Qu'est-ce que la conduction thermique ?

Quand on marche pieds nus sur le carrelage de la salle de bain en hiver, on a toujours plus froid que sur la moquette de la chambre à coucher. Or contrairement aux idées reçues, les deux ont exactement la même température (c.à d. la température de l'intérieur de la maison). La différence de sensation ressentie en marchant sur l'un ou sur l'autre vient du fait que ces deux matériaux différents ne conduisent pas la chaleur de la même manière. Les carreaux et les dalles en pierre conduisent la chaleur plus rapidement que la moquette et le tissu, ce qui fait qu'ils semblent plus froids au toucher, du fait qu'ils absorbent plus rapidement la chaleur venant du corps.

En général, les bons conducteurs d'électricité (les métaux comme le cuivre, l'aluminium, l'or et l'argent) sont aussi de bons conducteurs de chaleur, tandis que les isolants électriques (le bois, le plastique, le caoutchouc) sont de mauvais conducteurs de chaleur. La figure ci-dessous représente des molécules à l'intérieur de deux objets ayant des températures différentes. L'énergie cinétique (moyenne) d'une molécule à l'intérieur du corps chaud est plus grande que celle d'une molécule du corps froid. Lorsque ces deux molécules entrent en collision, un transfert d'énergie a lieu de la molécule "chaude" vers la molécule "froide". L'effet cumulé de toutes les collisions génère un transfert global de chaleur depuis le corps chaud vers le corps froid. Ce transfert d'énergie entre les deux objets est appelé transfert thermique.

Image : Les molécules de deux corps de températures différentes ont des énergies cinétiques moyennes différentes. Les collisions ayant lieu à la surface de contact des deux objets transfèrent de l'énergie depuis les régions de plus haute température vers celles de plus basse température.
(Source de l'image : Openstax College Physics)

Le flux thermique $Φ$Φ caractérise la vitesse du transfert thermique $Q$Q pendant une durée donnée $t$t. L'expérience a montré que, dans le cas d'une paroi plane de section $S$S et d'épaisseur $e$e, il dépend de quatre facteurs ($λ$λ, $S$S, $\Delta T$delta, T, $e$e) selon la formule suivante :

$Q$Q est la quantité de chaleur transmise (ou le transfert thermique) pendant la durée $t$t, $λ$λ est la conductivité thermique du matériau, $S$S est l'aire de sa section droite, $\Delta T$delta, T est la différence de température entre ses deux extrémités, et $e$e est son épaisseur. Ces grandeurs sont illustrées par la figure ci-dessous :

Image : La conduction de la chaleur s'effectue à travers n'importe quel matériau, que ce soit une vitre en verre ou de la graisse de morse. Cet exemple illustre le transfert thermique à travers une barre rectangulaire. (Source de l'image : Openstax College Physics)

La formule du flux thermique $Φ=\dfrac{Q}{t}=\dfrac{λS\Delta T}{e}$Φ, equals, start fraction, Q, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, λ, S, delta, T, divided by, e, end fraction peut paraître indigeste avec tous ces termes. Pour y voir plus clair, on détaille en suivant le sens de chacun :

$\dfrac{Q}{t}$start fraction, Q, divided by, t, end fraction : Ce premier terme est la définition générale du flux thermique $Φ=\dfrac{Q}{t}$Φ, equals, start fraction, Q, divided by, t, end fraction au sein d'un système ou entre différents systèmes. Il représente le nombre de $\text{joules}$start text, j, o, u, l, e, s, end text d'énergie thermique transférés à travers le matériau par $\text{seconde}$start text, s, e, c, o, n, d, e, end text et caractérise ainsi la vitesse du transfert thermique. La quantité $\dfrac{Q}{t}$start fraction, Q, divided by, t, end fraction se mesure donc en $\dfrac{\text{joules}}{\text{secondes}}=\text{watts}$start fraction, start text, j, o, u, l, e, s, end text, divided by, start text, s, e, c, o, n, d, e, s, end text, end fraction, equals, start text, w, a, t, t, s, end text.

