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Qu'est-ce que la loi des gaz parfaits ?

Pour apprendre comment la pression, le volume, la température et le nombre de moles d'un gaz sont reliés.

Qu'est-ce qu'un gaz parfait ?

Les gaz, c'est compliqué ! Ils sont composés de milliards de molécules relativement énergétiques qui peuvent entrer en collision et interagir entre elles. Comme il est très difficile de décrire un gaz réel, on utilise le concept de gaz parfait, ou idéal, comme approximation permettant de modéliser et prédire le comportement d'un gaz réel. Le terme de gaz parfait se rapporte à un gaz hypothétique qui serait composé de molécules soumises aux règles suivantes :
  1. Les molécules d'un gaz parfait ne s'attirent pas et ne se repoussent pas mutuellement. Les seules interactions possibles entre les molécules de gaz parfait sont les chocs élastiques avec d'autres molécules ou avec la paroi du récipient contenant le gaz.
  2. Les molécules de gaz parfait en elles-mêmes n'occupent aucun volume. La gaz lui-même occupe un certain volume, puisque les molécules se répandent dans une vaste région de l'espace, mais les molécules du gaz parfait sont considérées comme des particules ponctuelles, qui n'occupent aucun volume dans l'espace.
Bien entendu, le concept de gaz parfait n'existe pas dans le monde réel, mais c'est une excellente approximation dans la plupart des cas. En fait, dans des conditions normales de température et de pression, la majeure partie des gaz usuels ont quasiment les mêmes propriétés qu'un gaz parfait.
Si la pression d'un gaz est trop élevée (c.à d. des centaines de fois plus élevée que la pression atmosphérique), ou que sa température est trop basse (c.à d. vers minus, 200, start text, space, °, C, end text), ses propriétés peuvent s'éloigner significativement de celles d'un gaz parfait. Pour en savoir plus sur les gaz "non-parfaits" (ou gaz réels), se référer à cet article.

Qu'est-ce que la forme molaire de la loi des gaz parfaits ?

La pression P, le volume V et la température T d'un gaz parfait sont liés par une formule simple appelée loi des gaz parfaits. La simplicité de cette formule fait qu'on considère un gaz comme parfait dans tous les cas où il est possible de le faire.
P, V, equals, n, R, T
P est la pression du gaz, V le volume occupé par le gaz, T sa température, R est la constante des gaz parfaits, et n est la quantité de matière (en moles) du gaz.
Une des principales difficultés dans l'utilisation de cette formule est de savoir quelles unités utiliser. Si on utilise la constante des gaz parfaits R, equals, 8, comma, 31, start fraction, J, divided by, K, dot, m, o, l, end fraction, alors il faut exprimer la pression P en start text, p, a, s, c, a, l, s, space, end text, left parenthesis, P, a, right parenthesis, le volume V en m, cubed, et la température T en start text, k, e, l, v, i, n, space, end text, left parenthesis, K, right parenthesis.
Si, en revanche, on utilise la constante des gaz parfaits sous la forme R, equals, 0, comma, 082, start fraction, L, dot, a, t, m, divided by, K, dot, m, o, l, end fraction, alors il faut exprimer la pression P en unités d'start text, a, t, m, o, s, p, h, end textstart text, e, with, \`, on top, end textstart text, r, e, s, space, end text, left parenthesis, a, t, m, right parenthesis, le volume V en start text, l, i, t, r, e, s, space, end text, left parenthesis, L, right parenthesis, et la température T en start text, k, e, l, v, i, n, space, end text, left parenthesis, K, right parenthesis.
Pour s'y retrouver, on peut utiliser le tableau de conversion ci-dessous.
Unités à utiliser dans P, V, equals, n, R, T
R, equals, 8, comma, 31, start fraction, J, divided by, K, dot, m, o, l, end fractionR, equals, 0, comma, 082, start fraction, L, dot, a, t, m, divided by, K, dot, m, o, l, end fraction
Pression en start text, p, a, s, c, a, l, s, space, end text, P, aPression en start text, a, t, m, o, s, p, h, end textstart text, e, with, \`, on top, end textstart text, r, e, s, space, end text, left parenthesis, a, t, m, right parenthesis
Volume en m, cubedVolume en start text, l, i, t, r, e, s, space, end text, L
Température en start text, k, e, l, v, i, n, space, end text, KTempérature en start text, k, e, l, v, i, n, space, end text, K

Qu'est-ce que la forme moléculaire de la loi des gaz parfaits ?

