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Quelles sont les composantes du vecteur vitesse ?

Pour apprendre à projeter le vecteur vitesse sur deux axes.

Pourquoi décompose-t-on un vecteur en différentes composantes ?

Les mouvements dans le plan, en deux dimensions, sont plus complexes que les mouvements à une dimension puisque les vitesses peuvent être orientées à l'oblique. Par exemple, une balle peut se déplacer à la fois horizontalement et verticalement au même moment avec une vitesse v. On décompose alors le vecteur vitesse associé à la balle sur deux directions selon une composante horizontale, vx, et selon une composante verticale, vy, pour simplifier les calculs.
Il est difficile de résoudre ce problème en essayant d'intégrer les deux composantes, horizontale et verticale, dans une même équation. Il vaut mieux adopter une stratégie "diviser pour mieux régner".
Le fait de décomposer le vecteur vitesse en deux composantes vx et vy permet de traiter chaque direction séparément. On transpose un problème difficile à deux dimensions en deux problèmes simples à une dimension. Décomposer un vecteur en ses composantes de façon à simplifier un exercice est utilisé très fréquemment en physique, non seulement pour la vitesse, mais aussi pour les forces, la quantité de mouvement, ou encore les champs électriques. En fait, on utilise cette méthode tellement souvent qu'il est indispensable de la maîtriser.

Comment décomposer un vecteur en ses composantes ?

Avant de se lancer dans la décomposition de vecteurs, on rappelle les formules de trigonométrie qui relient les longueurs des côtés d'un triangle rectangle — côté adjacent, côté opposé et hypoténuse — à un des angles du triangle, θ, comme montré ci-dessous.
sinθ=côté opposéhypoténuse
cosθ=côté adjacenthypoténuse
tanθ=côté opposécôté adjacent
Lorsqu'on décompose un vecteur quelconque en deux composantes perpendiculaires, on forme un triangle rectangle comme le montre la figure ci-dessous. On peut donc appliquer les formules trigonométriques vues plus haut en utilisant la norme v du vecteur vitesse et ses composantes vy, et vx. Ici, vx correspond au côté adjacent, vy correspond au côté opposé, et v correspond à l'hypoténuse.
sinθ=vyv
cosθ=vxv
tanθ=vyvx
Dans ces formules, v représente la norme du vecteur vitesse qui ne peut pas être négative. À l'inverse, ses composantes vx et vy peuvent être négatives si elles sont orientées dans le sens compté négativement. Par convention, on considère comme négatifs le sens vers la gauche sur l'horizontale (associé à la coordonnée x) et le sens vers le bas sur la verticale (associé à la coordonnée y).

Comment déterminer la norme et l'angle d'inclinaison du vecteur résultant ?

Dans le paragraphe précédent, on a vu comment obtenir les composantes verticale et horizontale en partant de la norme du vecteur et de son angle d'inclinaison. Comment faire si l'on part des composantes du vecteur vitesse vx et vy ? Comment utiliser ces composantes pour calculer la norme v du vecteur vitesse et son angle d'inclinaison θ par rapport à l'horizontale?
Il n'est pas très difficile de calculer la norme du vecteur résultant puisque pour n'importe quel triangle rectangle, les longueurs des côtés et de l'hypoténuse sont reliées par le théorème de Pythagore.
v2=vx2+vy2
En prenant la racine carrée, on obtient la norme du vecteur vitesse en fonction de ses composantes.
v=vx2+vy2

Connaissant les composantes, on peut aussi calculer l'angle d'inclinaison du vecteur résultant en utilisant tan θ.
tanθ=vyvx
En prenant l'arc tangente, on obtient l'angle du vecteur vitesse résultant en fonction de ses composantes.
θ=tan1(vyvx)

Quelles sont les difficultés liées aux composantes d'un vecteur ?

