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Oscillation harmonique : Introduction

Le mouvement d'oscillation harmonique désigne le mouvement d'une masse oscillante sous l'action d'une force de rappel proportionnelle et opposée au déplacement. L'oscillation harmonique est décrite mathématiquement par une fonction sinusoïdale de fréquence et d'amplitude constantes. C'est par exemple le mouvement d'une masse accrochée à un ressort. Créé par Sal Khan.

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Loris Chavée
    Bonjour.
    à 8 minutes 50 vous insistez sur le fait que x(t) (donc je suppose que l'on parle ici de l'élongation en fonction du temps?) vaut A.cos(w.t).

    Dans mon cours je n'ai pas un cosinus mais bien un sinus! Pourquoi ? Merci pour votre aide!
    (1 vote)
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    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Mouhoubi Kamel
      La fonction cos est une fonction sin décalée de pi/2, ce sont donc des fonctions identiques qui ont juste des points de départ décalés. On peut très bien utiliser la fonction sin et arriver au même résultat à condition d'avoir x=0 décalé d'un quart de période c'est à dire au point d'élongation maximale ou minimale. Si mon 0 est placé à l'endroit ou l'amplitude est max au lieu d'être placé entre l'amplitude max et min alors je devrais travailler avec des sinus...
      C'est donc une simple question de référentiel.
      (5 votes)
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Transcription de la vidéo

