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Qu'est-ce que la distribution des vitesses de Maxwell ?

Dans un gaz, il y a un grand nombre de molécules qui se déplacent à des vitesses très différentes. Cette leçon pose le cadre permettant d'aborder ce problème.

Qu'est-ce que la loi de distribution des vitesses de Maxwell ?

Les molécules d'air dans une pièce ne se déplacent pas toutes à la même vitesse, même si l'air est uniformément à la même température. Certaines molécules d'air vont bouger extrêmement rapidement, tandis que d'autres ne vont quasiment pas bouger. La vitesse des molécules dans un gaz n'est donc pas uniforme, et chaque molécule possède un grand éventail de vitesses possibles.
Comme il est impossible de mesurer la vitesse d'une molécule en particulier, on s'intéresse plutôt à "la distribution des vitesses dans un gaz en fonction de la température". Cette question fut résolue par James Clerk Maxwell vers la fin du XIXstart superscript, start text, e, end text, end superscript siècle, dans la loi de distribution des vitesses de Maxwell. Cette loi, qui représente la répartition des vitesses des molécules dans un gaz parfait, est illustrée par la courbe ci-dessous.
L'axe des abscisses pour cette représentation de la distribution des vitesses représente les vitesses, et l'axe des ordonnées le nombre de molécules. Cette courbe représente donc le nombre de molécules ayant une vitesse donnée pour chaque vitesse possible.
Remarque : la courbe n'est pas symétrique. Il y a une plus longue "queue" du coté des vitesses élevée, vers la droite. La courbe se prolonge vers des vitesses très élevée, mais elle commence toujours à zéro, étant donné qu'une molécule ne peut pas avoir de vitesse négative.
L'équation mathématique de la distribution des vitesses de Maxwell est assez compliquée et il n'est pas vraiment utile de la détailler dans un cours d'introduction comme celui-ci.

Qu'est-ce que la vitesse quadratique moyenne ?

Contrairement à ce qu'on pourrait penser, la vitesse correspondant au pic de la distribution des vitesses de Maxwell n'est pas la vitesse moyenne d'une molécule dans le gaz. Cette vitesse est la start color #e84d39, start text, v, i, t, e, s, s, e, space, l, a, space, p, l, u, s, space, p, r, o, b, a, b, l, e, space, end text, v, start subscript, p, end subscript, end color #e84d39, en effet, la courbe montre bien qu'un plus grand nombre de molécules est susceptible d'avoir cette vitesse plutôt que n'importe quelle autre vitesse.
La start color #11accd, start text, v, i, t, e, s, s, e, space, m, o, y, e, n, n, e, space, end text, v, start subscript, m, end subscript, end color #11accd des molécules dans le gaz est en fait située un peu à droite du pic, en raison de la plus grande "queue" à droite de la courbe, qui fait qu'un plus grand nombre de molécules se trouvent à droite du pic.
Une autre quantité souvent utilisée est la start color #1fab54, start text, v, i, t, e, s, s, e, space, q, u, a, d, r, a, t, i, q, u, e, space, m, o, y, e, n, n, e, space, end text, v, start subscript, q, end subscript, end color #1fab54. La vitesse quadratique moyenne est la racine carrée de la moyenne des carrés des vitesses. Elle s'écrit de la manière suivante :
v, start subscript, q, end subscript, equals, square root of, start fraction, 1, divided by, N, end fraction, left parenthesis, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, v, start subscript, 3, end subscript, squared, plus, point, point, point, plus, v, start subscript, N, end subscript, squared, right parenthesis, end square root
Quel est l'avantage de calculer une racine carrée de somme de carrés alors qu'on pourrait utiliser la moyenne des vitesses ? Une des raisons pour laquelle on utilise la moyenne quadratique est que les vitesses ne sont pas toutes positives. En effet, une vitesse est un vecteur, elle a donc une norme, une direction et un sens dans l'espace. Comme il y a autant de molécules qui se déplacent dans un sens (avec une vitesse positive), que de molécules qui se déplacent dans le sens opposé (avec une vitesse négative), la moyenne algébrique des vitesses de toutes les molécules de gaz dans un récipient fermé est égale à zéro. En utilisant une moyenne quadratique, on fait une moyenne de carrés, qui sont donc toujours positifs. La moyenne quadratique obtenue n'est ainsi jamais nulle.
Ces trois quantités (start color #e84d39, v, start subscript, p, end subscript, end color #e84d39, start color #11accd, v, start subscript, m, end subscript, end color #11accd, et start color #1fab54, v, start subscript, q, end subscript, end color #1fab54) ont des valeurs relativement élevées, même pour un gaz à température ambiante. Par exemple, pour le Néon à température ambiante (293, start text, space, K, end text), la vitesse la plus probable, la vitesse moyenne et la vitesse quadratique moyenne sont respectivement de :
start color #e84d39, v, start subscript, p, end subscript, end color #e84d39, equals, 491, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction (ou 1768, start fraction, start text, k, m, end text, divided by, start text, h, end text, end fraction, right parenthesis
start color #11accd, v, start subscript, m, end subscript, end color #11accd, equals, 554, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction (ou 1995, start fraction, start text, k, m, end text, divided by, start text, h, end text, end fraction, right parenthesis
start color #1fab54, v, start subscript, q, end subscript, end color #1fab54, equals, 602, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction (ou 2167, start fraction, start text, k, m, end text, divided by, start text, h, end text, end fraction, right parenthesis

