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Qu'est-ce que la poussée d'Archimède ?

Pourquoi les objets flottent-ils ?

Qu'est-ce que la poussée d'Archimède ?

Quiconque a déjà tenté d'atteindre en nageant le fond d'une piscine pour y récupérer ses lunettes s'est rendu compte à quel point c'était difficile. En effet, une force tend à s'opposer au corps qui descend vers le fond et à pousser ce corps vers la surface. Cette force de poussée verticale qui s'applique à tout objet immergé dans un fluide s'appelle la poussée d'Archimède.
Pourquoi donc un fluide exercerait-il une telle force sur un objet immergé ? Cette force est due à la différence de pression entre la base et le sommet de l'objet immergé. Pour illustrer, on reprend l'exemple de la boîte de cassoulet immergée dans une piscine.
Comme la pression au sein du fluide (P, equals, rho, g, h) augmente avec la profondeur, la force exercée par le fluide sur le sommet de la boîte de conserve, orientée vers le bas, est plus faible que celle qui est exercée sur la base du cylindre et orientée vers le haut.
Voilà essentiellement en quoi consiste la poussée d'Archimède. Elle vient simplement du fait que la force de pression exercée sur la base d'un objet (c.-à-d. la partie la plus immergée) est toujours plus grande que celle exercée sur son sommet (la partie la moins immergée). Autrement dit, la force de pression de l'eau qui pousse l'objet vers le haut est toujours plus grande que celle qui le pousse vers le bas.
Maintenant que l'on sait qu'un corps immergé dans un fluide est soumis systématiquement à la poussée d'Archimède, on va chercher à déterminer, dans les paragraphes suivants, l'expression de cette force.
On note la force exercée sur la base de la boîte de conserve (et qui la pousse vers le haut) F, start subscript, m, o, n, t, a, n, t, e, end subscript, et la force qui s'exerce sur le sommet de la boîte (et qui la pousse vers le bas) F, start subscript, d, e, s, c, e, n, d, a, n, t, e, end subscript. On exprime la force totale exercée sur la boîte de conserve (qu'on appelle poussée d'Archimède P, start subscript, A, end subscript) simplement en prenant la différence entre les valeurs de la force montante F, start subscript, m, o, n, t, a, n, t, e, end subscript et de la force descendante F, start subscript, d, e, s, c, e, n, d, a, n, t, e, end subscript.
P, start subscript, A, end subscript, equals, F, start subscript, m, o, n, t, a, n, t, e, end subscript, minus, F, start subscript, d, e, s, c, e, n, d, a, n, t, e, end subscript
Grâce à la définition de la pression P, equals, start fraction, F, divided by, S, end fraction, on exprime la force sous la forme F, equals, P, S . La force exercée sur la base de la boîte de conserve s'écrit donc F, start subscript, m, o, n, t, a, n, t, e, end subscript, equals, P, start subscript, b, a, s, e, end subscript, S et la force exercée sur le sommet F, start subscript, d, e, s, c, e, n, d, a, n, t, e, end subscript, equals, P, start subscript, s, o, m, m, e, t, end subscript, S . En substituant les forces par ces expressions dans l'équation de P, start subscript, A, end subscript, on obtient :
P, start subscript, A, end subscript, equals, P, start subscript, b, a, s, e, end subscript, S, minus, P, start subscript, s, o, m, m, e, t, end subscript, S
A partir de la formule de la pression hydrostatique P, equals, rho, g, h, on exprime les pressions au niveau de la base et du sommet de la boîte. La pression au niveau de la base est donc P, start subscript, b, a, s, e, end subscript, equals, rho, g, h, start subscript, b, a, s, e, end subscript, et la pression au niveau du sommet est P, start subscript, s, o, m, m, e, t, end subscript, equals, rho, g, h, start subscript, s, o, m, m, e, t, end subscript . En remplaçant dans l'équation précédente, on obtient :