salut on va essayer dans cette vidéo de trouver grâce à notre intuition le mouvement d'un ressort que l'on aurait écarté de sa position d'équilibré on essaiera ensuite d'obtenir une équation différentielle du mouvement et de complexifier un petit peu les choses de plus en plus mais commençons d'abord par le mouvement d'un ressort donc j'ai dessiné ici un ressort qui est attachée à un mur est attaché aussi à son autre extrémité à une masse mg en dessous un axe x et en 0 c'est la position à l' équilibre du ressort donc ici tu vois bien que leur soeur rose il a l'air un petit peu étiré donc on l'a étiré jusqu'à une position a donc il est écarté d'une longueur à de sa position d'équilibré et qu'est ce qui se passe donc si je lâche la masse m et bien la masse aiment leur sort va se contracter et la masse m va se déplacer dans direction dx négatif et elle valait donc vers la gauche avec une vitesse maximale au point zéro et ensuite elle va décélérer en arrivant aux points -1 et le ressort à ce moment là va à nouveau s'étirer et la masse va accélérer vers la droite pour atteindre une vitesse maximale en 0 et à nouveau atteindre une vitesse nul en a si on réfléchit en termes d'énergie cinétique et énergie potentielle au point à ou moins à l'énergie potentielle de la masse liés à la force du ressort elle est maximale et l'énergie cinétique elle est minimale puisque la vitesse est nul donc elle est nulle et l'énergie cinétique est maximale au point zéro c'est-à-dire au point d' équilibre du ressort donc voilà avec les mains comment est ce qu'ils ont décrit le mouvement du ressort très simplement mais dans cette vidéo on va chercher à exprimer de façon un peu plus analytique l'expression de x qui est une fonction de tes donc cette fois ci c'est un petit peu différent on cherche la position d'une masse sur un axe et qui va dépendre du temps et donc c'est ce qu'on va chercher à résoudre dans cette vidéo et tu auras remarqué que je ne t'ai pas encore parlé de force que tu connaisses la force de rappel d'un resort puisqu'ici on va s'attacher simplement à décrire le mouvement de cette masse et donc j'ai déjà dessiné deux axes ici un axe des abscisses qui va être lax du temps et un axe d ordonner qui va être lax x de la position de la masse sur notre axe horizontal ici ça va être la kz désordonnée qui représente la position horizontale en fonction du temps et on va commencer par placer sur ce graphique des positions de la masse à certains moments précis que l'on connaît déjà on connaît les positions extrêmes de la masse on sait qu'elle va aller de 1 à -1 et ensuite revenir en a mais elle ne devrait a priori pas dépasser cette position dont on peut déjà placé ici à et -1 à l'opposé et donc je vais tracé de droite comme ceux ci donc on sait que notre fonction va être borné par ces deux droites horizontales alors on va définir autre chose maintenant on va définir t&t qui va être la période la période c'est le temps qu'il faut à la masse pour aller d'un point d'une position d'un endroit sur notre axe et de revenir après une oscillation c'est à dire que admettons qu'on parte de l'instant initiale en à la masse va revenir va aller en moins à elle va revenir en a et bien le temps qu'il faut pour ce cet aller retour et bien c'est et la période donc je peux déjà ici sachant que la masse par du point à à l'instant zéro ici là j'ai zéro l'origine de mes deux axes et bien comme la masa l'instant initial est ici à un moment grant et un moment grand thé et bien la masse va se retrouver à nouveau en a donc je sais déjà que j'ai un point ici maintenant on sait aussi qu'il faut t divisé par deux pour se retrouver en moins 1 puisque la masse mais autant de temps pour aller en moins n'a que pour revenir on a donc si je place t&t divisé par deux et bien la masse va être en moins à est maintenant à quel moment elle va se retrouver en 0 eh bien elle va se trouver en t / 2 / 2 donc ce sera hanté sur 4,1 en 1/4 de période ici on va appeler ça une période en 1/4 de période la masse se trouve à la position d' équilibre donc j'ai un deux nouveaux points ici et ici maintenant si je continue la g3 t sur deux et quatre tu es sûr de autrement dit 2 t viens je vais à nouveau avoir la masse ici la hm3 tu es sûr de ici et ici donc maintenant on va essayer de relier ce point ce point tous ces points ici que je reprends en verre pour distinguer un de certaines abscisse remarquable voilà donc pour relier ses points est ce qu on les relit avec des droites ou plutôt avec une ligne un peu courbé et bien déjà réfléchissons qu'est ce qui se passe si jamais il est relié avec une droite eh bien ça voudrait dire tout simplement par exemple qu' on aurait une vitesse ici qui serait constante puisque souviens toi que la vitesse c'est égal à la pente de la tangente à la courbe du déplacement en fonction du temps et c'est aussi égale à la dérive et du déplacement des x / d'été autrement dit exprime or on sait que la masse commence avec une vitesse nul atteint une vitesse maximale autour de la position d' équilibre du ressort et atteint à nouveau une vitesse nul au moment de faire demi tour donc la vitesse ne peut pas être constante donc il va falloir relier les points de façon un peu plus courbé donc si on relit ce premier point où x est égal à a on va le relier à x est égal à zéro x est égal à moin na comme ceux ci et ensuite on va faire une petite courbure pour pouvoir remonter tout doucement voilà comme ceci est donc finalement là on obtient une courbe qu'on va appeler une courbe sinusoïdale on appelle ça une courbe sinusoïdale parce que ça ressemble à la courbe représentatives de la fonction sinus ici je pourrai continuer hélas on peut aussi remarquer que lorsque la dérive et de cette fonction x de thé nuls autrement dit qu'est ce que ça veut dire ça à la dérive est nul ça veut dire que la tangente à la courbe est horizontale et bien la tangente à la courbe et l'autorisant talent à quel moment elle est horizontale au point aux extraits membres au maximum et au minimum de la courbe eh bien ça ça veut dire que la vitesse est nul à ces points là on aura l'occasion de revoir tout ça dans d'autres exemples mais voici donc la courbe représentatives de la fonction x 2 t mais bon maintenant qu'on a dit que c'est une fonction ce unizo idal ça reste pas très précis donc on va essayer de réfléchir à quelle peut être la forme de cette fonction x 2 t et on va penser à notre répertoire de fonction et je dirais comme ça que ça ressemble bien un caussinus alors pourquoi est ce que je dis hein caussinus et j'espère que tu t'es dit aussi que ça devait être proche d'un caussinus pourquoi et bien parce qu'on sait que caussinus 2 0 c'est égal à 1 alors que sinus 2 0 merci nice 2 0 c'est égal à zéro donc puisque notre fonction en 0 l et elle vaut et bien non pas un mais à et bien on pourrait avoir quelque chose comme caussinus x a donc on va écrire que on a notre x de thé qui semble être égal a à x caussinus 2 et alors là on va pas mettre tout simplement t1 puisque la période d'oscillations dans l'autre de notre fonction x2 t elle est propre ressort et ça va pas être deux piles et aucune raison que ce soit de pi de pisser la période du caussinus et du sinus donc on va dire qu'on va multiplier t par une constante w et tout le but du jeu maintenant va être de déterminer quelle est la forme de ce w et on peut déjà imaginer que ils risquent d'être fonction de la masse de notre de notre objet et peut-être aussi de la constante de notre ressort mais ça on va le voir dans une prochaine vidéo dans laquelle on va faire un bilan de force et on partira dans du calcul analytique pour obtenir l'équation différentiel du mouvement je n'en dis pas plus rendez vous à la prochaine vidéo