$λ$λ : Le terme $λ$λ est appelé conductivité thermique du matériau, elle caractérise la capacité du matériau à transférer l'énergie thermique. Les bons conducteurs thermiques (comme le métal ou la pierre) ont une valeur de $λ$λ élevée, les bons isolants thermiques (tels que l'air ou le bois) ont une valeur de $λ$λ faible.

$\Delta T$delta, T : Le flux thermique est proportionnel à la différence de température $\Delta T=T_{chaud}-T_{froid}$delta, T, equals, T, start subscript, c, h, a, u, d, end subscript, minus, T, start subscript, f, r, o, i, d, end subscript entre les deux extrémités du matériau. Par conséquent, il y a plus de risques de se brûler avec de l'eau bouillante qu'avec de l'eau chaude du robinet. De plus, si les températures sont les mêmes, le flux thermique est nul, et l'équilibre thermique est atteint.

$S$S : Comme le nombre de collision augmente si la surface de collision est plus élevée, le flux thermique dépend de la surface $S$S de la section du matériau à travers laquelle la chaleur est transférée. Par exemple, toucher un mur froid avec le plat de la main va la refroidir bien plus rapidement que de le toucher avec juste un doigt.

$e$e : Le dernier facteur dont dépend le flux thermique est l'épaisseur $e$e du matériau à travers lequel la chaleur est transmise. La figure ci-dessus représente un objet rectangulaire avec des corps de différentes températures de chaque coté. On suppose que $T_2$T, start subscript, 2, end subscript est supérieure à $T_1$T, start subscript, 1, end subscript, la chaleur est donc transférée de la gauche vers la droite. Ce transfert thermique se fait par une série de collisions entre les molécules. Plus l'épaisseur du matériau central est grande, plus le transfert d'une même quantité de chaleur se fera lentement. Ce modèle explique pourquoi les vêtements plus épais tiennent plus chaud en hiver que les vêtements fins, et comment les mammifères arctiques se protègent du froid intense grâce à leur épaisse couche de graisse.

Les matériaux qui possèdent une conductivité thermique $λ$λ élevée (comme le métal ou la pierre) conduisent mieux la chaleur, que ce soit dans un sens ou dans l'autre, autrement dit, ils absorbent vite la chaleur et la restituent vite également. Par conséquent si on touche un métal froid avec la main, le métal va absorber rapidement la chaleur de la main, provoquant cette sensation que le métal est particulièrement froid. À l'inverse, si le métal est plus chaud que la main, il va transférer sa chaleur à la main plus rapidement, et on va avoir l'impression qu'il est particulièrement chaud.

Voilà pourquoi les dalles du carrelage paraissent plus froides en hiver que la moquette (le carrelage en pierre absorbant la chaleur des pieds plus rapidement), et le sable sec à la plage en été paraît très chaud (il restitue très vite sa chaleur).

On veut remplacer une fenêtre du salon en faisant en sorte que les factures de chauffage et de climatisation ne changent pas à la fin du mois. On note $S$S la surface de la fenêtre, $e$e son épaisseur, et $λ$λ la conductivité thermique du verre qui la compose.

Soit une fenêtre en simple vitrage, de $0{,}65\text{ m}$0, comma, 65, start text, space, m, end text de largeur, $1{,}25\text{ m}$1, comma, 25, start text, space, m, end text de hauteur, et d'épaisseur $2\text{ cm}$2, start text, space, c, m, end text. La conductivité thermique du verre est de $0{,}84 \dfrac{\text{J}}{\text{s}\cdot \text{m} \cdot \text{K}}$0, comma, 84, start fraction, start text, J, end text, divided by, start text, s, end text, dot, start text, m, end text, dot, start text, K, end text, end fraction. La température à l'extérieur de la fenêtre est de $5\text{ °C}$5, start text, space, °, C, end text et à l'intérieur de la pièce de $20\text{ °C}$20, start text, space, °, C, end text. Ces températures restent constantes.

