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Qu'est-ce que le mouvement d'un projectile dans un plan ?

Pour apprendre comment traiter le mouvement des objets dans l'air.

Qu'est-ce que le mouvement d'un projectile dans un plan ?

Lors d'une manifestation, un manifestant bien énervé lance une tomate avec un certain angle d'inclinaison par rapport à l'horizontale. La courbe en pointillés ci-dessous représente la trajectoire de la tomate. La tomate est donc un projectile en mouvement dans un plan, en deux dimensions (l'horizontale et la verticale), soumis uniquement à son poids.
Comme le poids s'exerce verticalement vers le bas, seule la composante verticale du vecteur vitesse start color #df0030, v, start subscript, y, end subscript, end color #df0030 de la tomate sera affectée. La composante horizontale start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, elle, restera constante sur toute la trajectoire de la tomate.
Il est possible de déplacer le point sur la représentation graphique ci-dessous de façon à observer l'évolution de la composante verticale start color #df0030, v, start subscript, y, end subscript, end color #df0030 de la vitesse, pendant que la composante horizontale start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed reste constante.
Application : Quelle est la valeur de la composante verticale du vecteur vitesse lorsque la tomate atteint l'altitude maximale de sa trajectoire ?

Comment traiter mathématiquement le mouvement d'un projectile dans un plan ?

Une des façons la plus simple de traiter les problèmes sur les mouvements de projectiles dans un plan est d'analyser le mouvement séparément sur chaque direction. Autrement dit, on utilisera un système d'équations pour décrire le mouvement horizontal de la tomate, et un système d'équations pour décrire son mouvement vertical. Cela permet de transposer un problème compliqué à deux dimensions en deux problèmes plus simples à une dimension. On se permet d'agir ainsi dans la mesure où les variations des composantes verticale et horizontale ne dépendent pas l'une de l'autre. En particulier, l'accélération verticale de la tomate n'est pas modifiée si elle est lancée avec une vitesse initiale horizontale plus élevée. Autrement dit, un boulet de canon tiré horizontalement atteint le sol au même moment qu'un boulet de canon juste lâché.

Sur la direction horizontale :

Il n'y a pas d'accélération selon la direction horizontale puisque le poids s'exerce seulement verticalement vers le bas. En revanche, si la résistance de l'air n'était pas négligée, il y aurait une accélération horizontale dont l'effet serait de freiner le mouvement. Dans le cas où la résistance de l'air est supposée négligeable, la composante horizontale de la vitesse du projectile est constante.
Pour la direction horizontale, on peut donc utiliser l'équation suivante :
delta, x, equals, v, start subscript, x, end subscript, t
Remarque : il est important de n'utiliser que des variables concernant la direction horizontale dans cette équation. Dès lors que deux variables de cette équation sont connues, on peut déterminer la troisième variable, inconnue.

Sur la direction verticale :

Un projectile en mouvement dans le plan est soumis à une accélération constante dirigée verticalement vers le bas a, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 9, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction due à la pesanteur. Puisque cette accélération est constante, il est possible d'utiliser l'une des quatre équations cinématiques du MRUA données ci-dessous.
1, point, v, start subscript, y, end subscript, equals, v, start subscript, 0, y, end subscript, plus, a, start subscript, y, end subscript, t
2, point, delta, y, equals, left parenthesis, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, plus, v, start subscript, 0, y, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t
3, point, delta, y, equals, v, start subscript, 0, y, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, start subscript, y, end subscript, t, squared
4, point, v, start subscript, y, end subscript, squared, equals, v, start subscript, 0, y, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, y, end subscript, delta, y
Il est important de n'utiliser que des variables concernant la direction verticale dans ces équations. Dès lors que trois variables de ces équations sont connues, on peut déterminer la quatrième variable, inconnue.
Remarque : pour un mouvement donné, l'intervalle de temps t est le même dans les équations selon la verticale et selon l'horizontale. Par conséquent, dès lors que l'on a déterminé l'intervalle de temps t, on peut l'utiliser dans n'importe quelle équation, verticale ou horizontale. C'est une méthode couramment utilisée : l'intervalle de temps t est par exemple déterminé avec les équations verticales, puis utilisé dans l'équation horizontale, ou inversement.

Quelles sont les difficultés majeures concernant le mouvement d'un projectile dans un plan ?

