Lois de Snell-Descartes : exemple 2

alors on passe ici au deuxième exercice sur la loi de snell des cartes il est un peu plus compliqué mais plus sympa que le précédent donc la situation est décrite sur le dessin ici on a une personne qui est sur le bord d'une piscine avec un pointeur laser qu'elle dirige vers le vert la surface de la piscine et donc nous ce qu'on cherche à connaître c'est à quelle distance du bord de la piscine le faisceau laser va toucher le fond de la piscine donc c'est quelle est cette distance représenté ici en blanc par la double flèche bien sûr sachant que lorsque le faisceau laser arrive à la surface de la piscine et bains il va y avoir une réfraction donc est ce qu'on connaît on connaît la profondeur la piscine 3 m on connaît la distance entre le pointeur laser et la surface de l'eau 8,1 m et on connaît la hauteur du pointeur laser par rapport au bord de la piscine c'est 1,7 m donc comment trouver cette distance représenté par la flèche blanche eh bien on va simplement faire la somme de cette distance en jaune ici qui est la distance entre le bord de la piscine et le point du laser à la surface de l'eau donc c'est cette distance que je reporte ici est la somme de la distance entre le projection de ce point à la surface et la position du point au fond de la piscine donc la distance qu'on cherche en blanc c'est la somme de la flèche jaune et de la flèche rose donc on va faire un petit peu de trigonométrie voit donc commencer par calculer cette distance en jaune donc je le répète c'est la distance entre le bord de la piscine et le point du laser à la surface de l'eau on va bien sûr utiliser le fait qu'on se trouve dans un triangle rectangle donc en fait on peut appliquer directement le théorème de pythagore donc si j'appelle ce côté inconnu dont on cherche la longueur grand x qu'est-ce qu'on peut écrire avec le théorème de pythagore et bien on peut écrire que x au carré plus 1,7 au carré ça c'est égal à 8,1 le tout bien sûr au carré donc voilà ce que nous dit le théorème de pythagore on a donc la somme de x au cari plus 1,7 au carré qui est égal à 8,1 au cames et donc si je soustrais 1,7 au carré de chaque côté de l'équation eh bien on obtient hills au carré est égal à 8,1 au carré - 1,7 au carré et donc ensuite pour trouver x sachant que x c'est une distance et bien sûr un nombre positif on n'a plus qu'à prendre la racine carrée donc voilà ça nous donne x qui était bien la racine carrée de 8,1 au carré - 1,7 au carré donc à partir de là on prend la calculatrice on a donc entre parenthèses 8,1 au carré auquel on soustrait 1,7 au carré voilà notre différence et ensuite on prend bien sûr la racine carrée de ce nombre ce qui nous donne à peu près 7,92 on a donc x qui est égal à 7,92 en arrondissant deux chiffres après la virgule et donc l'unité c'est bien sûr des maîtres donc cette valeur va nous servir dans la suite pour calculer la distance finale entre le bord de la piscine et le pointeur laser au fond de la piscine donc puisqu'on a réussi à déterminer cette distance en jaune ici x égale 7 92 m reste à trouver enfin cette distance que j'ai représenté en rose ici donc pour ça on va se servir de la loi de snell des cartes à cette interface donc si je trace la normale à l'interface au point où le laser touche la surface de l'eau donc c'est cette droite en pointillés ici on va donc noté tétin cet angle entre la normale et la veille aux incidents étaient à 2 cet angle que j'ai marqué ici entre eux la normale et le rayon émergents dans l'eau donc que nous dit la loi de celle des cartes elle nous dit que l''indice de l'air donc l' indice du premier milieu n fois le sinus de cet angle t pain est égal à l' indice du second milieu n os x le sinus de cet angle thêta ii donc si on arrive à déterminer thêta ii ou sinus tête à deux avec la trigonométrie basique dans ce triangle rectangle on va pouvoir trouver sept longueurs ici en violet qui nous