Qu'est-ce que la deuxième loi de Newton ?

Dans le domaine de la physique basique, la deuxième loi de Newton est l'une des lois les plus importantes que vous apprendrez. Elle est utilisée dans quasiment chaque chapitre de n'importe quel manuel de physique, donc il est important de maîtriser cette loi le plus tôt possible !

Nous savons qu'un objet n'accélère que si des forces s'exercent sur ce dernier. La deuxième loi de Newton nous permet de savoir précisément à quel point un objet va accélérer pour une force totale donnée.

Ici, $a$‍ est l'accélération de l'objet (en m/s²), $\mathrm{\Sigma }F$‍ est la force totale (aussi appelée somme des forces ou résultante des forces) s'exerçant sur l'objet (en N), et $m$‍ est la masse de l'objet (en kg).

En considérant la deuxième loi de Newton telle qu'elle est écrite plus haut, on observe que l'accélération est proportionnelle à la somme des forces $\mathrm{\Sigma }F$‍, et qu'elle est inversement proportionnelle à la masse $m$‍. Autrement dit, si on doublait la somme des forces s'exerçant sur l'objet, son accélération doublerait aussi. De la même façon, si on doublait la masse de l'objet, son accélération serait divisée par deux.

Une force peut exercer une traction ou une poussée, et la résultante des forces $\mathrm{\Sigma }F$‍ est la force totale, ou somme des forces, exercée sur un objet. Attention ! Faire la somme de vecteurs, ce n'est pas comme additionner des nombres. Il faut aussi tenir compte de la direction. La résultante des forces est la somme vectorielle de toutes les forces agissant sur un objet.

Prenons, par exemple, deux forces de normes 30 N et 20 N, dirigées respectivement vers la droite et la gauche, tel que représenté sur le mouton ci-dessus. Si on suppose que le sens positif est orienté vers la droite, la résultante des forces exercées sur le mouton sera la suivante :

Si d'autres forces horizontales étaient exercées, il suffirait d'ajouter toutes les forces dirigées vers la droite et de soustraire toutes les forces dirigées vers la gauche pour obtenir la résultante des forces.

La force étant un vecteur, on peut également écrire la deuxième loi de Newton sous la forme suivante : $\overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Sigma }\overrightarrow{F}}{m}}$‍. Cette écriture montre que le vecteur accélération total est de même direction et même sens que le vecteur de la résultante des forces. Autrement dit, si la résultante des forces $\mathrm{\Sigma }F$‍ est dirigée vers la droite, l'accélération $a$‍ sera également dirigée vers la droite.

Si le problème comporte de nombreuses forces avec des directions différentes, le plus simple est souvent d'analyser chaque direction séparément.

En d'autres mots, on commence par appliquer la deuxième loi de Newton à l'axe horizontal :

Cela montre que l'accélération $a_x$‍ suivant l'axe horizontal est égale à la composante horizontale de la résultante des forces, $\mathrm{\Sigma }{F}_x$‍, divisée par la masse.

On peut écrire la loi de la même manière pour l'axe vertical :

Cela montre que l'accélération $a_y$‍ suivant l'axe vertical est égale à la composante verticale de la résultante des forces, $\mathrm{\Sigma }{F}_y$‍, divisée par la masse.

Lorsque vous utilisez ces formules, vous devez veiller à ne compter que les forces horizontales dans l'expression horizontale de la deuxième loi de Newton et que les forces verticales dans l'expression verticale de la loi. La raison pour laquelle il faut procéder ainsi est que les forces horizontales n'ont d'effet que sur l'accélération horizontale et les forces verticales n'ont d'effet que sur l'accélération verticale. Imaginons, par exemple, une poule de masse $m$‍, sur laquelle sont appliquées quatre forces de normes respectives $F_1$‍, $F_2$‍, $F_3$‍ et $F_4$‍ et dont la direction est précisée sur le schéma ci-dessous.

Les forces $F_1$‍ et $F_3$‍ ont un effet sur l'accélération horizontale puisqu'elles sont dirigées suivant l'axe horizontal. Si on applique la deuxième loi de Newton suivant l'axe horizontal, sachant que le sens positif est vers la droite, on obtient :

De la même manière, les forces $F_2$‍ et $F_4$‍ ont un effet sur l'accélération verticale de la poule, car elles sont dirigées suivant l'axe vertical. Si on applique la deuxième loi de Newton suivant l'axe vertical, sachant que le sens positif est vers le haut, on obtient :

Attention ! Il arrive fréquemment de se tromper et de comptabiliser une force verticale dans l'expression horizontale de la loi, et inversement.

Lorsqu'on a des forces ni verticales ni horizontales, mais "obliques", on peut malgré tout appliquer la deuxième loi de Newton en analysant séparément les composantes horizontales et verticales de ces forces. Mais attention, les forces dirigées suivant un certain angle ont un effet à la fois sur l'accélération horizontale et sur l'accélération verticale de l'objet.

Par exemple, supposons que la force $F_3$‍ exercée sur la poule soit désormais orientée suivant un angle $\theta$‍, tel que représenté ci-dessous.

La force $F_3$‍ a un effet à la fois sur l'accélération horizontale et sur l'accélération verticale, mais seule la composante horizontale de $F_3$‍ agira sur l'accélération horizontale et seule la composante verticale de $F_3$‍ agira sur l'accélération verticale. On décompose donc la force $F_3$‍ en ses deux composantes horizontale et verticale, comme indiqué ci-dessous.

Il apparaît clairement que la force $F_3$‍ est égale à la somme vectorielle de la force horizontale $F_{3x}$‍ et de la force verticale $F_{3y}$‍.

Grâce aux règles de trigomométrie, on peut exprimer la norme de la composante horizontale comme suit : $F_{3x}=F_3\text{cos}\theta$‍. De manière similaire, on obtient que la norme de la composante verticale est égale à $F_{3y}=F_3\text{sin}\theta$‍.

On peut désormais appliquer comme d'habitude la deuxième loi de Newton suivant l'axe horizontal, en comptabilisant toutes les forces (et composantes de force) horizontales.

De la même manière, on peut appliquer la deuxième loi de Newton suivant l'axe vertical, en comptabilisant toutes les forces (et composantes de force) verticales.

Une tortue de 1,2 kg nommée Newton est soumise à quatre forces, tel que représenté ci-dessous.

Pour trouver l'accélération horizontale, on va appliquer la deuxième loi de Newton suivant l'axe horizontal.

Pour trouver l'accélération verticale, on va appliquer la deuxième loi de Newton suivant l'axe vertical.

Un morceau de fromage immobile est suspendu à deux fils, qui exercent des forces de normes $F_1$‍ et $F_2$‍, tel que représenté ci-dessous. La force de pesanteur, dirigée vers le bas, s'exerce également sur le fromage. Elle est de norme $20\text{ N}$‍.

Pour commencer, on peut appliquer l'une ou l'autre des versions de la deuxième loi de Newton. Puisqu'on ne connaît aucune des forces horizontales, mais qu'on connaît la norme de l'une des forces verticales — $20\text{ N}$‍, on va d'abord appliquer la formule suivant l'axe vertical.

Maintenant, pour déterminer la norme de la force $F_2$‍, on va appliquer la deuxième loi de Newton suivant l'axe horizontal.