relient la 2008 et 1/2 à la constante de désintégration donc tu es un demi c'est égal à l aine de 2 sur lambda alors on va faire un petit exemple pour montrer un peu l'utilité de cette formule de ce lien entre la demi vie est la constante d intégration donc si on reprend notre fameux carbone 14 carbone radioactifs on l'a vu précédemment t1 demi donc la demi vie on l'a vu dans la vidéo précédente en fait la demi vie pour cet élément radioactif passé cinq mille sept cent quarante ans alors si je te pose la question quelle est donc la constante de désintégration pour cet élément alors la première chose simple à faire mais en fait c'est de reprendre l'équation qu'on a écrit là-dessus c'est à dire de regarder que vos haines à l'instant t 1/2 puisqu'on connaît été un demi donc c'est tout simplement n 0 sur deux est remplacé dans cette équation battait 1/2 par sa valeur pour trouver lambda mais comme on a trouvé la formule générale qui relie t1 demi et la constante de désintégration is it et 1/2 égal hélène de deux surlendemain ella on peut faire directement le calcul de lambda avec cette formule donc ces partis allons-y on à 5740 donc on est en année il est égal à l aine de 2 sur lambda ça implique donc que lambda est égal à l aine de 2 / 5746 on exprime le résultat en linverse d'année donc si on sort la calculatrice on va pouvoir calculer un arrondi donc elle n 2 elle n 2 2 / 5000 740 ça nous donne à peu près de 10 points 4 donc je donne le résultat ici donc on est bien dans le carbone 14 et lambda vaut à peu près 1,2 10 - quatre essais des années - 1 donc je m en moins 1 donc si je veux trouver l'expression de n 2 t à n'importe quel instant et avoir l'application numérique directement et bien je peux réécrire donc pour le carbone 14 que and they et bien c'est des galas n0 donc le nombre d'atomes radioactifs à l'instant initial fois exponentielle de moins 1,2 10 - quatre fois le temps donc quand je cherche end un instant t quel que soit et du moment qu'il est expliqué exprimée en année eh bien j'ai directement son expression c'est n 0 c'est-à-dire la quantité de noyaux radioactifs à l'instant initial fois exponentielle de - 11 10 - quatre fois le nombre d'années alors mettons par exemple qu'on parte à un instant initial avec 300 grammes de carbone 14 et donc je veux connaître la quantité restante de ce carbone 14 après deux mille 2000 en combat au vu de ce qu'on vient établir c'est très simple il suffit d'appliquer la formule on na n de 2000 qui est égal à n0 donc je vais mettre 300 ans g exponentielle de moins 02 10 - 4 x 2000 alors j'ai utilisé ici la masse en gramme de carbone 14 puisque toute façon c'est proportionnel à la quantité de matière donc j'ai utilisé ici la masse donc notre haine à l'instant au goût de 2000 ans et bien c'est toujours 300 grammes mais cette fois fois exponentielle de alors deux mille fois un recul de 10 points 4 si on fait déjà multiplié par deux sa fait exponentielle de moins 2,4 et ensuite on a 10 - 4 x 10 puissance 3 eh bien ça fait dix puissance moins donc c'est parti pour l'application numérique avec la calculatrice 300 fois exponentielle de moins 0,24 eh bien ça ça nous donne à peu près 2 136 g donc end 2000 et bien c'est à peu près égale à 2 136 g grâce à cette formule ici n 2 t et galen 0 exponentielle de moins 1,2 dix puissance moins quatre fois tu es et bien on est capable de connaître un instant quelconque par exemple ici au bout de deux mille ans combien de quantité radioactives il nous reste alors dernier petit exemple mais cette fois en prenant le problème un peu inverse n'a un instant initial 400 grammes de carbone 14 et donc on veut savoir au bout de combien de temps combien de temps pour arriver 1 350 g mais encore une fois on va servir de notre équation ici a noté galène 0 exponentielle 2 - un recul de 10 points 4 t et bien très simplement ça va nous faire donc 350 c'est la quantité qu'on a un instant t eh bien c'est la quantité initiale soit 400 fois exponentielle de moins 1,2 nice - quatre fois notre inconnue c'est-à-dire le temps ensuite je vais par exemple / 400 de chaque côté donc j'ai 350 sur 400 qui est égale 1 exponentielle de -1 02 10 - quatre fois le temps donc 350 / 400 c 0,875 donc on continue on à 0,875 qui est égal à exponentielle de moins 1,2 10.4 fois le temps ensuite on apprendre le logarithme n'était rien de chaque côté donc ça va faire l aine de 0,875 qui est égale 1 - 1 2-10 moins quatre fois le temps puisque hélène de exponentielle ça donne ce qu'il ya dans l'expo dans ciel et donc notre temps t et bien c'est égal à hélène de 0,875 / -1 02 10 - 4 ces partis applications numériques donc on prend le logar le nigérien de 0,875 que l'on divise port 1,2 donc moins 1,2 fois dix puissance moins 4 eh bien ça nous donne 1112 année si on fait une tronche nature je vais écrire le résulta t est donc égale à 1112 donc pour passer de 400 grammes de carbone 14 350 grammes de carbone 14 eh bien il faut à peu près mille cent douze années donc en fait tout ce qu'on a utilisées pour résoudre ces petits exemples cette fille d'exercice c'est les formules du départ dont ce qui est important de retenir c'est que la quantité de noyaux radioactifs and they say des galas n0 exponentielle moins longue date et et que ce land à cette constante de thé intégration son lien avec le temps de demi vie la durée d'admis vie c'était un demi égal hélène de deux surlendemain