Souvent, on commet l'erreur d'utiliser une composante verticale dans une équation horizontale, ou inversement. La résolution d'un problème par décomposition selon les directions horizontale et verticale ne fonctionne qu'en conservant les paramètres des deux directions (x ou y) dans des équations différentes.
Les vecteurs vitesse doivent être décomposés en une composante verticale et une composante horizontale. Ce n'est pas toujours chose facile, se référer à cet article pour savoir comment appliquer la trigonométrie à la décomposition d'un vecteur selon ses composantes.
Lorsqu'un projectile est lancé horizontalement, la composante verticale de son vecteur vitesse est initialement nulle start color #df0030, v, start subscript, 0, y, end subscript, equals, 0, end color #df0030 (voir exemple 1 ci-dessous). Ce n'est pas toujours facile à comprendre, mais un objet peut bel et bien démarrer sa course avec un vecteur vitesse de composante horizontale non nulle et de composante verticale nulle.

Exercices d'application sur le mouvement d'un projectile dans un plan

Exemple 1 : Ballon d'eau lancé horizontalement

Un ballon rempli d'eau est lancé horizontalement avec une vitesse v, start subscript, 0, end subscript, equals, 8, comma, 31, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction depuis le toit d'un bâtiment de hauteur H, equals, 23, comma, 0, start text, space, m, end text.
Quelle est la distance maximale que peut atteindre le ballon sur l'horizontale avant de toucher le sol ?
Dans un premier temps, on schématise le problème en précisant les données.
Il suffit de connaître le temps de vol t pour utiliser l'équation delta, x, equals, v, start subscript, x, end subscript, t et déterminer le déplacement horizontal. Pour calculer t, on remarque que trois variables sont déjà connues sur la direction verticale (delta, y, equals, minus, 23, comma, 0, start text, space, m, end text, v, start subscript, 0, y, end subscript, equals, 0, a, equals, minus, 9, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction).
On se sert donc d'une équation cinématique sur la direction verticale pour exprimer t. Puisqu'on ne connait pas la vitesse finale v, start subscript, y, end subscript et qu'elle n'est pas demandée, on doit utiliser l'équation cinématique qui ne contient pas v, start subscript, y, end subscript.
delta, y, equals, v, start subscript, 0, y, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, start subscript, y, end subscript, t, squared, start text, left parenthesis, O, n, space, u, t, i, l, i, s, e, space, l, apostrophe, e, with, \', on top, q, u, a, t, i, o, n, space, c, i, n, e, with, \', on top, m, a, t, i, q, u, e, space, s, e, l, o, n, space, l, a, space, v, e, r, t, i, c, a, l, e, space, q, u, i, space, n, e, space, c, o, n, t, i, e, n, t, space, p, a, s, space, l, a, space, v, i, t, e, s, s, e, space, f, i, n, a, l, e, point, right parenthesis, end text
minus, H, equals, left parenthesis, 0, right parenthesis, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, g, right parenthesis, t, squared, start text, left parenthesis, O, n, space, r, e, m, p, l, a, c, e, space, l, e, s, space, g, r, a, n, d, e, u, r, s, space, p, a, r, space, l, e, s, space, n, o, t, a, t, i, o, n, s, space, d, e, space, l, apostrophe, e, with, \', on top, n, o, n, c, e, with, \', on top, point, end text, right parenthesis
t, equals, square root of, start fraction, 2, H, divided by, g, end fraction, end square root, start text, left parenthesis, O, n, space, e, x, p, r, i, m, e, space, l, e, space, t, e, m, p, s, space, d, e, space, v, o, l, space, t, point, end text, right parenthesis
t, equals, square root of, start fraction, 2, ×, left parenthesis, minus, 23, comma, 0, start text, space, m, end text, right parenthesis, divided by, minus, 9, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, end fraction, end square root, equals, 2, comma, 17, start text, space, s, end text, start text, left parenthesis, O, n, space, f, a, i, t, space, l, apostrophe, a, p, p, l, i, c, a, t, i, o, n, space, n, u, m, e, with, \', on top, r, i, q, u, e, space, e, t, space, o, n, space, p, r, e, with, \', on top, c, i, s, e, space, l, e, s, space, u, n, i, t, e, with, \', on top, s, point, end text, right parenthesis
Ensuite, il faut remplacer le temps t dans l'équation selon l'horizontale pour déterminer le déplacement horizontal delta, x.
delta, x, equals, v, start subscript, x, end subscript, t, start text, left parenthesis, O, n, space, u, t, i, l, i, s, e, space, l, apostrophe, e, with, \', on top, q, u, a, t, i, o, n, space, d, o, n, n, a, n, t, space, l, e, space, d, e, with, \', on top, p, l, a, c, e, m, e, n, t, space, h, o, r, i, z, o, n, t, a, l, point, right parenthesis, end text
delta, x, equals, left parenthesis, 8, comma, 31, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, right parenthesis, ×, left parenthesis, 2, comma, 17, start text, space, s, end text, right parenthesis, start text, left parenthesis, O, n, space, r, e, m, p, l, a, c, e, space, l, e, s, space, g, r, a, n, d, e, u, r, s, space, p, a, r, space, l, e, u, r, s, space, v, a, l, e, u, r, s, space, n, u, m, e, with, \', on top, r, i, q, u, e, s, point, right parenthesis, end text
delta, x, equals, 18, comma, 0, start text, space, m, end text, start text, left parenthesis, O, n, space, f, a, i, t, space, l, apostrophe, a, p, p, l, i, c, a, t, i, o, n, space, n, u, m, e, with, \', on top, r, i, q, u, e, space, e, t, space, o, n, space, p, r, e, with, \', on top, c, i, s, e, space, l, e, s, space, u, n, i, t, e, with, \', on top, s, point, right parenthesis, end text
Le ballon d'eau a donc atteint le sol à 18, comma, 0, start text, space, m, end text du bâtiment.