P, start subscript, A, end subscript, equals, left parenthesis, rho, g, h, start subscript, b, a, s, e, end subscript, right parenthesis, S, minus, left parenthesis, rho, g, h, start subscript, s, o, m, m, e, t, end subscript, right parenthesis, S
On remarque que chaque terme de l'équation contient l'expression rho, g, S. On simplifie donc l'équation en mettant rho, g, S en facteur :
P, start subscript, A, end subscript, equals, rho, g, S, left parenthesis, h, start subscript, b, a, s, e, end subscript, minus, h, start subscript, s, o, m, m, e, t, end subscript, right parenthesis
Ce terme h, start subscript, b, a, s, e, end subscript, minus, h, start subscript, s, o, m, m, e, t, end subscript est très important car il est précisément égal à la hauteur totale de l'objet immergé. (voir figure ci-dessous)
On remplace donc dans l'équation le terme left parenthesis, h, start subscript, b, a, s, e, end subscript, minus, h, start subscript, s, o, m, m, e, t, end subscript, right parenthesis par la hauteur de l'objet, h, start subscript, b, o, ı, with, hat, on top, t, e, end subscript :
P, start subscript, A, end subscript, equals, rho, g, S, h, start subscript, b, o, ı, with, hat, on top, t, e, end subscript
Comme le produit de la surface d'un cercle S par une hauteur h correspond au volume d'un cylindre, on peut remplacer S, times, h, start subscript, b, o, ı, with, hat, on top, t, e, end subscript par un volume V. Comme il s'agit d'un cylindre, on serait tenté de penser que le volume dans cette équation correspond au volume de la boîte de conserve. Or, ce volume correspond également au volume d'eau déplacé par la boîte de conserve, c'est à dire au volume de l'eau qui se trouvait dans l'espace maintenant occupé par la boîte de conserve.
On remplace donc le terme S, ×, h par un volume V, mais ce volume correspond-il au volume de la boîte de cassoulet ou au volume de fluide déplacé ? Ce détail a son importance, car ces volumes sont différents si la boîte de conserve n'est pas entièrement immergée. La réponse est le volume de fluide déplacé, car c'est bien le volume de fluide déplacé qui détermine l'amplitude de la poussée d'Archimède. On le note donc V, start subscript, f, l, u, i, d, e, end subscript.
P, start subscript, A, end subscript, equals, rho, g, V, start subscript, f, l, u, i, d, e, end subscript
Voilà la forme finale de l'amplitude de la poussée d'Archimède qui s'exerce sur une boîte de conserve (ou sur tout autre objet) immergée entièrement ou partiellement dans un fluide. On remarque que la poussée d'Archimède ne dépend que de la masse volumique rho du fluide dans lequel l'objet est immergé, de l'accélération de la pesanteur g, et du volume de fluide déplacé par l'objet V, start subscript, f, l, u, i, d, e, end subscript.
Étonnamment, la valeur de la poussée d'Archimède ne dépend pas de la profondeur à laquelle l'objet sur lequel elle s'exerce est immergé. En d'autres termes, du moment que la boîte de cassoulet est complètement immergée, elle peut sombrer de plus en plus profondément, cela ne changera pas la valeur de la poussée d'Archimède à laquelle elle est soumise. Cela peut sembler étrange vu que la pression augmente avec la profondeur. Mais il faut garder à l'esprit que la pression qui s'exerce sur le sommet de la boîte et celle qui s'exerce sur sa base augmentent de la même manière, et donc leur différence reste constante.
Comment se fait-il que certains objets coulent au fond de l'eau, alors qu'ils sont aussi soumis à la poussée d'Archimède qui les poussent vers la surface ? Tout simplement parce que tous les objets sont non seulement soumis à la poussée d'Archimède, mais également à leur propre poids, et dans le cas des objets qui coulent, la valeur de leur poids est supérieure à celle de la poussée d'Archimède qu'ils subissent. Si leur poids était moins important que la poussée d'Archimède, ils flotteraient. On démontre que si la masse volumique moyenne d'un objet (quelque soit sa forme) est plus grande que celle du fluide dans lequel il est immergé, cet objet coule.

