Pour apprendre comment la pression, le volume, la température et le nombre de moles d'un gaz sont reliés.

Qu'est ce qu'un gaz parfait ?

Les gaz, c'est compliqué ! Ils sont composés de milliards de molécules relativement énergétiques qui peuvent entrer en collision et interagir entre elles. Comme il est très difficile de décrire un gaz réel, on utilise le concept de gaz parfait, ou idéal, comme approximation permettant de modéliser et prédire le comportement d'un gaz réel. Le terme de gaz parfait se rapporte à un gaz hypothétique qui serait composé de molécules soumises aux règles suivantes :
  1. Les molécules d'un gaz parfait ne s'attirent pas et ne se repoussent pas mutuellement. Les seules interactions possibles entre les molécules de gaz parfait sont les chocs élastiques avec d'autres molécules ou avec la paroi du récipient contenant le gaz.
    Le terme choc élastique fait référence à une collision entre plusieurs objets durant laquelle toute l'énergie cinétique est conservée. En d'autres termes, de l'énergie cinétique est échangée entre les objets (dans le cas présent les molécules), mais elle n'est pas convertie en une autre forme d'énergie, de façon à ce que l'énergie cinétique totale à la fin de la collision soit égale à l'énergie cinétique totale avant la collision.
    Par exemple, une collision entre deux voitures se retrouvant avec leurs pare-chocs froissés n'est pas un choc élastique, car une partie de l'énergie cinétique est transformée en chaleur et en énergie sonore.
  2. Les molécules de gaz parfait en elles-mêmes n'occupent aucun volume. La gaz lui-même occupe un certain volume, puisque les molécules se répandent dans une vaste région de l'espace, mais les molécules du gaz parfait sont considérées comme des particules ponctuelles, qui n'occupent aucun volume dans l'espace.
Bien entendu, le concept de gaz parfait n'existe pas dans le monde réel, mais c'est une excellente approximation dans la plupart des cas. En fait, dans des conditions normales de température et de pression, la majeure partie des gaz usuels ont quasiment les mêmes propriétés qu'un gaz parfait.
Si la pression d'un gaz est trop élevée (c.à d. des centaines de fois plus élevée que la pression atmosphérique), ou que sa température est trop basse (c.à d. vers ), ses propriétés peuvent s'éloigner significativement de celles d'un gaz parfait. Pour en savoir plus sur les gaz "non-parfaits" (ou gaz réels), se référer à cet article.

Qu'est ce que la forme molaire de la loi des gaz parfaits ?