Exemple 2 : Citrouille lancée avec un angle d'inclinaison

Un canon est utilisé pour lancer une citrouille depuis une falaise de hauteur H, equals, 18, comma, 0, start text, space, m, end text avec une vitesse initiale v, start subscript, 0, end subscript, equals, 11, comma, 4, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction et un angle d'inclinaison theta, equals, 52, comma, 1, degrees, comme montré sur le schéma suivant.
Quelle est la vitesse de la citrouille juste avant l'impact avec le sol ?
Pour déterminer la vitesse finale de la citrouille, c'est à dire la norme du vecteur vitesse final, il suffit de déterminer les composantes de ce dernier, v, start subscript, x, end subscript et v, start subscript, y, end subscript.
Dans un premier temps, il faut déterminer les composantes du vecteur vitesse initial (v, start subscript, 0, x, end subscript et v, start subscript, 0, y, end subscript) en utilisant les définitions de sinus et de cosinus.
start text, c, o, s, end text, theta, equals, start fraction, start text, c, o, with, \^, on top, t, e, with, \', on top, space, a, d, j, a, c, e, n, t, end text, divided by, start text, h, y, p, o, t, e, with, \', on top, n, u, s, e, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, 0, x, end subscript, divided by, v, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start text, left parenthesis, O, n, space, u, t, i, l, i, s, e, space, l, a, space, d, e, with, \', on top, f, i, n, i, t, i, o, n, space, d, u, space, c, o, s, i, n, u, s, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, 0, x, end subscript, equals, v, start subscript, 0, end subscript, start text, c, o, s, end text, theta, start text, left parenthesis, O, n, space, e, x, p, r, i, m, e, space, end text, v, start subscript, 0, x, end subscript, right parenthesis
v, start subscript, 0, x, end subscript, equals, left parenthesis, 11, comma, 4, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, right parenthesis, ×, start text, c, o, s, end text, left parenthesis, 52, comma, 1, degrees, right parenthesis, start text, left parenthesis, O, n, space, r, e, m, p, l, a, c, e, space, l, e, s, space, g, r, a, n, d, e, u, r, s, space, p, a, r, space, l, e, u, r, s, space, v, a, l, e, u, r, s, space, n, u, m, e, with, \', on top, r, i, q, u, e, s, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, 0, x, end subscript, equals, 7, comma, 00, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, start text, left parenthesis, O, n, space, c, a, l, c, u, l, e, space, end text, v, start subscript, 0, x, end subscript, point, right parenthesis
(Remarque : Si cela semble encore de la sorcellerie mathématique indéchiffrable, se reporter à cet article pour mieux comprendre la décomposition d'un vecteur en ses composantes.)
Si l'on néglige la résistance de l'air, la composante horizontale du vecteur vitesse reste constante sur toute la durée du mouvement. La valeur initiale de cette composante horizontale déterminée plus haut, v, start subscript, 0, x, end subscript, equals, 7, comma, 00, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, est donc aussi sa valeur finale, v, start subscript, x, end subscript, equals, 7, comma, 00, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction.
Pour déterminer la composante verticale du vecteur vitesse initial, on utilise la même méthode que précédemment avec le sinus au lieu du cosinus.
start text, s, i, n, end text, theta, equals, start fraction, start text, c, o, with, \^, on top, t, e, with, \', on top, space, o, p, p, o, s, e, with, \', on top, end text, divided by, start text, h, y, p, o, t, e, with, \', on top, n, u, s, e, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, 0, y, end subscript, divided by, v, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start text, left parenthesis, O, n, space, u, t, i, l, i, s, e, space, l, a, space, d, e, with, \', on top, f, i, n, i, t, i, o, n, space, d, u, space, s, i, n, u, s, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, 0, y, end subscript, equals, v, start subscript, 0, end subscript, start text, s, i, n, end text, theta, start text, left parenthesis, O, n, space, e, x, p, r, i, m, e, space, end text, v, start subscript, 0, y, end subscript, point, right parenthesis