Lorsqu'on utilise la formule θ=tan1(vyvx), avec le côté opposé au numérateur, vy, et le côté adjacent au dénominateur, vx, cela suppose qu'on considère l'angle formé par l'horizontale et l'hypoténuse. Cela peut être difficile de positionner cet angle, voici donc deux astuces :
En orientant les axes positivement vers la droite et vers le haut, la composante horizontale vx est positive si le vecteur est orienté vers la droite, et elle est négative si le vecteur est orienté vers la gauche.
De même, la composante verticale vy est positive si le vecteur est orienté vers le haut, et elle est négative si le vecteur est orienté vers le bas.
Par exemple, si les composantes d'un vecteur vitesse son vx=12 m/s et vy=10 m/s, il est orienté vers la gauche puisque vx est négative et vers le haut puisque vy est positive.
Application : Les composantes du vecteur vitesse d'un avion en papier sont vx=7 m/s et vy=5 m/s. Dans quelle direction vole l'avion sachant que les axes sont orientés positivement dans les sens vers la droite et vers le haut ?
Choisissez une seule réponse :

Exercices d'application sur les composantes du vecteur vitesse

Exemple 1 : Joue-la comme Beckham

Un ballon de foot est frappé vers le haut et vers la droite avec un angle de 30 par rapport à l'horizontale et une vitesse de 24,3 m/s comme montré ci-dessous.
Quelle est la composante verticale du vecteur vitesse à l'instant considéré ?
Quelle est la composante horizontale du vecteur vitesse à l'instant considéré ?
On utilise la formule sinθ=côté opposéhypoténuse=vyv pour calculer la composante verticale du vecteur vitesse. L'hypoténuse correspond à la norme v du vecteur vitesse, 24,3 m/s, et le côté opposé à l'angle de 30 est vy.
sinθ=vyv(On utilise la définition du sinus.)
vy=vsinθ(On exprime la composante verticale.)
vy=(24,3 m/s)×sin(30)(On remplace les grandeurs par leurs valeurs numériques.)
vy=12,2 m/s(On fait l’application numérique et on précise les unités.)
On utilise la formule cosθ=côté adjacenthypoténuse=vxv pour calculer la composante horizontale du vecteur vitesse.
cosθ=vxv(On utilise la définition de cosinus.)
vx=vcosθ(On exprime la composante horizontale.)
vx=(24,3 m/s)×cos(30)(On remplace les grandeurs par leurs valeurs numériques.)
vx=21,0 m/s(On fait l’application numérique et on précise les unités.)

Exemple 2 : La mouette en colère

Une mouette en colère survole Seattle avec un vecteur vitesse de composante horizontale vx=14,6 m/s et de composante verticale vy=8,62 m/s.
Quelle est la norme du vecteur vitesse de la mouette ?
Quel est l'angle d'inclinaison par rapport à l'horizontale du vecteur vitesse ?
On oriente positivement les axes vers la droite et vers le haut, et on mesure les angles dans le sens inverse des aiguilles d'une montre à partir de l'axe des abscisses positives.
On utilise le théorème de Pythagore pour calculer la norme du vecteur vitesse résultant.
v2=vx2+vy2(Théorème de Pythagore.)
v=vx2+vy2(On prend la racine carré des deux côtés du signe égal.)
v=(14,6 m/s)2+(8,62 m/s)2(On remplace les grandeurs par leurs valeurs numériques.)
v=17,0 m/s(On fait l’application numérique et on précise les unités.)
On utilise la définition de la tangente pour déterminer l'angle d'inclinaison, mais on aurait aussi pu utiliser le sinus ou le cosinus puisque v est connu.
tanθ=vyvx(On utilise la définition de la tangente.)
θ=tan1(vyvx)(On prend l’arc tangente des deux côtés du signe égal.)
θ=tan1(8,62 m/s14,6 m/s)(On remplace les grandeurs par leurs valeurs numériques.)
θ=30,6(On fait l’application numérique et on précise les unités.)
Puisque la composante verticale est négative vy=8,62 m/s, on sait que le vecteur vitesse est orienté vers le bas. De même, puisque la composante horizontale est positive vx=14,6 m/s, on sait que le vecteur vitesse est orienté vers la droite. On représente donc le vecteur dans le quatrième quadrant.
La mouette vole donc à la vitesse de 17,0 m/s et avec un angle incliné de 30,6 sous l'horizontale.

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