La pression P, le volume V et la température T d'un gaz parfait sont liés par une formule simple appelée loi des gaz parfaits. La simplicité de cette formule fait qu'on considère un gaz comme parfait dans tous les cas où il est possible de le faire.
P, V, equals, n, R, T
P est la pression du gaz, V le volume occupé par le gaz, T sa température, R est la constante des gaz parfaits, et n est la quantité de matière (en moles) du gaz.
On utilise la m, o, l, e pour compter le nombre de molécules contenues dans un gaz ; le nombre de moles est, par convention, noté n.
1, space, m, o, l, e est égale à 6, comma, 02, times, 10, start superscript, 23, end superscript, space, m, o, lé\text{é}c, u, l, e, s. Ce nombre est appelé nombre d'Avogadro N, start subscript, A, end subscript et il permet de convertir les m, o, l, e, s en m, o, lé\text{é}c, u, l, e, s.
NA=6,02×1023molécules moleN_A=6{,}02\times 10^{23} \dfrac{\text{molécules}}{\text{ mole}}
Dans une pièce standard, on peut considérer qu'il y a au moins 1000, space, m, o, l, e, s de molécules de gaz. Cela représente un nombre incroyablement grand de molécules :
1000, times, 6, comma, 02, times, 10, start superscript, 23, end superscript, space, m, o, lé\text{é}c, u, l, e, s, equals, 6, comma, 02, times, 10, start superscript, 26, end superscript, equals, space, s, i, x, space, c, e, n, t, space, m, i, l, l, i, o, n, s, space, d, e, space, m, i, l, l, i, a, r, d, s, space, d, e, space, m, i, l, l, i, a, r, d, s, space d, e, space, m, o, lé\text{é}c, u, l, e, s, space, d, e, space, g, a, z
Ce nombre est bien plus grand que le nombre d'étoiles estimé dans notre galaxie la Voie Lactée, il est même encore plus grand que le nombre d'étoiles estimé dans l'univers observable.
Une des principales difficultés dans l'utilisation de cette formule est de savoir quelles unités utiliser. Si on utilise la constante des gaz parfaits R, equals, 8, comma, 31, start fraction, J, divided by, K, dot, m, o, l, end fraction, alors il faut exprimer la pression P en p, a, s, c, a, l, s, space, left parenthesis, P, a, right parenthesis, le volume V en m, start superscript, 3, end superscript, et la température T en k, e, l, v, i, n, space, left parenthesis, K, right parenthesis.
Si, en revanche, on utilise la constante des gaz parfaits sous la forme R, equals, 0, comma, 082, start fraction, L, dot, a, t, m, divided by, K, dot, m, o, l, end fraction, alors il faut exprimer la pression P en unités d'a, t, m, o, s, p, hè\text{è}r, e, s, space, left parenthesis, a, t, m, right parenthesis, le volume V en l, i, t, r, e, s, space, left parenthesis, L, right parenthesis, et la température T en k, e, l, v, i, n, space, left parenthesis, K, right parenthesis.
Pour s'y retrouver, on peut utiliser le tableau de conversion ci-dessous.
Unités à utiliser dans P, V, equals, n, R, T
R, equals, 8, comma, 31, start fraction, J, divided by, K, dot, m, o, l, end fractionR, equals, 0, comma, 082, start fraction, L, dot, a, t, m, divided by, K, dot, m, o, l, end fraction
Pression en p, a, s, c, a, l, s, space, P, aPression en a, t, m, o, s, p, hè\text{è}r, e, s, space, left parenthesis, a, t, m, right parenthesis
Volume en m, start superscript, 3, end superscriptVolume en l, i, t, r, e, s, space, L
Température en k, e, l, v, i, n, space, KTempérature en k, e, l, v, i, n, space, K
A savoir pour effectuer les conversions entre ces différentes unités :
1, space, a, t, m, o, s, p, hè\text{è}r, e, equals, 1, comma, 013, times, 10, start superscript, 5, end superscript, space, P, a, equals, 1, comma, 033, space, k, g, space, p, a, r, space, c, m, start superscript, 2, end superscript
1, space, l, i, t, r, e, equals, 0, comma, 001, space, m, start superscript, 3, end superscript, equals, 1000, space, c, m, start superscript, 3, end superscript
Pour convertir les d, e, g, ré\text{é}s, space, c, e, l, s, i, u, s en k, e, l, v, i, n on utilise la formule T, start subscript, K, end subscript, equals, T, start subscript, C, end subscript, plus, 273, comma, 15.
On entendra souvent parler des "conditions normales de température et de pression" ou CNTP, qui sont les suivantes : et P, equals, 1, comma, 013, times, 10, start superscript, 5, end superscript, space, P, a, equals, 1, space, a, t, m.

Qu'est ce que la forme moléculaire de la loi des gaz parfaits ?

Lorsqu'on préfère utiliser N, space, l, e, space, n, o, m, b, r, e, space, d, e, space, m, o, lé\text{é}c, u, l, e, s plutôt que n, space, l, e, space, n, o, m, b, r, e, space, d, e, space, m, o, l, e, s, on écrit la loi des gaz parfaits de la manière suivante :
P, V, equals, N, k, start subscript, B, end subscript, T
P est la pression du gaz, V le volume occupé par le gaz, T sa température, N le nombre de molécules contenues dans le gaz et k, start subscript, B, end subscript la constante de Boltzman,
k, start subscript, B, end subscript, equals, 1, comma, 38, times, 10, start superscript, minus, 23, end superscript, start fraction, J, divided by, K, end fraction
Dans la forme moléculaire de la loi, qui contient la constante de Boltzmann, il faut exprimer la pression P en p, a, s, c, a, l, s, space, P, a, le volume V en m, start superscript, 3, end superscript et la température T en k, e, l, v, i, n, space, K. Ceci est résumé dans le tableau ci-dessous.
Unités à utiliser pour P, V, equals, N, k, start subscript, B, end subscript, T
k, start subscript, B, end subscript, equals, 1, comma, 38, times, 10, start superscript, minus, 23, end superscript, start fraction, J, divided by, K, end fraction
Pression en p, a, s, c, a, l, s, space, P, a
Volume en m, start superscript, 3, end superscript
Température en k, e, l, v, i, n, space, K

Qu'est ce que la forme proportionnelle de la loi des gaz parfaits ?