Qu'est-ce que le théorème d'Archimède ?

On écrit en général la formule de la poussée d'Archimède en fonction de g et V, start subscript, f, end subscript de la manière suivante :
P, start subscript, A, end subscript, equals, rho, start subscript, f, end subscript, ×, V, start subscript, f, end subscript, ×, g
On remarque que le terme rho, start subscript, f, end subscript, V, start subscript, f, end subscript est simplement le produit de la masse volumique du fluide par le volume de fluide déplacé. Or, d'après la définition de la masse volumique rho, equals, start fraction, m, divided by, V, end fraction, on a rho, V, equals, m. Donc le terme rho, start subscript, f, end subscript, V, start subscript, f, end subscript correspond à la masse du fluide déplacé. On peut donc remplacer dans la formule de la poussée d'Archimède le terme rho, start subscript, f, end subscript, V, start subscript, f, end subscript par m, start subscript, f, end subscript, la masse de fluide déplacé :
P, start subscript, A, end subscript, equals, m, start subscript, f, end subscript, g
On voit donc que la poussée d'Archimède est égale au produit de la masse de fluide déplacé par l'accélération de la pesanteur, ce qui est en fait le poids du fluide déplacé ! On peut donc réécrire la formule donnant la valeur de la poussée d'Archimède ainsi :
P, start subscript, A, end subscript, equals, P, start subscript, f, l, u, i, d, e, end subscript
Cette équation illustre le théorème d'Archimède dont l'énoncé est le suivant : Tout corps plongé dans un fluide subit une force verticale, dirigée vers le haut, et dont l'intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé ; cette force est appelée poussée d'Archimède. Pour connaître la valeur de la poussée d'Archimède subie par un objet, il suffit donc de calculer le poids du fluide que cet objet a déplacé.
Ce théorème a été mis au point par Archimède, un savant Grec de Syracuse au cours du IIIstart superscript, start text, e, end text, end superscript siècle av. J.-C., quand le roi Hiéron II de Syracuse lui demanda de vérifier que sa couronne était bien constituée d'or massif et non d'alliage d'or et d'argent. Réfléchissant au moyen de réaliser le test sur la couronne sans la détériorer, Archimède se serait rendu compte alors qu'il était au bain publique que les objets dans l'eau ne flottaient pas tous de la même manière. Après avoir posé les bases de son théorème, il compara le volume d'eau déplacé par la couronne à celui déplacé par une quantité d'or pur ayant un poids identique, pour se rendre compte que la couronne délaçait plus d'eau en s'immergeant ! Il en déduisit donc que la couronne était bien constituée d'argent, l'argent ayant une plus petite masse volumique que l'or, un plus grand volume d'argent était donc nécessaire pour obtenir la même masse que le tas d'or témoin.

Quelles sont les confusions liées à la poussée d'Archimède et au théorème d'Archimède ?

Il ne faut pas oublier que la masse volumique rho dans la formule de la poussée d'Archimède P, start subscript, A, end subscript, equals, rho, start subscript, f, end subscript, V, start subscript, f, end subscript, g fait référence à la masse volumique du fluide déplacé, et non à celle de l'objet immergé.
Il faut garder à l'esprit que le volume dans la formule de la poussée d'Archimède est celui du fluide déplacé (en d'autres termes le volume de la partie immergée de l'objet), et que ce volume n'est pas nécessairement celui de l'objet entier.
On a tendance à penser que l'intensité de la poussée d'Archimède augmente à mesure que l'objet sur lequel elle est appliquée coule plus profondément dans le fluide. Mais la poussée d'Archimède ne dépend pas de la profondeur. Elle ne dépend que du volume de fluide déplacé V, start subscript, f, end subscript, de la masse volumique du fluide rho, start subscript, f, end subscript, et de l'accélération de la pesanteur g.
Beaucoup de gens n'associent Archimède qu'à un homme sortant de son bain en criant "Eurêka !" ("J'ai trouvé !" en Grec). La légende veut en effet qu'il soit sorti des bains publiques tout nu après avoir réalisé comment résoudre le problème du roi Hiéron. Bien que cette légende soit très amusante, il est tout aussi important de se souvenir de l'énoncé du théorème : "Tout corps plongé dans un fluide subit une force verticale, dirigée vers le haut, et dont l'intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé."

Exemples d'exercices faisant intervenir la poussée d'Archimède

Exemple 1 : (facile)

Un nain de jardin de 0, comma, 650, start text, space, k, g, end text rentre du boulot (heigh ho!) de manière un peu trop joyeuse et tombe dans un lac d'eau douce de 35, comma, 0, start text, space, m, end text de profondeur. Le nain de jardin est un objet solide et fermé (sans trous) ayant un volume total de 1, comma, 44, times, 10, start superscript, minus, 3, end superscript, start text, space, m, end text, cubed . La masse volumique de l'eau douce du lac est de 1000, start fraction, start text, k, g, end text, divided by, start text, m, end text, cubed, end fraction .
Quelle est la valeur de la poussée d'Archimède exercée par l'eau sur le nain ?
P, start subscript, A, end subscript, equals, rho, start subscript, e, a, u, end subscript, V, g (On utilise la formule de la poussée d'Archimède)
P, start subscript, A, end subscript, equals, left parenthesis, 1000, start fraction, start text, k, g, end text, divided by, start text, m, end text, cubed, end fraction, right parenthesis, ×, left parenthesis, 1, comma, 44, times, 10, start superscript, minus, 3, end superscript, start text, space, m, end text, cubed, right parenthesis, ×, left parenthesis, 9, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis (On remplace les différents termes par leurs valeurs numériques)
P, start subscript, A, end subscript, equals, 14, comma, 1, start text, space, N, end text (On fait l'application numérique en précisant l'unité.)