Lorsqu'on préfère utiliser N, start text, space, l, e, space, n, o, m, b, r, e, space, d, e, space, m, o, l, end textstart text, e, with, \', on top, end textstart text, c, u, l, e, s, end text plutôt que n, start text, space, l, e, space, n, o, m, b, r, e, space, d, e, space, m, o, l, e, s, end text, on écrit la loi des gaz parfaits de la manière suivante :
P, V, equals, N, k, start subscript, B, end subscript, T
P est la pression du gaz, V le volume occupé par le gaz, T sa température, N le nombre de molécules contenues dans le gaz et k, start subscript, B, end subscript la constante de Boltzman,
k, start subscript, B, end subscript, equals, 1, comma, 38, times, 10, start superscript, minus, 23, end superscript, start fraction, J, divided by, K, end fraction
Dans la forme moléculaire de la loi, qui contient la constante de Boltzmann, il faut exprimer la pression P en start text, p, a, s, c, a, l, s, space, P, a, end text, le volume V en start text, m, end text, cubed et la température T en start text, k, e, l, v, i, n, space, K, end text. Ceci est résumé dans le tableau ci-dessous.
Unités à utiliser pour P, V, equals, N, k, start subscript, B, end subscript, T
k, start subscript, B, end subscript, equals, 1, comma, 38, times, 10, start superscript, minus, 23, end superscript, start fraction, J, divided by, K, end fraction
Pression en start text, p, a, s, c, a, l, s, space, end text, P, a
Volume en m, cubed
Température en start text, k, e, l, v, i, n, space, end text, K

Qu'est-ce que la forme proportionnelle de la loi des gaz parfaits ?

Il existe une autre manière particulièrement utile d'écrire la loi des gaz parfaits. Si le nombre de moles n (ou de molécules N) du gaz ne change pas, alors les quantités n, R et N, k, start subscript, B, end subscript sont constantes pour un gaz donné. C'est souvent le cas étant donné que le gaz considéré est en général contenu dans un récipient fermé. Donc en modifiant la formule des gaz parfaits pour mettre la pression, le volume et la température du même coté, on obtient :
n, R, equals, N, k, start subscript, B, end subscript, equals, start fraction, P, V, divided by, T, end fraction, equals, start text, space, c, o, n, s, t, a, n, t, e, end text
Ce qui montre que, à partir du moment où le nombre de moles (de molécules) d'un gaz donné reste le même, la quantité start fraction, P, V, divided by, T, end fraction est constante pour ce gaz quelles que soient les transformations auxquelles il est soumis. En d'autres termes, si le gaz part d'un état 1 (avec la pression P, start subscript, 1, end subscript, le volume V, start subscript, 1, end subscript, la température T, start subscript, 1, end subscript), pour arriver dans un état 2 (avec la pression P, start subscript, 2, end subscript, le volume V, start subscript, 2, end subscript, la température T, start subscript, 2, end subscript), alors quel que soit le processus qui l'a fait passer de l'état 1 à l'état 2, la relation suivante est toujours vraie :
start fraction, P, start subscript, 1, end subscript, V, start subscript, 1, end subscript, divided by, T, start subscript, 1, end subscript, end fraction, equals, start fraction, P, start subscript, 2, end subscript, V, start subscript, 2, end subscript, divided by, T, start subscript, 2, end subscript, end fraction
Cette formule est particulièrement utile pour décrire un gaz parfait passant d'un état à un autre. Comme elle ne contient pas la constante des gaz parfaits, on peut utiliser les unités que l'on veut, à condition bien sûr d'utiliser les mêmes unités de chaque coté du signe égal (c.à d. que si on exprime V, start subscript, 1, end subscript en start text, m, end text, cubed, il faut également exprimer V, start subscript, 2, end subscript en start text, m, end text, cubed). [Les températures, toutefois, doivent être exprimées en kelvins]