Que représente l'aire sous la distribution des vitesses de Maxwell ?

L'axe des ordonnées de la distribution des vitesses de Maxwell donne le nombre de molécules par unité de vitesse. L'aire totale sous la courbe est donc égale au nombre total de molécules dans le gaz.
Lorsque le gaz est chauffé jusqu'à une température plus élevée, le pic de la courbe se décale vers la droite (car la vitesse moléculaire moyenne va augmenter). La forme de la courbe restant la même malgré ce décalage, le maximum de la courbe va avoir tendance à diminuer afin de maintenir l'aire sous la courbe constante. De la même manière, lorsque le gaz est refroidi à une température plus basse, le pic de la courbe se décale vers la gauche ; le maximum est alors plus élevé, là encore pour garder la même aire sous la courbe. Ce phénomène est illustré par la figure ci-dessous qui représente un échantillon de gaz (avec un nombre de molécules constant) à différentes températures.
À mesure que le gaz refroidit, la courbe devient plus haute et plus étroite. De la même manière, quand le gaz se réchauffe la courbe devient de plus en plus large et moins haute. Cela vient du fait que l'aire en dessous de la courbe (c.à d. le nombre total de molécules) doit rester constante.
Si de nouvelles molécules sont introduites dans l'échantillon, l'aire totale en dessous de la courbe augmente. Et inversement, si des molécules s'échappent de l'échantillon, l'aire totale sous la courbe diminue.

Exemples d'exercices faisant intervenir la loi de distribution des vitesses de Maxwell

Exemple 1 : Refroidissement d'un gaz

Un récipient fermé contient du diazote gazeux. Le récipient est placé dans un bac réfrigéré et sa température descend au niveau de celle de la glace.
Que se passe-t-il alors ? (Sélectionner les deux affirmations justes)
Choisissez toutes les réponses possibles :
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Exemple 2 : Transformations subies par un gaz

La distribution des vitesses d'un gaz est donnée par la figure suivante :
Quelle suite de transformations, parmi les choix proposés, permet à la distribution des vitesses de ce gaz de passer de la courbe 1 à la courbe 2 sur la figure ci-dessous ?
Choisissez une seule réponse :
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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur s1291
    Thank you very much, it's a great explanation.
    (4 votes)
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  • starky seedling style l'avatar de l’utilisateur okabi rintaro
    dans l'expression de Ec pourquoi on utilise Vp et on n'utilise pas Vm ou Vp
    (2 votes)
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