Exemple 2 : (un peu plus dur)

Un cube lesté, qui a sûrement beaucoup voyagé, possède une masse de 2, comma, 33, start text, k, g, end text .
Quelle doit être la longueur minimale L de l'arrête du cube pour que ce dernier puisse flotter dans l'eau de mer, de masse volumique 1025, start fraction, start text, k, g, end text, divided by, start text, m, end text, cubed, end fraction ?
Pour que le cube puisse flotter, la poussée d'Archimède à laquelle il est soumis doit être de même intensité que son poids P, start subscript, c, u, b, e, end subscript. Il faut donc :
P, start subscript, c, u, b, e, end subscript, equals, P, start subscript, A, end subscript (Le poids du cube est égal à l'intensité de la poussée d'Archimède)
m, g, equals, rho, start subscript, e, a, u, end subscript, V, g (On développe les expressions du poids et de la poussée d'Archimède)
m, g, equals, rho, start subscript, e, a, u, end subscript, L, cubed, g (On insère la formule du volume du cube V, equals, L, cubed)
L, cubed, equals, start fraction, m, g, divided by, rho, start subscript, e, a, u, end subscript, g, end fraction (On exprime L, cubed)
L, equals, left parenthesis, start fraction, m, divided by, rho, start subscript, e, a, u, end subscript, end fraction, right parenthesis, start superscript, 1, slash, 3, end superscript (On simplifie par g et on prend la racine cubique de chaque coté)
L, equals, left parenthesis, start fraction, 2, comma, 33, start text, space, k, g, end text, divided by, 1025, start fraction, start text, k, g, end text, divided by, start text, m, end text, cubed, end fraction, end fraction, right parenthesis, start superscript, 1, slash, 3, end superscript (On remplace les grandeurs par leurs valeurs numériques)
L, equals, 0, comma, 131, start text, space, m, end text (On fait l'application numérique et on précise l'unité)

Exemple 3 : (encore plus dur)

Un immense ballon sphérique gonflé à l'hélium représentant une vache, est maintenu au sol à l'aide d'une corde. La masse totale du ballon et du gaz qui est à l'intérieur est de 9, comma, 20, start text, space, k, g, end text . Le diamètre du ballon est de 3, comma, 50, start text, space, m, end text . La masse volumique de l'air est de 1, comma, 23, start fraction, start text, k, g, end text, divided by, start text, m, end text, cubed, end fraction .
Quelle est la valeur de la force de tension exercée par la corde ?
Cet exercice est un peu plus compliqué, on va donc commencer par dessiner un diagramme de forces pour mieux visualiser les forces s'exerçant sur le ballon. La figure suivante représente le système étudié ainsi que les variables connues. (On notera que dans ce cas le fluide qui est déplacé est l'air.)
Comme le ballon n'a aucune accélération, le somme des forces agissant sur lui est nulle. On peut donc écrire que la somme des forces orientées verticalement vers le haut est égale à la somme des forces orientées verticalement vers le bas.
P, start subscript, A, end subscript, equals, P, plus, T (Où P, start subscript, A, end subscript est la poussée d'Archimède que l'air exerce sur le ballon, P le poids du ballon et du gaz qu'il contient, T la tension que la corde exerce sur le ballon)
rho, V, g, equals, m, g, plus, T (On développe les expressions de la poussée d'Archimède et du poids du ballon)
T, equals, rho, V, g, minus, m, g (On en déduit l'expression de la force de tension T)
T, equals, rho, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, pi, r, cubed, right parenthesis, g, minus, m, g (On remplace V par la formule du volume de la sphère)
T, equals, left parenthesis, 1, comma, 23, start fraction, start text, k, g, end text, divided by, start text, m, end text, cubed, end fraction, right parenthesis, ×, open bracket, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, pi, left parenthesis, start fraction, 3, comma, 50, start text, space, m, end text, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, cubed, close bracket, ×, g, minus, left parenthesis, 9, comma, 20, start text, space, k, g, end text, right parenthesis, ×, g (On remplace les termes par leurs valeurs numériques, en divisant le diamètre par 2 pour obtenir le rayon !)
T, equals, 180, start text, space, N, end text (On fait l'application numérique et on précise l'unité)

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  • primosaur sapling style l'avatar de l’utilisateur Taranu Ioan
    I have a lot of fun reading this chapter.
    Water molecules dialogue is really brilliant :DD
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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Carla Fernandes
    Bonjour puis je vous envoyer deux excercices afin d'obtenir votre aide ?
    (1 vote)
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  • leaf green style l'avatar de l’utilisateur hdyna
    I have a question concerning the example 3, in the formula used for the buoyant force F​t​​=ρVg. Isnt ρ supposed to be the density of the displaced fluid instead of the density of the object itself (ref to first paragraph of section "What's confusing about the buoyant force and Archimedes' principle?")
    (1 vote)
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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur lyes idir
    Est ce que je peux avoir les traductions, en français, des articles écrit en anglais? je suis francophone. merci
    (1 vote)
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