Exemples d'exercices faisant intervenir la loi des gaz parfaits

Exemple 1 : Combien y a-t-il de moles d'air dans un ballon de basket ?

L'air contenu dans un ballon de basket réglementaire a une pression de 1, comma, 54, start text, space, a, t, m, end text et le ballon a un rayon de 0, comma, 119, start text, space, m, end text. On admet que l'air à l'intérieur du ballon est à une température de 25, start text, space, °, C, end text (c.à d. à température ambiante).
a. Déterminer le nombre de moles d'air à l'intérieur du ballon de basket.
b. Déterminer le nombre de molécules d'air à l'intérieur du ballon de basket.
On se sert de la loi des gaz parfaits. Pour trouver le nombre de moles on utilise la forme molaire de la formule.
P, V, equals, n, R, T (on utilise la forme molaire de la loi des gaz parfaits)
n, equals, start fraction, P, V, divided by, R, T, end fraction (on exprime le nombre de moles)
n, equals, start fraction, P, V, divided by, left parenthesis, 8, comma, 31, start fraction, J, divided by, K, dot, m, o, l, end fraction, right parenthesis, T, end fraction (on choisit la constante des gaz parfaits que l'on veut utiliser)
Comme on utilise ici la constante des gaz parfaits sous cette forme, il faut s'assurer d'utiliser les unités correspondantes pour la pression (start text, p, a, s, c, a, l, s, end text), le volume (start text, m, end text, cubed), ainsi que la température (start text, k, e, l, v, i, n, end text).
On convertit la pression en pascals :
1, comma, 54, start text, space, a, t, m, end text, times, left parenthesis, start fraction, 1, comma, 013, times, 10, start superscript, 5, end superscript, start text, space, P, a, end text, divided by, 1, start text, space, a, t, m, end text, end fraction, right parenthesis, equals, 156, start text, space, end text, 000, start text, space, P, a, end text.
Et on utilise la formule du volume de la sphère start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, pi, r, cubed pour trouver le volume d'air contenu dans le ballon de basket.
V, equals, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, pi, r, cubed, equals, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, pi, left parenthesis, 0, comma, 119, start text, space, m, end text, right parenthesis, cubed, equals, 0, comma, 00706, start text, space, m, end text, cubed
Pour obtenir la température en Kelvins, on utilise la formule suivante :
T, start subscript, K, end subscript, equals, T, start subscript, C, end subscript, plus, 273, comma, 15 => T, equals, 25, plus, 273, comma, 15, equals, 298, comma, 15, start text, space, K, end text.
Maintenant on remplace les grandeurs dans l'équation molaire des gaz parfaits par leur valeur numérique :
n, equals, start fraction, 156, start text, space, end text, 000, start text, space, P, a, end text, ×, 0, comma, 00706, start text, space, m, end text, cubed, divided by, 8, comma, 31, start fraction, J, divided by, K, dot, m, o, l, end fraction, ×, 298, comma, 15, start text, space, K, end text, end fraction (on utilise les unités associées à cette constante des gaz parfaits)
n, equals, 0, comma, 445, start text, space, m, o, l, e, s, end text
Pour déterminer le nombre N de molécules d'air contenues dans le ballon de basket, on convertit les start text, m, o, l, e, s, end text en start text, m, o, l, end textstart text, e, with, \', on top, end textstart text, c, u, l, e, s, end text.
N, equals, 0, comma, 445, start text, space, m, o, l, e, s, end text, times, start fraction, 6, comma, 02, times, 10, start superscript, 23, end superscript, start text, space, m, o, l, e, with, \', on top, c, u, l, e, s, end text, divided by, 1, start text, space, m, o, l, e, end text, end fraction, equals, 2, comma, 68, times, 10, start superscript, 23, end superscript, start text, space, m, o, l, end textstart text, e, with, \', on top, end textstart text, c, u, l, e, s, end text
On aurait aussi pu résoudre ce problème en utilisant la forme moléculaire de la loi des gaz parfaits pour déterminer le nombre de molécules contenues dans le ballon de basket, et ensuite convertir ce nombre de molécules en nombre de moles.

