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Physique

Cours : Physique > Chapitre 10

Leçon 1: Température, théorie cinétique des gaz et loi des gaz parfaits

Qu'est-ce que la loi des gaz parfaits ?

Pour apprendre comment la pression, le volume, la température et le nombre de moles d'un gaz sont reliés.

Qu'est-ce qu'un gaz parfait ?

Les gaz, c'est compliqué ! Ils sont composés de milliards de molécules relativement énergétiques qui peuvent entrer en collision et interagir entre elles. Comme il est très difficile de décrire un gaz réel, on utilise le concept de gaz parfait, ou idéal, comme approximation permettant de modéliser et prédire le comportement d'un gaz réel. Le terme de gaz parfait se rapporte à un gaz hypothétique qui serait composé de molécules soumises aux règles suivantes :

Les molécules d'un gaz parfait ne s'attirent pas et ne se repoussent pas mutuellement. Les seules interactions possibles entre les molécules de gaz parfait sont les chocs élastiques avec d'autres molécules ou avec la paroi du récipient contenant le gaz.
[Qu'est-ce qu'un choc élastique ?]
Les molécules de gaz parfait en elles-mêmes n'occupent aucun volume. La gaz lui-même occupe un certain volume, puisque les molécules se répandent dans une vaste région de l'espace, mais les molécules du gaz parfait sont considérées comme des particules ponctuelles, qui n'occupent aucun volume dans l'espace.

Bien entendu, le concept de gaz parfait n'existe pas dans le monde réel, mais c'est une excellente approximation dans la plupart des cas. En fait, dans des conditions normales de température et de pression, la majeure partie des gaz usuels ont quasiment les mêmes propriétés qu'un gaz parfait.

Si la pression d'un gaz est trop élevée (c.à d. des centaines de fois plus élevée que la pression atmosphérique), ou que sa température est trop basse (c.à d. vers

- 200 °C

), ses propriétés peuvent s'éloigner significativement de celles d'un gaz parfait. Pour en savoir plus sur les gaz "non-parfaits" (ou gaz réels), se référer à cet article.

Qu'est-ce que la forme molaire de la loi des gaz parfaits ?

La pression

P

, le volume

V

et la température

T

d'un gaz parfait sont liés par une formule simple appelée loi des gaz parfaits. La simplicité de cette formule fait qu'on considère un gaz comme parfait dans tous les cas où il est possible de le faire.

P V = n R T

Où

P

est la pression du gaz,

V

le volume occupé par le gaz,

T

sa température,

R

est la constante des gaz parfaits, et

n

est la quantité de matière (en moles) du gaz.

[Qu'est-ce qu'une mole ?]

Une des principales difficultés dans l'utilisation de cette formule est de savoir quelles unités utiliser. Si on utilise la constante des gaz parfaits

R = 8, 31 \frac{J}{K \cdot m o l}

, alors il faut exprimer la pression

P

pascals (P a)

, le volume

V

m^{3}

, et la température

T

kelvin (K)

Si, en revanche, on utilise la constante des gaz parfaits sous la forme

R = 0,082 \frac{L \cdot a t m}{K \cdot m o l}

, alors il faut exprimer la pression

P

en unités d'

atmosph

è

res (a t m)

, le volume

V

litres (L)

, et la température

T

kelvin (K)

Pour s'y retrouver, on peut utiliser le tableau de conversion ci-dessous.

**Unités à utiliser dans $P V = n R T$ ‍**
$R = 8, 31 \frac{J}{K \cdot m o l}$ ‍	$R = 0,082 \frac{L \cdot a t m}{K \cdot m o l}$ ‍
Pression en $pascals P a$ ‍	Pression en $atmosph$ ‍ $è$ ‍ $res (a t m)$ ‍
Volume en $m^{3}$ ‍	Volume en $litres L$ ‍
Température en $kelvin K$ ‍	Température en $kelvin K$ ‍

[Comment faire les conversions entre toutes ces unités ?]

Qu'est-ce que la forme moléculaire de la loi des gaz parfaits ?

Lorsqu'on préfère utiliser

N le nombre de mol

é

cules

plutôt que

n le nombre de moles

, on écrit la loi des gaz parfaits de la manière suivante :

P V = N k_{B} T

Où

P

est la pression du gaz,

V

le volume occupé par le gaz,

T

sa température,

N

le nombre de molécules contenues dans le gaz et

k_{B}

la constante de Boltzman,

k_{B} = 1, 38 \times 10^{- 23} \frac{J}{K}

Dans la forme moléculaire de la loi, qui contient la constante de Boltzmann, il faut exprimer la pression

P

pascals Pa

, le volume

V

m^{3}

et la température

T

kelvin K

. Ceci est résumé dans le tableau ci-dessous.

**Unités à utiliser pour $P V = N k_{B} T$ ‍**
$k_{B} = 1, 38 \times 10^{- 23} \frac{J}{K}$ ‍
Pression en $pascals P a$ ‍
Volume en $m^{3}$ ‍
Température en $kelvin K$ ‍

Qu'est-ce que la forme proportionnelle de la loi des gaz parfaits ?

