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Cours : Physique en secondaire > Chapitre 7 

Leçon 2: Cinématique : balistique

Déplacement total d'un projectile

Déterminer le vecteur déplacement total d'un projectile. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

salut et bienvenue dans ce nouvel exercice dans cette vidéo où on va s'intéresser au mouvement en deux dimensions d'un objet qu'on va jeter depuis le sol sur une plate forme donc on va le jeter dans les airs avec une vitesse initiale qui est ici représentée par v é v é le vecteur vitesse initiale représenté par cette flèche est en pointillé on a dessiné la trajectoire depuis le sol jusqu'à la plate forme et en blanc dessiné également le vecteur déplacement qu'on va appeler est ce petit f pour final c'est le vecteur déplacement finale de l'objet et donc c'est précisément ce vecteur qu'on va essayer de calcul est à présent grâce à l'équation général du mouvement en deux dimensions qu'on a déjà développé un certain nombre de fois qu'ils nous disaient que le déplacement le vecteur déplacement était égal à vitesse initiale x le delta tu es plus l'accélération / 2 x delta t au carré et cette équation vectorielle on va pouvoir l'a projeté sur les axes de notre repère on a un repère orthonormé origines je viens de tracer en cachette on a un axe horizontal dirigé paris est un axe vertical dirigé par j donc si on projette cette équation sur notre axe vertical et on va obtenir s y multiplie par j kiéthéga l'avait y x delta t x j plus à y divisé par deux fois delta théo carré x j alors maintenant une fois qu'on a cette équation selon j gardons à l'esprit ce qu'on cherche ce qu'on cherche c'est obtenir est ce petit fps petit f et bien c'est tout simplement un vecteur qui est composé d'une composante horizontale ne connaît pas est une composante verticale cette composante verticale on la connaît 1 en effet c'est tout simplement la hauteur à laquelle se situe une plate forme et ça ce sera une donnée du problème on la verra tout à l'heure donc ce qu'on cherche finalement ça va être s x petit f donc le déplacement total horizontale alors à partir de cette équation est bien ce qui va nous permettre d'obtenir est expéditif ça va être le temps passé en l'air on va essayer d'extraire delta t à l'instant finale et pour ça voyons voir un peu comment on va pouvoir simplifier notre équation on peut simplifier quelques petites choses on va déjà tout simplement rendre cette équation vectorielle en une équation tout simplement algébrique où on va regarder que les valeurs algébrique et on va supprimer les vecteurs et voyons comment est-ce qu'on peut simplifier un peu plus encore bien l'accélération qu'est ce qu'elle vaut le vecteur d'accélération a en fait puisqu'on a un objet qui à partir du moment où il quitte le sol et bien en fait est en chute libre puisque il n'a qu'une force qu'il s'applique sur lui c'est son poids et l'accélération qui subissent est donc tout simplement l'accélération de la pesanteur j'ai donc à y qui est égal à a bien sûr et qui est égal et ghazi âgés donc finalement déterminé le temps passé en l'air va revenir à résoudre l'équation du second degré ici présentes où on a on peut identifier les différents paramètres avec ici notre paramètres à v y qui est pour bs y attention on est à gauche du sénégal par rapport au reste de mon expression donc ici on a moins c est juste pour rappel les deux racines d'une telle équation si elle existe et si elles sont bien deux elles sont égales à x quitté gala - b plus ou moins racine carrée de becquart et -4 assez divisé par deux a donc voilà c'est tout simplement ça qu'on va lire et écrire et on va le réécrire donc pour delta t - bc donc égale à - vais y y plus ou moins alors ça on va voir ça juste après racine carrée de des carrés dont vais y au carré - 4 x a donc quatre fois à y / 2 dont deux fois à y x c'est donc x - s y est le tout on va le diviser par 2 a donc / à y donc nous voilà avec une belle expression littérale pour delta tait et on va maintenant passer à l'application numérique alors avant de passer à l'application numérique je vais te donner les données du problème les constantes qui vont me permettre de faire le calcul donc on a pour s y petit f6 grec petit f ça correspond tout simplement à la hauteur donc s y petit f on va dire que c'est égal à 10 m donc on à la hauteur du mur maintenant la vitesse initiale la norme de la vitesse initiale on va dire qu'elle est égal à 30 mètres par seconde et donc la dernière valeur dont on a besoin c'est tout simplement l'accélération de l'objet qui est égal à l'accélération de la pesanteur l'accélération de la pesanteur que tu connais la constante j'ai pour la terre qui est égale 9,8 m par seconde au carré le mais attention ici ça cg mais nous ce dont on a besoin c'est à y ait en fait il se trouve que à y c'est la valeur algébrique de l'accélération et l'accélération dans notre repère oh oui j elle est dans le sens opposé du vecteur directeur j donc ici on a à y qui est égal à - g qui est égal à -9 8 mètres par seconde au carré à y ça n'est pas la norme du vecteur accélérations mais c'est bien sa valeur algébrique et enfin la dernière données nécessaires va être l'angle teta par rapport à l'horizontale que prend le vecteur vitesse initiale et état on va dire que dans notre problème il est égal à 80 degrés et maintenant avant de faire notre application numérique on va voir comment choisir entre le plus et le moins et pour ça il faut qu'on réfléchisse aux problèmes physiques ici la trajectoire en pointillés nous montre qu'il existe deux positions pour notre objet pour lequel on va avoir s y qui sera égal à 10 nous on veut bien sûr et