Exemple 2 : Refroidissement d'un gaz

Un gaz contenu dans une bonbonne scellée se trouve à température ambiante T, equals, 293, start text, space, K, end text et sous pression atmosphérique. La bonbonne est ensuite placée dans un bac réfrigéré et sa température descend à T, equals, 255, start text, space, K, end text.
Déterminer la pression du gaz une fois qu'il a atteint la température de 255, start text, space, K, end text, point
Comme on connaît la température et la pression dans un état initial donné, et que l'on cherche à déterminer la pression à l'état final, on utilise la forme proportionnelle de la loi des gaz parfaits. On peut le faire car le nombre de molécules à l'intérieur de la bonbonne est constant.
start fraction, P, start subscript, 1, end subscript, V, start subscript, 1, end subscript, divided by, T, start subscript, 1, end subscript, end fraction, equals, start fraction, P, start subscript, 2, end subscript, V, start subscript, 2, end subscript, divided by, T, start subscript, 2, end subscript, end fraction (on utilise la forme proportionnelle de la loi des gaz parfaits)
start fraction, P, start subscript, 1, end subscript, V, divided by, T, start subscript, 1, end subscript, end fraction, equals, start fraction, P, start subscript, 2, end subscript, V, divided by, T, start subscript, 2, end subscript, end fraction (Le volume est le même avant et après car la bonbonne est scellée et rigide)
start fraction, P, start subscript, 1, end subscript, divided by, T, start subscript, 1, end subscript, end fraction, equals, start fraction, P, start subscript, 2, end subscript, divided by, T, start subscript, 2, end subscript, end fraction (on divise chaque membre par V)
P, start subscript, 2, end subscript, equals, T, start subscript, 2, end subscript, start fraction, P, start subscript, 1, end subscript, divided by, T, start subscript, 1, end subscript, end fraction (on exprime la pression P, start subscript, 2, end subscript)
P, start subscript, 2, end subscript, equals, 255, start text, space, K, end text, ×, start fraction, 1, start text, space, a, t, m, end text, divided by, 293, start text, space, K, end text, end fraction (on remplace les températures et la pression par leur valeur numérique)
P, start subscript, 2, end subscript, equals, 0, comma, 87, start text, space, a, t, m, end text (on fait le calcul et on précise l'unité)
On remarque que la pression initiale étant donnée en start text, a, t, m, o, s, p, h, end textstart text, e, with, \`, on top, end textstart text, r, e, s, end text, le résultat obtenu est lui aussi en start text, a, t, m, o, s, p, h, end textstart text, e, with, \`, on top, end textstart text, r, e, s, end text. Pour obtenir un résultat en start text, p, a, s, c, a, l, s, end text, on peut soit convertir la pression initiale en start text, p, a, s, c, a, l, s, end text puis faire le calcul, soit simplement convertir le résultat en start text, p, a, s, c, a, l, s, end text de la manière suivante :
P, start subscript, 2, end subscript, equals, 0, comma, 87, start text, space, a, t, m, end text, times, left parenthesis, start fraction, 1, comma, 013, times, 10, start superscript, 5, end superscript, start text, space, P, a, end text, divided by, 1, start text, space, a, t, m, end text, end fraction, right parenthesis, equals, 88, start text, space, end text, 200, start text, space, P, a, end text (on convertit les atmosphères en pascals)

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