Quelles sont les composantes du vecteur vitesse ?

Les mouvements dans le plan, en deux dimensions, sont plus complexes que les mouvements à une dimension puisque les vitesses peuvent être orientées à l'oblique. Par exemple, une balle peut se déplacer à la fois horizontalement et verticalement au même moment avec une vitesse $v$v. On décompose alors le vecteur vitesse associé à la balle sur deux directions selon une composante horizontale, $v_x$v, start subscript, x, end subscript, et selon une composante verticale, $v_y$v, start subscript, y, end subscript, pour simplifier les calculs.

Il est difficile de résoudre ce problème en essayant d'intégrer les deux composantes, horizontale et verticale, dans une même équation. Il vaut mieux adopter une stratégie "diviser pour mieux régner".

Le fait de décomposer le vecteur vitesse en deux composantes $v_x$v, start subscript, x, end subscript et $v_y$v, start subscript, y, end subscript permet de traiter chaque direction séparément. On transpose un problème difficile à deux dimensions en deux problèmes simples à une dimension. Décomposer un vecteur en ses composantes de façon à simplifier un exercice est utilisé très fréquemment en physique, non seulement pour la vitesse, mais aussi pour les forces, la quantité de mouvement, ou encore les champs électriques. En fait, on utilise cette méthode tellement souvent qu'il est indispensable de la maîtriser.

Avant de se lancer dans la décomposition de vecteurs, on rappelle les formules de trigonométrie qui relient les longueurs des côtés d'un triangle rectangle — côté adjacent, côté opposé et hypoténuse — à un des angles du triangle, $\theta$theta, comme montré ci-dessous.

Lorsqu'on décompose un vecteur quelconque en deux composantes perpendiculaires, on forme un triangle rectangle comme le montre la figure ci-dessous. On peut donc appliquer les formules trigonométriques vues plus haut en utilisant la norme $v$v du vecteur vitesse et ses composantes $v_y$v, start subscript, y, end subscript, et $v_x$v, start subscript, x, end subscript. Ici, $v_x$v, start subscript, x, end subscript correspond au côté adjacent, $v_y$v, start subscript, y, end subscript correspond au côté opposé, et $v$v correspond à l'hypoténuse.

Dans ces formules, $v$v représente la norme du vecteur vitesse qui ne peut pas être négative. À l'inverse, ses composantes $v_x$v, start subscript, x, end subscript et $v_y$v, start subscript, y, end subscript peuvent être négatives si elles sont orientées dans le sens compté négativement. Par convention, on considère comme négatifs le sens vers la gauche sur l'horizontale (associé à la coordonnée $x$x) et le sens vers le bas sur la verticale (associé à la coordonnée $y$y).

Dans le paragraphe précédent, on a vu comment obtenir les composantes verticale et horizontale en partant de la norme du vecteur et de son angle d'inclinaison. Comment faire si l'on part des composantes du vecteur vitesse $v_x$v, start subscript, x, end subscript et $v_y$v, start subscript, y, end subscript ? Comment utiliser ces composantes pour calculer la norme $v$v du vecteur vitesse et son angle d'inclinaison $\theta$theta par rapport à l'horizontale?

Il n'est pas très difficile de calculer la norme du vecteur résultant puisque pour n'importe quel triangle rectangle, les longueurs des côtés et de l'hypoténuse sont reliées par le théorème de Pythagore.

En prenant la racine carrée, on obtient la norme du vecteur vitesse en fonction de ses composantes.

Connaissant les composantes, on peut aussi calculer l'angle d'inclinaison du vecteur résultant en utilisant $\text{tan }\theta$start text, t, a, n, space, end text, theta.

En prenant l'arc tangente, on obtient l'angle du vecteur vitesse résultant en fonction de ses composantes.