ses claques finale qui est égale à 10 mais on a aussi un s y intermédiaires qui est égale à 10 que tu voies tracées ici donc voyons si on peut voir qu'elle delta t va correspondre déjà avant de faire le calcul or s y final à cette position de l'objet est bien le delta t on veut qu'ils soient le plus grand possible puisque ici forcément le temps écoulé entre le départ et cet instant-là est forcément plus faible qu'entre le départ et l'instant final donc delta t on veut qu'ils soient le plus grand possible ici la composante verticale du vecteur vitesse initiale est orienté dans le même sens que le vecteur directeur j donc moins vais y ça va être une valeur négative on sait déjà que à y c'est une valeur négative et comme la racine carrée est toujours positive ici on va avoir une valeur négative plus ou moins une valeur positive / une valeur négative et pour que delta t soit le plus grand possible il faut que le numérateur soit le plus petit possible c'est à dire le plus négatif possible étant donné qu'on va diviser par une valeur négative donc moins vais y - racine carrée de toute cette partie là / à y va être la valeur de delta tu es la plus grande et donc va correspondre à cette position donc on va pouvoir enlever le plus est considérée uniquement le moins pour notre application numérique ça c'est une toute petite aparté pour te faire prendre bien de conscience une fois de plus qu' il est toujours nécessaire quand on fait un problème physique de réfléchir à la physique et as qui se passe réellement dans notre problème plutôt que de se lancer dans la résolution mathématiques de nos formules puisque on peut très bien avoir une bonne résolution mathématiques pour une mauvaise résolution physique de notre problème en l'occurrence si on avait pris delta t était égal à cette formule avec le plus et donc pour faire mon implication numérique que je vais noté à n ici vie y c'est la projection du vecteur vitesse sur l'axé vertical et donc vais y est égal à 30 fois sinus de 80 puisque aussi on à l'angle d'état qui est égal à 80 bien sûr sinus de teta sinus de 80 donc ça c'est égal avait y a y ont la ix ici et s y qui est en fait égal pour notre delta t delta tu es petit f qui va correspondre à un s y final donc en fait on va remplacer s y par s y petit f donc dit m et maintenant je peux rentrer ça dans ma calculatrice et si j'appuie sur entrée j'ai 5,66 etc alors avant de donner le résultat et de l'arrondir sans vraiment réfléchir il va falloir réfléchir au nombre de chiffres significatifs qu'on va avoir dans notre expression est en effet le chiffre nombre de chiffres significatifs va être important puisqu'on peut pas donner n'importe quelle précision puisque on n'a pas toutes nos données avec une précision infinie en l'occurrence on a dans toutes nos données deux chiffres significatifs 90 39 8 tout ça c'est de chiffres significatifs donc on va donner notre résultat avec deux chiffres significatifs puisque on ne connaît pas la précision au delà de deux chiffres significatifs donc ça n'aurait pas de sens de donner un résultat avec plus de deux chiffres significatifs donc en l'occurrence deux chiffres significatifs ça va nous donner ici un seul chiffres après la virgule donc on va arrondir à 5,6 mais comme on a 1 6 derrière on va rendirent à 5,7 secondes le budget va passer en l'air 5,7 secondes avant de retomber sur la plateforme juste ici et maintenant pour pouvoir calculer la distance horizontale parcouru c'est à dire la projection de s p tit f sur l'axé des abscisses et bien je vais rire reprendre cette équation là et l'a projetée sur l'axé des abscisses et pourquoi ça va être intéressant dans notre cas c'est que l'accélération elle est parfaitement verticale donc la composante horizontale de l'accélération est nul un petit hic c'est égal à zéro donc si je projette cette équation sur l'a26 j'obtiens est six fois y est égal à v x x delta t x y et donc pour obtenir le déplacement horizontal total à l'instant final j'ai tout simplement qu'à remplacer delta tu es ici par delta t final et je vais obtenir le sx finale donc je peux rajouter j'ai juste à rajouter un petit f ici et ici et pour l'application inhumé ricky de sx petit f cette fois ci je dois rentrer dans ma calculatrice vx qui est égal à 30 fois caussinus de 80 cette fois-ci x delta tu es petit f qui est égal à 5,7 et donc si je rentre ça dans ma calculatrice j'obtiens 29,69 et cetera et comme encore une fois j'ai que deux chiffres significatifs le plus petit nombre de chiffres significatifs que j'ai dans mes données c2 et bien j'arrondis à deux chiffres significatifs donc en l'occurrence ici j'ai deux chiffres significatifs ça va être égal à 30 donc on obtient pourrait six finales 30 mètres et pour essayer d'être vraiment complet dans cet exercice on a vu qu'on avait s y petit elfe qui est égale à 10 m en asx petit elfe qui est égal à 30 mètres et si on veut obtenir maintenant la norme du vecteur sf il nous suffit tout simplement de prendre la racine carrée de la somme des carrés de chacune des composantes ça c'est un calcul que tu as l'habitude de faire qui est classique on prend racine carrée de 10 au carré plus 30 au carré et ça ça vaut tout simplement à la calculatrice 31,6 22 et c est encore une fois on a deux chiffres significatifs de chiffres significatifs dans ce résultat ça nous donne 32 m pour le déplacement total final voilà j'espère que c'était petit exercice t'as plus c'est pas fini si tu as encore un peu de courage on va voir dans la vidéo suivante on va s'intéresser à la vitesse finale de l'objet c'est à dire la vitesse au moment où l'objet impact la plateforme ici en surface et donc je te donne rendez-vous dans la prochaine vidéo