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Pour tout savoir sur la courbe représentative de v(t)

Comment analyser un graphique qui rapporte vitesse et temps à l'accélération et au déplacement. 

Que représente l'axe vertical sur la courbe représentative de v(t) ?

L'axe vertical représente la vitesse algébrique de l'objet. Cela semble évident, mais il vaut mieux être prévenu : les courbes représentatives de v(t) peuvent être difficiles à interpréter. On peut facilement oublier que l'axe vertical donne la vitesse algébrique lorsqu'on est habitué à déterminer cette dernière par la pente de la courbe représentative de x(t).
Sur la représentation graphique ci-dessous, il est possible de faire glisser le point vert horizontalement pour choisir différents instants et ainsi voir comment la vitesse évolue.
Application : Quelle est la vitesse algébrique de l'objet à l'instant t=4 secondes selon la courbe ci-dessus ?

Que représente la pente de la courbe représentative de v(t) ?

La pente de la courbe représentative de v(t) correspond à l'accélération de l'objet. Autrement dit, l'accélération de l'objet à un instant donné est la valeur de la pente à cet instant.
La pente de la courbe représentative de v(t) est donnée par la formule suivante :
pente=variation verticalevariation horizontale=v2v1t2t1=ΔvΔt
Puisque, pour le mouvement à une dimension, ΔvΔt correspond par définition à l'accélération, la pente de la courbe représentative de v(t) est égale à l'accélération de l'objet.
pente=accélération
Cela signifie que lorsque la pente est élevée, la vitesse algébrique de l'objet varie rapidement. À l'inverse, lorsque la pente est faible, la vitesse algébrique ne varie pas très rapidement. De plus, si la pente est négative, dirigée vers le bas, l'accélération est alors négative. À l'inverse, si la pente est positive, dirigée vers le haut, l'accélération est alors positive.
Sur la représentation graphique ci-dessous, il est possible de faire glisser le point vert horizontalement pour voir comment la pente évolue à différents instants.
La pente de la courbe est positive entre les instants t=0 s et t=2 s puisqu'elle est dirigée vers le haut. L'accélération est alors positive.
La pente de la courbe est négative entre les instants t=2 s et t=8 s puisqu'elle est dirigée vers le bas. L'accélération est alors négative.
A t=2 s la pente est nulle puisque la tangente à la courbe est horizontale. L'accélération est alors nulle à cet instant.
Application : Est-ce que l'objet dont le mouvement est décrit par la courbe ci-dessus est en train d'accélérer ou de ralentir à l'instant t=4 s ?

Que représente l'aire sous la courbe représentative de v(t) ?

L'aire sous la courbe représentative de v(t) représente le déplacement de l'objet. Pour comprendre cela, on considère ci-dessous une courbe représentant le mouvement d'un objet se déplaçant à une vitesse algébrique constante de 6 mètres par seconde pendant 5 secondes.
Pour calculer le déplacement correspondant à cet intervalle de temps, on utilise la formule suivante :
Δx=vΔt=6 m/s×5 s=30 m
Le déplacement est donc de 30 m.
En fait, cette méthode équivaut à déterminer l'aire sous la courbe. On considère donc la surface rectangulaire ci-dessous.
L'aire de ce rectangle peut se calculer en multipliant la hauteur, 6 m/s, par la largeur, 5 s, ce qui donne :
 aire=hauteur×largeur=6 m/s×5 s=30 m
On obtient donc la même chose que précédemment pour le calcul du déplacement. Pour le mouvement à une dimension, l'aire sous la courbe représentative de v(t) est égale au déplacement durant cet intervalle de temps, peu importe la forme de la courbe.
aire=déplacement

Exemples d'exercices sur les courbes représentatives de v(t) :

Exemple 1 : Variation de vitesse en planche à voile

Une véliplanchiste avance en ligne droite selon la courbe représentative de v(t) suivante.
Parmi les propositions suivantes, choisir celles qui caractérisent la vitesse et l'accélération de la véliplanchiste.
(A) Sa vitesse augmente.
(B) Son accélération augmente.
(C) Sa vitesse diminue.
(D)Son accélération diminue.
Seules les propositions A et D sont vraies.
La pente de la courbe représentative de v(t) correspond à l'accélération. Ici, la pente diminue, cela signifie que l'accélération diminue elle aussi.
Cela pourrait sembler contre-intuitif puisque, d'après la courbe, la vitesse de la véliplanchiste augmente. En réalité, la valeur de cette augmentation par seconde diminue. Pour les 4,5 premières secondes, la vitesse est passée de 0 m/s à 5 m/s, alors que pour les 4,5 secondes suivantes, elle est seulement passée de 5 m/s à 7 m/s.

Exemple 2 : Accélération en kart

Le mouvement d'un kart est représenté par sa courbe v(t) ci-dessous.
A. Quelle est l'accélération du kart à l'instant t=4 s ?
B. Quel est le déplacement du kart entre les instants t=0 s et t=7 s ?

A. Accélération du kart à l'instant t=4 s

On détermine l'accélération à l'instant t=4 s en calculant la pente de la courbe représentative de v(t) à cet instant.
pente=variation verticalevariation horizontale
Pour calculer la pente, on choisit, sur la partie oblique de la courbe, les deux points suivants : —3 s,6 m/s— et —7 s,0 m/s. On a donc :
pente=v2v1t2t1=0 m/s6 m/s7 s3 s=6 m/s4 s=1,5ms2
accélération=1,5ms2

B. Déplacement du kart entre les instants t=0 s et t=7 s

On détermine le déplacement du kart en calculant l'aire sous la courbe représentative de v(t). Cette aire est constituée de deux parties : un rectangle, entre les instants t=0 s et t=3 s, et un triangle, entre les instants t=3 s et t=7 s. Une fois qu'on aura additionné les aires de ces deux formes géométriques, on aura le déplacement total.
L'aire du rectangle est :
aire=h×l=6 m/s×3 s=18 m
L'aire du triangle est :
aire=12bh=12×4 s×6 m/s=12 m
On additionne ces deux aires :
aire totale=18 m+12 m=30 m
déplacement total=30 m

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur nicolasozgun
    Bonjour, dans le dernier exercice question B , j'ai remarqué que la formule pour trouvé la distance (d) déplacement : d=v*t donnait d=(6+0)/2 * 7 soit 28 , pourquoi la formule n'est pas exact dans ce cas ci ? ou serait-il une faute de calcul de ma part ? Merci d'avance !
    (1 vote)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Elisabeth
      Bonjour,
      Première réponse : il y a en effet une erreur de calcul. 3*7=21, et pas 28.
      Par ailleurs, dans ce cas, on ne peut pas utiliser cette formule. Cette formule n'est valable que quand la vitesse varie linéairement (en utilisant (v1+v2)/2, on calcule la moyenne).
      Elle est notamment valable entre t=3s et t=7s. Mais pas de t=0s à t=3s.
      C'est justement l'objet de cet article : comprendre qu'il n'y a pas une multitude de formules, valables selon les cas, mais un seul principe : la distance parcourue est donnée par l'aire sous la courbe de la vitesse.
      Ici, dans le cas du rectangle rouge, de t=0 à t=3, on utilise la formule de l'aire d'un rectangle, et de t=3 à t=7, on a le triangle vert, on utilise la formule de l'aire d'un triangle.
      (1 vote)
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