Solution :

$\dfrac{Q}{t}=\dfrac{λS\Delta T}{e} \quad$start fraction, Q, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, λ, S, delta, T, divided by, e, end fraction (on part de la formule du flux thermique)

$Q=\dfrac{tλS\Delta T }{e} \quad$Q, equals, start fraction, t, λ, S, delta, T, divided by, e, end fraction (on exprime $Q$Q en multipliant chaque coté par $t$t)

$Q=\dfrac{3600\text{ s}×λS\Delta T }{e} \quad$Q, equals, start fraction, 3600, start text, space, s, end text, ×, λ, S, delta, T, divided by, e, end fraction (on remplace $t$t par sa valeur numérique, $1 \text{ heure}$1, start text, space, h, e, u, r, e, end text, soit $3600 \text{ secondes}$3600, start text, space, s, e, c, o, n, d, e, s, end text)

$Q=\dfrac{3600\text{ s}×0{,}84 \dfrac{\text{J}}{\text{s}\cdot \text{m} \cdot \text{K}}×S\Delta T }{e} \quad$Q, equals, start fraction, 3600, start text, space, s, end text, ×, 0, comma, 84, start fraction, start text, J, end text, divided by, start text, s, end text, dot, start text, m, end text, dot, start text, K, end text, end fraction, ×, S, delta, T, divided by, e, end fraction (on remplace $λ$λ par sa valeur numérique)

$Q=\dfrac{3600\text{ s}×0{,}84 \dfrac{\text{J}}{\text{s}\cdot \text{m} \cdot \text{K}}×0{,}8125 \text{ m}^2×\Delta T }{e} \quad$Q, equals, start fraction, 3600, start text, space, s, end text, ×, 0, comma, 84, start fraction, start text, J, end text, divided by, start text, s, end text, dot, start text, m, end text, dot, start text, K, end text, end fraction, ×, 0, comma, 8125, start text, space, m, end text, squared, ×, delta, T, divided by, e, end fraction (la surface vaut $\text{hauteur} \times \text{largeur}=0{,}65\text{ m}\times1{,}25\text{ m}=0{,}8125\text{ m}^2$start text, h, a, u, t, e, u, r, end text, times, start text, l, a, r, g, e, u, r, end text, equals, 0, comma, 65, start text, space, m, end text, times, 1, comma, 25, start text, space, m, end text, equals, 0, comma, 8125, start text, space, m, end text, squared)

$Q=\dfrac{3600\text{ s}×0{,}84 \dfrac{\text{J}}{\text{s}\cdot \text{m} \cdot \text{K}}×0{,}8125 \text{ m}^2×15\text{ K} }{e} \quad$Q, equals, start fraction, 3600, start text, space, s, end text, ×, 0, comma, 84, start fraction, start text, J, end text, divided by, start text, s, end text, dot, start text, m, end text, dot, start text, K, end text, end fraction, ×, 0, comma, 8125, start text, space, m, end text, squared, ×, 15, start text, space, K, end text, divided by, e, end fraction ($\Delta T=T_{chaud}-T_{froid}=20\text{°C}-5\text{°C}=293{,}15\text{ K}-278{,}15\text{ K}=15\text{ K}$delta, T, equals, T, start subscript, c, h, a, u, d, end subscript, minus, T, start subscript, f, r, o, i, d, end subscript, equals, 20, start text, °, C, end text, minus, 5, start text, °, C, end text, equals, 293, comma, 15, start text, space, K, end text, minus, 278, comma, 15, start text, space, K, end text, equals, 15, start text, space, K, end text)

$Q=\dfrac{3600\text{ s}×0{,}84 \dfrac{\text{J}}{\text{s}\cdot \text{m} \cdot \text{K}}×0{,}8125 \text{ m}^2×15\text{ K}}{0{,}02\text { m}} \quad$Q, equals, start fraction, 3600, start text, space, s, end text, ×, 0, comma, 84, start fraction, start text, J, end text, divided by, start text, s, end text, dot, start text, m, end text, dot, start text, K, end text, end fraction, ×, 0, comma, 8125, start text, space, m, end text, squared, ×, 15, start text, space, K, end text, divided by, 0, comma, 02, start text, space, m, end text, end fraction (l'épaisseur $e$e s'exprime en mètres, $2\text{ cm}=0{,}02\text{ m}$2, start text, space, c, m, end text, equals, 0, comma, 02, start text, space, m, end text)

$Q= 1{,}84 \times 10^6 \text{ J}\quad$Q, equals, 1, comma, 84, times, 10, start superscript, 6, end superscript, start text, space, J, end text (on fait le calcul et on précise l'unité)$\quad$