Il existe une autre manière particulièrement utile d'écrire la loi des gaz parfaits. Si le nombre de moles n (ou de molécules N) du gaz ne change pas, alors les quantités n, R et N, k, start subscript, B, end subscript sont constantes pour un gaz donné. C'est souvent le cas étant donné que le gaz considéré est en général contenu dans un récipient fermé. Donc en modifiant la formule des gaz parfaits pour mettre la pression, le volume et la température du même coté, on obtient :
n, R, equals, N, k, start subscript, B, end subscript, equals, start fraction, P, V, divided by, T, end fraction, equals, space, c, o, n, s, t, a, n, t, e
Ce qui montre que, à partir du moment où le nombre de moles (de molécules) d'un gaz donné reste le même, la quantité start fraction, P, V, divided by, T, end fraction est constante pour ce gaz quelles que soient les transformations auxquelles il est soumis. En d'autres termes, si le gaz part d'un état 1 (avec la pression P, start subscript, 1, end subscript, le volume V, start subscript, 1, end subscript, la température T, start subscript, 1, end subscript), pour arriver dans un état 2 (avec la pression P, start subscript, 2, end subscript, le volume V, start subscript, 2, end subscript, la température T, start subscript, 2, end subscript), alors quel que soit le processus qui l'a fait passer de l'état 1 à l'état 2, la relation suivante est toujours vraie :
start fraction, P, start subscript, 1, end subscript, V, start subscript, 1, end subscript, divided by, T, start subscript, 1, end subscript, end fraction, equals, start fraction, P, start subscript, 2, end subscript, V, start subscript, 2, end subscript, divided by, T, start subscript, 2, end subscript, end fraction
Cette formule est particulièrement utile pour décrire un gaz parfait passant d'un état à un autre. Comme elle ne contient pas la constante des gaz parfaits, on peut utiliser les unités que l'on veut, à condition bien sûr d'utiliser les mêmes unités de chaque coté du signe égal (c.à d. que si on exprime V, start subscript, 1, end subscript en m, start superscript, 3, end superscript, il faut également exprimer V, start subscript, 2, end subscript en m, start superscript, 3, end superscript).

Exemples d'exercices faisant intervenir la loi des gaz parfaits

Exemple 1 : Combien y a-t-il de moles d'air dans un ballon de basket ?

L'air contenu dans un ballon de basket réglementaire a une pression de 1, comma, 54, space, a, t, m et le ballon a un rayon de 0, comma, 119, space, m. On admet que l'air à l'intérieur du ballon est à une température de (c.à d. à température ambiante).
a. Déterminer le nombre de moles d'air à l'intérieur du ballon de basket.
b. Déterminer le nombre de molécules d'air à l'intérieur du ballon de basket.
On se sert de la loi des gaz parfaits. Pour trouver le nombre de moles on utilise la forme molaire de la formule.
P, V, equals, n, R, T, space (on utilise la forme molaire de la loi des gaz parfaits)
n, equals, start fraction, P, V, divided by, R, T, end fraction, space (on exprime le nombre de moles)
n, equals, start fraction, P, V, divided by, left parenthesis, 8, comma, 31, start fraction, J, divided by, K, dot, m, o, l, end fraction, right parenthesis, T, end fraction, space (on choisit la constante des gaz parfaits que l'on veut utiliser)
Comme on utilise ici la constante des gaz parfaits sous cette forme, il faut s'assurer d'utiliser les unités correspondantes pour la pression (p, a, s, c, a, l, s), le volume (m, start superscript, 3, end superscript), ainsi que la température (k, e, l, v, i, n).
Bien sûr, on aurait très bien pu utiliser la constante des gaz parfaits sous cette forme : R, equals, 0, comma, 082, start fraction, L, dot, a, t, m, divided by, K, dot, m, o, l, end fraction. Il aurait simplement fallu faire attention à faire le calcul avec la pression en a, t, m, o, s, p, hè\text{è}r, e, s et avec le volume en l, i, t, r, e, s.
On convertit la pression en pascals :
1, comma, 54, space, a, t, m, times, left parenthesis, start fraction, 1, comma, 013, times, 10, start superscript, 5, end superscript, space, P, a, divided by, 1, space, a, t, m, end fraction, right parenthesis, equals, 156, space, 000, space, P, a.
Et on utilise la formule du volume de la sphère start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, pi, r, start superscript, 3, end superscript pour trouver le volume d'air contenu dans le ballon de basket.
V, equals, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, pi, r, start superscript, 3, end superscript, equals, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, pi, left parenthesis, 0, comma, 119, space, m, right parenthesis, start superscript, 3, end superscript, equals, 0, comma, 00706, space, m, start superscript, 3, end superscript
Pour obtenir la température en Kelvins, on utilise la formule suivante :
T, start subscript, K, end subscript, equals, T, start subscript, C, end subscript, plus, 273, comma, 15 => T, equals, 25, plus, 273, comma, 15, equals, 298, comma, 15, space, K.
Maintenant on remplace les grandeurs dans l'équation molaire des gaz parfaits par leur valeur numérique :
(on utilise les unités associées à cette constante des gaz parfaits)
n, equals, 0, comma, 445, space, m, o, l, e, s
Pour déterminer le nombre N de molécules d'air contenues dans le ballon de basket, on convertit les m, o, l, e, s en m, o, lé\text{é}c, u, l, e, s.
N=0,445 moles×6,02×1023 molécules1 mole=2,68×1023 molN=0{,}445 \text{ moles}\times \dfrac{6{,}02\times 10^{23}\text{ molécules}}{1 \text{ mole}}=2{,}68 \times 10^{23} \text{ mol}é\text{é}c, u, l, e, s
On aurait aussi pu résoudre ce problème en utilisant la forme moléculaire de la loi des gaz parfaits pour déterminer le nombre de molécules contenues dans le ballon de basket, et ensuite convertir ce nombre de molécules en nombre de moles.