Lorsqu'on utilise la formule $\theta=\tan^{-1}(\dfrac{{v_y}}{{v_x}})$theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, start subscript, x, end subscript, end fraction, right parenthesis, avec le côté opposé au numérateur, $v_y$v, start subscript, y, end subscript, et le côté adjacent au dénominateur, $v_x$v, start subscript, x, end subscript, cela suppose qu'on considère l'angle formé par l'horizontale et l'hypoténuse. Cela peut être difficile de positionner cet angle, voici donc deux astuces :

En orientant les axes positivement vers la droite et vers le haut, la composante horizontale $v_x$v, start subscript, x, end subscript est positive si le vecteur est orienté vers la droite, et elle est négative si le vecteur est orienté vers la gauche.

De même, la composante verticale $v_y$v, start subscript, y, end subscript est positive si le vecteur est orienté vers le haut, et elle est négative si le vecteur est orienté vers le bas.

Par exemple, si les composantes d'un vecteur vitesse son $v_x=-12 \text{ m/s}$v, start subscript, x, end subscript, equals, minus, 12, start text, space, m, slash, s, end text et $v_y=10 \text{ m/s}$v, start subscript, y, end subscript, equals, 10, start text, space, m, slash, s, end text, il est orienté vers la gauche puisque $v_x$v, start subscript, x, end subscript est négative et vers le haut puisque $v_y$v, start subscript, y, end subscript est positive.

Un ballon de foot est frappé vers le haut et vers la droite avec un angle de 30$^\circ$degrees par rapport à l'horizontale et une vitesse de 24,3 m/s comme montré ci-dessous.

On utilise la formule $sin\theta=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{v_y}{v}$s, i, n, theta, equals, start fraction, start text, c, o, with, \^, on top, t, e, with, \', on top, space, o, p, p, o, s, e, with, \', on top, end text, divided by, start text, h, y, p, o, t, e, with, \', on top, n, u, s, e, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, end fraction pour calculer la composante verticale du vecteur vitesse. L'hypoténuse correspond à la norme $v$v du vecteur vitesse, 24,3 m/s, et le côté opposé à l'angle de 30$^\circ$degrees est $v_y$v, start subscript, y, end subscript.

On utilise la formule $\cos\theta=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{v_x}{v}$cosine, theta, equals, start fraction, start text, c, o, with, \^, on top, t, e, with, \', on top, space, a, d, j, a, c, e, n, t, end text, divided by, start text, h, y, p, o, t, e, with, \', on top, n, u, s, e, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, x, end subscript, divided by, v, end fraction pour calculer la composante horizontale du vecteur vitesse.

Une mouette en colère survole Seattle avec un vecteur vitesse de composante horizontale $v_x=14{,}6 \text{ m/s}$v, start subscript, x, end subscript, equals, 14, comma, 6, start text, space, m, slash, s, end text et de composante verticale $v_y=-8{,}62 \text{ m/s}$v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 8, comma, 62, start text, space, m, slash, s, end text.

On oriente positivement les axes vers la droite et vers le haut, et on mesure les angles dans le sens inverse des aiguilles d'une montre à partir de l'axe des abscisses positives.

On utilise le théorème de Pythagore pour calculer la norme du vecteur vitesse résultant.

On utilise la définition de la $\text{tangente}$start text, t, a, n, g, e, n, t, e, end text pour déterminer l'angle d'inclinaison, mais on aurait aussi pu utiliser le $\text{sinus}$start text, s, i, n, u, s, end text ou le $\text{cosinus}$start text, c, o, s, i, n, u, s, end text puisque $v$v est connu.

Puisque la composante verticale est négative $v_y=-8{,}62 \text{ m/s}$v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 8, comma, 62, start text, space, m, slash, s, end text, on sait que le vecteur vitesse est orienté vers le bas. De même, puisque la composante horizontale est positive $v_x=14{,}6 \text{ m/s}$v, start subscript, x, end subscript, equals, 14, comma, 6, start text, space, m, slash, s, end text, on sait que le vecteur vitesse est orienté vers la droite. On représente donc le vecteur dans le quatrième quadrant.

La mouette vole donc à la vitesse de $17{,}0 \text{ m/s}$17, comma, 0, start text, space, m, slash, s, end text et avec un angle incliné de $30{,}6^\circ$30, comma, 6, degrees sous l'horizontale.