v, start subscript, 0, y, end subscript, equals, left parenthesis, 11, comma, 4, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, right parenthesis, ×, start text, s, i, n, end text, left parenthesis, 52, comma, 1, degrees, right parenthesis, start text, left parenthesis, O, n, space, r, e, m, p, l, a, c, e, space, l, e, s, space, g, r, a, n, d, e, u, r, s, space, p, a, r, space, l, e, u, r, s, space, v, a, l, e, u, r, s, space, n, u, m, e, with, \', on top, r, i, q, u, e, s, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, 0, y, end subscript, equals, 9, comma, 00, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, start text, left parenthesis, O, n, space, c, a, l, c, u, l, e, space, end text, v, start subscript, 0, y, end subscript, point, right parenthesis
Puisque la composante verticale v, start subscript, y, end subscript évolue lors du mouvement de ce projectile dans l'air, on doit utiliser une équation cinématique sur la direction verticale pour déterminer v, start subscript, y, end subscript. On ne connait pas l'intervalle de temps t et il n'est pas demandé dans l'énoncé, on va donc utiliser une équation cinématique qui ne contient pas t.
v, start subscript, y, end subscript, squared, equals, v, start subscript, 0, y, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, y, end subscript, delta, y, start text, left parenthesis, O, n, space, u, t, i, l, i, s, e, space, l, apostrophe, e, with, \', on top, q, u, a, t, i, o, n, space, c, i, n, e, with, \', on top, m, a, t, i, q, u, e, space, q, u, i, space, n, e, space, c, o, n, t, i, e, n, t, space, p, a, s, space, l, e, space, t, e, m, p, s, space, t, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, y, end subscript, squared, equals, left parenthesis, 9, comma, 00, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, right parenthesis, squared, plus, 2, ×, left parenthesis, minus, 9, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, ×, left parenthesis, minus, 18, start text, space, m, end text, right parenthesis, start text, left parenthesis, O, n, space, r, e, m, p, l, a, c, e, space, l, e, s, space, g, r, a, n, d, e, u, r, s, space, p, a, r, space, l, e, u, r, s, space, v, a, l, e, u, r, s, space, n, u, m, e, with, \', on top, r, i, q, u, e, s, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, y, end subscript, squared, equals, 434, start fraction, start text, m, end text, squared, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, start text, left parenthesis, O, n, space, f, a, i, t, space, l, apostrophe, a, p, p, l, i, c, a, t, i, o, n, space, n, u, m, e, with, \', on top, r, i, q, u, e, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, y, end subscript, equals, plus minus, square root of, 434, start fraction, start text, m, end text, squared, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, end square root, equals, plus minus, 20, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, start text, left parenthesis, O, n, space, p, r, e, n, d, space, l, a, space, r, a, c, i, n, e, space, c, a, r, r, e, with, \', on top, e, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 20, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, start text, left parenthesis, O, n, space, c, h, o, i, s, i, t, space, l, a, space, v, a, l, e, u, r, space, n, e, with, \', on top, g, a, t, i, v, e, space, p, u, i, s, q, u, e, space, l, a, space, c, i, t, r, o, u, i, l, l, e, space, s, e, space, d, i, r, i, g, e, space, v, e, r, s, space, l, e, space, b, a, s, point, right parenthesis, end text
Maintenant que les composantes horizontale et verticale du vecteur vitesse final sont connues, on utilise le théorème de Pythagore pour calculer sa norme.