Il existe une autre manière particulièrement utile d'écrire la loi des gaz parfaits. Si le nombre de moles

n

(ou de molécules

N

) du gaz ne change pas, alors les quantités

n R

N k_{B}

sont constantes pour un gaz donné. C'est souvent le cas étant donné que le gaz considéré est en général contenu dans un récipient fermé. Donc en modifiant la formule des gaz parfaits pour mettre la pression, le volume et la température du même coté, on obtient :

n R = N k_{B} = \frac{P V}{T} = constante

Ce qui montre que, à partir du moment où le nombre de moles (de molécules) d'un gaz donné reste le même, la quantité

\frac{P V}{T}

est constante pour ce gaz quelles que soient les transformations auxquelles il est soumis. En d'autres termes, si le gaz part d'un état

1

(avec la pression

P_{1}

, le volume

V_{1}

, la température

T_{1}

), pour arriver dans un état

2

(avec la pression

P_{2}

, le volume

V_{2}

, la température

T_{2}

), alors quel que soit le processus qui l'a fait passer de l'état

1

à l'état

2

, la relation suivante est toujours vraie :

\frac{P_{1} V_{1}}{T_{1}} = \frac{P_{2} V_{2}}{T_{2}}

Cette formule est particulièrement utile pour décrire un gaz parfait passant d'un état à un autre. Comme elle ne contient pas la constante des gaz parfaits, on peut utiliser les unités que l'on veut, à condition bien sûr d'utiliser les mêmes unités de chaque coté du signe égal (c.à d. que si on exprime

V_{1}

m^{3}

, il faut également exprimer

V_{2}

m^{3}

). [Les températures, toutefois, doivent être exprimées en kelvins]

Exemples d'exercices faisant intervenir la loi des gaz parfaits

Exemple 1 : Combien y a-t-il de moles d'air dans un ballon de basket ?

L'air contenu dans un ballon de basket réglementaire a une pression de

1, 54 atm

et le ballon a un rayon de

0,119 m

. On admet que l'air à l'intérieur du ballon est à une température de

25 °C

(c.à d. à température ambiante).

a. Déterminer le nombre de moles d'air à l'intérieur du ballon de basket.

b. Déterminer le nombre de molécules d'air à l'intérieur du ballon de basket.

On se sert de la loi des gaz parfaits. Pour trouver le nombre de moles on utilise la forme molaire de la formule.

P V = n R T

(on utilise la forme molaire de la loi des gaz parfaits)

n = \frac{P V}{R T}

(on exprime le nombre de moles)

n = \frac{P V}{(8, 31 \frac{J}{K \cdot m o l}) T}

(on choisit la constante des gaz parfaits que l'on veut utiliser)

Comme on utilise ici la constante des gaz parfaits sous cette forme, il faut s'assurer d'utiliser les unités correspondantes pour la pression (

pascals

), le volume (

m^{3}

), ainsi que la température (

kelvin

[Aurait-on pu utiliser une autre constante des gaz parfaits ?]

On convertit la pression en pascals :

1, 54 atm \times (\frac{1,013 \times 10^{5} Pa}{1 atm}) = 156 000 Pa

Et on utilise la formule du volume de la sphère

\frac{4}{3} π r^{3}

pour trouver le volume d'air contenu dans le ballon de basket.

V = \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{4}{3} π (0,119 m)^{3} = 0,007 06 m^{3}

Pour obtenir la température en Kelvins, on utilise la formule suivante :

T_{K} = T_{C} + 273, 15

T = 25 + 273, 15 = 298, 15 K

Maintenant on remplace les grandeurs dans l'équation molaire des gaz parfaits par leur valeur numérique :

n = \frac{156 000 Pa \times 0,007 06 m^{3}}{8, 31 \frac{J}{K \cdot m o l} \times 298, 15 K}

(on utilise les unités associées à cette constante des gaz parfaits)

n = 0,445 moles

Pour déterminer le nombre

N

de molécules d'air contenues dans le ballon de basket, on convertit les

moles

mol

é

cules

N = 0,445 moles \times \frac{6, 02 \times 10^{23} molécules}{1 mole} = 2, 68 \times 10^{23} mol

é

cules

On aurait aussi pu résoudre ce problème en utilisant la forme moléculaire de la loi des gaz parfaits pour déterminer le nombre de molécules contenues dans le ballon de basket, et ensuite convertir ce nombre de molécules en nombre de moles.

Exemple 2 : Refroidissement d'un gaz

Un gaz contenu dans une bonbonne scellée se trouve à température ambiante

T = 293 K

et sous pression atmosphérique. La bonbonne est ensuite placée dans un bac réfrigéré et sa température descend à

T = 255 K

Déterminer la pression du gaz une fois qu'il a atteint la température de $255 K .$ ‍

Comme on connaît la température et la pression dans un état initial donné, et que l'on cherche à déterminer la pression à l'état final, on utilise la forme proportionnelle de la loi des gaz parfaits. On peut le faire car le nombre de molécules à l'intérieur de la bonbonne est constant.

\frac{P_{1} V_{1}}{T_{1}} = \frac{P_{2} V_{2}}{T_{2}}

(on utilise la forme proportionnelle de la loi des gaz parfaits)

\frac{P_{1} V}{T_{1}} = \frac{P_{2} V}{T_{2}}

(Le volume est le même avant et après car la bonbonne est scellée et rigide)

\frac{P_{1}}{T_{1}} = \frac{P_{2}}{T_{2}}

(on divise chaque membre par

V

)

P_{2} = T_{2} \frac{P_{1}}{T_{1}}

(on exprime la pression

P_{2}

)

P_{2} = 255 K \times \frac{1 atm}{293 K}

(on remplace les températures et la pression par leur valeur numérique)

P_{2} = 0, 87 atm

(on fait le calcul et on précise l'unité)

On remarque que la pression initiale étant donnée en

atmosph

è

res

, le résultat obtenu est lui aussi en

atmosph

è

res

. Pour obtenir un résultat en

pascals

, on peut soit convertir la pression initiale en

pascals

puis faire le calcul, soit simplement convertir le résultat en

pascals

de la manière suivante :

P_{2} = 0, 87 atm \times (\frac{1,013 \times 10^{5} Pa}{1 atm}) = 88 200 Pa

(on convertit les atmosphères en pascals)

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😊
Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de 😊 «Comment calculer les frac ... »
Comment calculer les fractions molaires
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