Pour tout savoir sur la courbe représentative de a(t)

L'axe vertical représente l'accélération de l'objet.

Par exemple, la valeur qu'on lit à un instant donné sur l'axe vertical de la représentation graphique ci-dessous donne l'accélération de l'objet en mètres par seconde au carré à cet instant.

Sur la représentation graphique ci-dessous, il est possible de faire glisser le point vert horizontalement pour choisir différents instants et ainsi voir comment l'accélération, notée Acc, évolue.
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Application : Quelle est l'accélération à l'instant $t=4\text{ s}$‍ selon la courbe ci-dessus ?

La pente de la courbe représentative de a(t) représente ce qu'on appelle l'à-coup en français ou le jerk en anglais. Il s'agit du taux de variation de l'accélération et comme le terme anglais "jerk" est rentré dans le langage courant des physiciens, on l'utilisera par la suite.

La pente de la courbe représentative de a(t) est donnée par la formule suivante : $\text{pente}={\displaystyle \frac{\text{variation verticale}}{\text{variation horizontale}}}={\displaystyle \frac{a_2-a_1}{t_2-t_1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }a}{\mathrm{\Delta }t}}$‍

Cette pente, c'est à dire le taux de variation de l'accélération, est par définition l'à-coup ou le jerk.

Le terme "jerk" signifie "secousse" en anglais américain. On subit une secousse lorsqu'on accélère ou décélère brutalement sur une durée très courte et les muscles doivent fournir des efforts pour maintenir le corps dans sa position.

Pour finir, sur la représentation graphique ci-dessous, il est possible de déplacer horizontalement le point vert de façon à pouvoir visualiser la tangente à la courbe à différents instants et ainsi voir comment le jerk, qui correspond à la pente de cette tangente, évolue.

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Application : Sur la courbe représentative de a(t) ci-dessus, le jerk est-il positif, négatif ou nul à l'instant $t=6\text{ s}$‍ ?

L'aire sous la courbe représentative de a(t) correspond à la variation de la vitesse algébrique. Autrement dit, l'aire sous la courbe a(t) sur un certain intervalle de temps indique de combien a varié la vitesse algébrique sur l'intervalle de temps considéré.

Pour mieux comprendre, on s'appuie sur l'exemple de la courbe ci-dessous qui représente une accélération constante de 4${\displaystyle \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}$‍ sur une durée de 9 s.

À partir de la définition de l'accélération, $a={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}}$‍, en multipliant les deux côtés de l'égalité par la variation de temps, $\mathrm{\Delta }t$‍, on obtient $\mathrm{\Delta }v=a\mathrm{\Delta }t$‍

En remplaçant l'accélération par 4${\displaystyle \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}$‍ et l'intervalle de temps par 9 s, on en déduit la variation de vitesse algébrique :

Multiplier l'accélération par l'intervalle de temps revient en fait à déterminer l'aire sous la courbe a(t). Cette aire est celle d'un rectangle comme on peut le voir sur la figure ci-dessous.

Par définition, l'aire du rectangle est sa hauteur, 4${\displaystyle \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}$‍, multipliée par sa largeur, 9 s. Donc, calculer l'aire permet bien de déterminer la variation de la vitesse algébrique.

Quelque soit la forme de la courbe représentative de a(t), l'aire sous la courbe sur un certain intervalle de temps correspond à la variation de la vitesse algébrique sur cet intervalle de temps.

Un pilote de Formule 1 chevronné roule en ligne droite à la vitesse de 20 m/s. A l'approche de la ligne d'arrivée, il se met à accélérer. La courbe ci-dessous montre l'accélération de la Formule 1 à partir du moment où le pilote appuie sur l'accélérateur. On suppose que sa vitesse algébrique vaut 20 m/s à l'instant $t=0\text{ s}$‍.

On détermine la variation de vitesse algébrique en calculant l'aire sous la courbe représentative de a(t).

Attention : il ne s'agit là que de la variation de la vitesse algébrique sur l'intervalle de temps considéré. L'énoncé demande la vitesse finale atteinte. Sachant que, par définition, la variation de vitesse algébrique s'écrit $\mathrm{\Delta }v=v_f-v_i$‍, on en déduit que :

La vitesse algébrique finale de la Formule 1 est de 44 m/s.

Un voilier avance en ligne droite à la vitesse de 10 m/s. A partir de l'instant $t=0\text{ s}$‍, un coup de vent fait accélérer le bateau selon la courbe ci-dessous.

L'aire sous la courbe représentative de a(t) donne la variation de vitesse algébrique. Cette aire peut se diviser en celle d'un rectangle, celle d'un premier triangle et celle d'un deuxième triangle comme indiqué ci-dessous.

Entre les instants $t=0\text{ s}$‍ et $t=3\text{ s}$‍, le rectangle bleu est compté positivement puisque il est situé au dessus de l'axe horizontal. Entre les instants $t=3\text{ s}$‍ et $t=7\text{ s}$‍, le triangle vert est aussi compté positivement puisqu'il est situé au dessus de l'axe horizontal. Entre les instants $t=7\text{ s}$‍ et $t=9\text{ s}$‍, le triangle rouge est compté négativement puisque il est situé en dessous de l'axe horizontal.

On additionne ces aires en utilisant les formules $lL$‍ pour le rectangle et ${\displaystyle \frac{1}{2}}bh$‍ pour les triangles, de façon à déterminer l'aire totale entre les instants $t=0\text{ s}$‍ et $t=9\text{ s}$‍.

Il s'agit là de la variation de vitesse algébrique. Pour trouver la vitesse algébrique finale, on utilise la définition de la variation de vitesse algébrique.

La vitesse algébrique finale du voilier vaut donc $v_f=28\text{ m/s}$‍.