v, squared, equals, v, start subscript, x, end subscript, squared, plus, v, start subscript, y, end subscript, squared, start text, left parenthesis, O, n, space, u, t, i, l, i, s, e, space, l, e, space, t, h, e, with, \', on top, o, r, e, with, \`, on top, m, e, space, d, e, space, P, y, t, h, a, g, o, r, e, point, right parenthesis, end text
v, squared, equals, left parenthesis, 7, comma, 00, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, minus, 20, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, right parenthesis, squared, start text, left parenthesis, O, n, space, r, e, m, p, l, a, c, e, space, l, e, s, space, c, o, m, p, o, s, a, n, t, e, s, space, d, u, space, v, e, c, t, e, u, r, space, v, i, t, e, s, s, e, space, p, a, r, space, l, e, u, r, s, space, v, a, l, e, u, r, s, space, n, u, m, e, with, \', on top, r, i, q, u, e, s, point, right parenthesis, end text
v, squared, equals, 482, start fraction, start text, m, end text, squared, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, start text, left parenthesis, O, n, space, f, a, i, t, space, l, apostrophe, a, p, p, l, i, c, a, t, i, o, n, space, n, u, m, e, with, \', on top, r, i, q, u, e, point, right parenthesis, end text
v, equals, 21, comma, 9, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, start text, left parenthesis, O, n, space, p, r, e, n, d, space, l, a, space, r, a, c, i, n, e, space, c, a, r, r, e, with, \', on top, e, point, right parenthesis, end text
La vitesse v, equals, 21, comma, 9, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction est donc la norme du vecteur vitesse final de la citrouille juste avant son impact au sol. Le schéma ci-dessous montre le lien entre ce vecteur et ses composantes.
On peut aussi déterminer l'angle d'inclinaison \phi du vecteur vitesse final en utilisant la définition de la tangente.
start text, t, a, n, end text, \phi, equals, start fraction, start text, c, o, with, \^, on top, t, e, with, \', on top, space, o, p, p, o, s, e, with, \', on top, end text, divided by, start text, c, o, with, \^, on top, t, e, with, \', on top, space, a, d, j, a, c, e, n, t, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, start subscript, x, end subscript, end fraction
start text, t, a, n, end text, \phi, equals, start fraction, 20, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, divided by, 7, comma, 00, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, end fraction
En prenant l'arctangente de chaque côté du signe égal, on obtient :
t, a, n, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start text, t, a, n, end text, \phi, right parenthesis, equals, t, a, n, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 20, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, divided by, 7, comma, 00, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, end fraction, right parenthesis
La partie gauche de l'équation donne simplement \phi, et l'application numérique de la partie droite donne :
\phi, equals, 71, comma, 4, degrees

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  • marcimus pink style l'avatar de l’utilisateur drira.houda9
    Pourquoi nous n'avons pas pris la valeur négative ici :
    v=21,9m/s ​(On prend la racine carrée.) ? la vitesse finale est dirigée vers le bas donc normalement négative non ?
    (2 votes)
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    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Grégory Deceliere
      v est la norme du vecteur vitesse, c'est-à-dire sa longueur ; donc c'est toujours positif ou nul. Ce sont les composantes vx et vy du vecteur vitesse qui peuvent être négatives ; ici par exemple, on prend la valeur négative de la racine carrée pour vy (approximativement -20,8 m par s).
      (2 votes)
  • sneak peak blue style l'avatar de l’utilisateur yasmine afkir
    comment faire pour calculer la hauteur d'une falaise là ou atterrissent deux projectiles à la meme vitesse de 50m/s
    le premier projetcile est lancé avec un angle de 60 degré et le deuxième de 45 degré ?
    (ils sont lancés du meme endroit et arrivent au meme endroit)
    (1 vote)
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