manque pour connaître la longueur totale en blanc donc qu'est ce qu'on va faire alors les indices nrn haut c'est quelque chose qui est à bulle et on le connaît donc on peut remplacer voilà donc 'l'indice de l'air c'est un 0-0 0-3 et l' indice de l'os et 1,33 ensuite pour le sinus de tétanie et bien pour le sinus de tête à 1 1 on peut s'aider du deuxième triangulaire rectangle ici que je fais apparaître et le côté tout en haut vos 7 92 m parce que bien sûr on forme un rectangle alors pour bien se souvenir de sinus caussinus et tangentent on peut utiliser le petit rappel sauf qu'un toit qui nous dit tout simplement que le sinus ses côtés opposés sur les potées news le cosinus ses côtés adjacent sur epoté n'use et la tangente ses côtés opposés ce côté adjacent donc ce sinus ici en bas de teta 1 c'est tout simplement le côté opposé donc ce côté dont on connaît la longueur / l'hypoténuse 8,1 m donc sans même connaître la valeur de cet angle et 1 on connaît son sinus puisque c'est le rapport côté opposé 7 92 / epoté n'use 8,1 m donc si on réarrange un peu cette équation on divise par 1,33 de chaque côté mais on obtient 1 00 03 / 1 33 x 7 92 / 8,1 et bien ça c'est égal aux sinus de cet angle tête à deux donc on peut prendre la calculatrice alors au numérateur on à 1,000 3 que l'on multiplie par 7,92 et le tout divisé par le produit 1,33 point 8,1 on obtient donc 0,7 135 et des poussières on va arrondir ici à 0 735 notre sinus tête à deux c'est égal à 0,7 135 et donc en utilisant la fonction sinus - ou arc sinus sur cette équation on peut retrouver l'angle tête à deux donc la calculatrice nous donne thêta ii égale 47 34 degrés donc avec un peu trigonométrie et la loi de snell des cartes on a été capable de retrouver cet angle tête à deux donc maintenant qu'on connaît cet angle tête à deux on va chercher ce côté que je vais appeler y ici c'est la distance en rose donc combien vous y est bien on va simplement utiliser la tangente dans ce triangle rectangle donc la tangente ses côtés opposés sur côté adjacents dont par rapport à cet angle côté opposé c'est notre y est coté adjacent c'est les 3 mètres de profondeur de la piscine on a donc tangente et a2 qui est égale y divisée par 3 ce qu on pourrait écrire bien sûr en multipliant par 3 y qui est égale 1 3 fois tangente tête à deux donc je prends la calculatrice trois fois entre parenthèses 47,34 dont je prend la tangente bien sûr on était en degrés donc ça ça nous donne 3,255 on va troquer le résultat donc on peut écrire que y est égal à 3,255 bien sûr cd m alors maintenant on cherchait à connaître cette distance totale entre le bord de la piscine et l'arrivée du pointeur laser au fond de la piscine pour connaître maintenant la distance totale on n'a plus qu'à sommet les deux distances qu'on a calculé donc on a dit qu on arrondit c'est un 3,255 pour la partie en violet auquel on ajoute lappartient au jaune qu'on avait calculé précédemment un 7,92 ce qui fait environ 11,6 en 75 alors bien sûr on va prendre le même nombre de chiffres significatifs que les données du problème on nous donnait avec un chiffre significatif après la virgule donc on va simplement agrandir à 11,2 donc cette distance inconnu que l'on cherche vaut environ 11,2 m donc on a terminé avec ce petit problème donc si on résume on a d'abord fait la trigonométrie basique dans ce triangle rectangle pour connaître la distance entre le bord de la piscine et le point du laser à la surface ensuite dans ce deuxième triangle rectangle ici on a pu on a calculé directement le sinus de cet angle et à 1 en utilisant la loi de snell des cartes on a calculé l'angleterre à deux et ensuite encore un peu trigonométrie dans cette dans ce triangle rectangle pour trouver cette deuxième distance y conte a ajouté à cette première distance x 7 92 pour trouver notre résultat final la distance entre le bord de la piscine et le point du laser au fond de la piscine qui est 11,2 m