Qu'est-ce que l'accélération centripète ?

Un objet qui se déplace à vitesse constante peut-il accélérer ? Oui ! C'est difficile à comprendre au premier abord, mais c'est parce qu'on a tendance à oublier qu'un changement de direction dans la trajectoire d'un objet, même s'il se déplace à vitesse constante, correspond à une accélération.

L'accélération correspond à une variation du vecteur vitesse. Or, le vecteur vitesse peut voir son intensité varier (lorsque la vitesse change), sa direction, et même les deux. Dans un mouvement circulaire uniforme, la direction du vecteur vitesse change constamment. Il y a donc toujours une accélération associée, même si la vitesse reste constante. C'est l'accélération que vous ressentez dans un virage en voiture : tournez le guidon tout en maintenant votre vitesse, et vous ferez l'expérience d'un mouvement circulaire uniforme. Vous ressentirez une accélération latérale, car la voiture et vous changez de direction. Plus le virage est serré et plus votre vitesse de croisière est élevée, plus l'accélération est notable. Cet article est consacré à la direction et à l'intensité de cette accélération.

La figure ci-dessous représente la trajectoire circulaire d'un objet se déplaçant à vitesse constante. Le vecteur vitesse instantanée est indiqué en deux points de la trajectoire. Le schéma avec le triangle RPQ représente la différence entre les deux vecteurs vitesse, autrement dit la variation du vecteur vitesse. Or, le vecteur accélération est de même direction que la variation du vecteur vitesse. On peut voir qu'elle est dirigée vers le centre de la trajectoire circulaire. L'accélération d'un objet se déplaçant selon un mouvement circulaire uniforme (sous l'effet d'une résultante de forces extérieures non nulle) est appelée accélération centripète $a_c$‍. Le terme « centripète » signifie « vers le centre » ou « qui tend à se rapprocher du centre ».

Le vecteur accélération centripète est toujours dirigé vers le centre du cercle, mais quelle est son intensité ? On remarque que le triangle $PQR$‍ formé par les vecteurs vitesse et le triangle $ABC$‍ formé par le rayon $r$‍ et le déplacement linéaire $\mathrm{\Delta }r$‍ sont semblables. Ces triangles sont également isocèles, car ils ont deux côtés égaux. Les deux côtés égaux du triangle formé par les vecteurs vitesse sont les vitesses $v_1=v_2=v$‍. En outre, lorsque l'angle tend vers 0, le déplacement linéaire peut être considéré égal à la longueur de l'arc. Ainsi, en appliquant les propriétés des triangles semblables, on peut écrire : ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{v}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{r}}$‍.

Comme l'accélération est égale à ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}}$‍, on va d'abord isoler $\mathrm{\Delta }v$‍ :

Si on divise les deux côtés de l'égalité par $\mathrm{\Delta }t$‍, on obtient :

Sachant que ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}}=a_c$‍ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}}=v$‍, avec $v$‍ la vitesse linéaire ou tangentielle, on peut écrire que l'intensité du vecteur accélération centripète est : $a_c={\displaystyle \frac{v^2}{r}}$‍.

Cette accélération est celle d'un objet suivant une trajectoire circulaire de rayon $r$‍ à vitesse $v$‍. On peut voir que l'accélération centripète sera plus importante si la vitesse est élevée et si la courbe de la trajectoire est serrée (donc de faible rayon), comme cela avait noté dans l'expérience d'une voiture dans un virage. Cela reste toutefois surprenant de voir qu'$a_c$‍ est proportionnelle au carré de la vitesse. Cela signifie, par exemple, qu'il est quatre fois plus difficile de prendre un virage à 100 km/h qu'à 50 km/h. Et comme vous l'avez sûrement déjà remarqué, l'accélération centripète $a_c$‍ est bien plus importante dans un virage serré.

Une centrifugeuse est un dispositif rotatif utilisé pour séparer les composants d'un mélange en fonction de leur densité. Une forte accélération centripète réduit considérablement le temps nécessaire à la séparation et permet de traiter également de petits échantillons. Les centrifugeuses sont utilisées dans diverses applications scientifiques et médicales, notamment pour isoler des organismes unicellulaires, tels que bactéries, virus et globules, en suspension dans un milieu liquide ou des macromolécules, telles que l'ADN et des protéines, dans une solution.

Les centrifugeuses sont souvent évaluées en fonction du rapport entre leur accélération centripète et l'accélération due à la pesanteur, $g$‍. Dans le vide, on peut facilement obtenir une accélération centripète maximale de plusieurs centaines de milliers de fois $g$‍. Des centrifugeuses à taille humaine sont utilisées pour la formation des astronautes et tester leur résistance aux effets d'une accélération supérieure à celle de la gravité de la Terre.

Quelle est l'intensité de l'accélération centripète d'une voiture parcourant un virage de 500 m de rayon, à une vitesse de 25 m/s (environ 90 km/h) ? Voir la figure ci-dessous. Comparer cette accélération à l'accélération due à la pesanteur.

Calculer l'accélération centripète d'un point placé à 7,5 cm de l'axe d'une ultracentrifugeuse tournant à $7,5\times {10}^4$‍ tours par minute.