Exemple 2 : Refroidissement d'un gaz

Un gaz contenu dans une bonbonne scellée se trouve à température ambiante T, equals, 293, space, K et sous pression atmosphérique. La bonbonne est ensuite placée dans un bac réfrigéré et sa température descend à T, equals, 255, space, K.
Déterminer la pression du gaz une fois qu'il a atteint la température de 255, space, K, point
Comme on connaît la température et la pression dans un état initial donné, et que l'on cherche à déterminer la pression à l'état final, on utilise la forme proportionnelle de la loi des gaz parfaits. On peut le faire car le nombre de molécules à l'intérieur de la bonbonne est constant.
start fraction, P, start subscript, 1, end subscript, V, start subscript, 1, end subscript, divided by, T, start subscript, 1, end subscript, end fraction, equals, start fraction, P, start subscript, 2, end subscript, V, start subscript, 2, end subscript, divided by, T, start subscript, 2, end subscript, end fraction, space (on utilise la forme proportionnelle de la loi des gaz parfaits)
start fraction, P, start subscript, 1, end subscript, V, divided by, T, start subscript, 1, end subscript, end fraction, equals, start fraction, P, start subscript, 2, end subscript, V, divided by, T, start subscript, 2, end subscript, end fraction, space (Le volume est le même avant et après car la bonbonne est scellée et rigide)
start fraction, P, start subscript, 1, end subscript, divided by, T, start subscript, 1, end subscript, end fraction, equals, start fraction, P, start subscript, 2, end subscript, divided by, T, start subscript, 2, end subscript, end fraction, space (on divise chaque membre par V)
P, start subscript, 2, end subscript, equals, T, start subscript, 2, end subscript, start fraction, P, start subscript, 1, end subscript, divided by, T, start subscript, 1, end subscript, end fraction, space (on exprime la pression P, start subscript, 2, end subscript)
(on remplace les températures et la pression par leur valeur numérique)
P, start subscript, 2, end subscript, equals, 0, comma, 87, space, a, t, m, space (on fait le calcul et on précise l'unité)
On remarque que la pression initiale étant donnée en a, t, m, o, s, p, hè\text{è}r, e, s, le résultat obtenu est lui aussi en a, t, m, o, s, p, hè\text{è}r, e, s. Pour obtenir un résultat en p, a, s, c, a, l, s, on peut soit convertir la pression initiale en p, a, s, c, a, l, s puis faire le calcul, soit simplement convertir le résultat en p, a, s, c, a, l, s de la manière suivante :
P, start subscript, 2, end subscript, equals, 0, comma, 87, space, a, t, m, times, left parenthesis, start fraction, 1, comma, 013, times, 10, start superscript, 5, end superscript, space, P, a, divided by, 1, space, a, t, m, end fraction, right parenthesis, equals, 88, space, 200, space, P, a, space (on convertit les atmosphères en pascals)