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Dérivée de aˣ (pour tout nombre réel a)

La dérivée de la fonction x ↦ aˣ pour tout a > 0. Application au calcul de la dérivée de la fonction x ↦ 8×3ˣ.

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Transcription de la vidéo

alors on avait vu dans une vidéo précédente que la fonction exponentielle depuis 106 eh bien elle avait une propriété très particulière qu'elle qu'elle coïncide avec sa dérive et donc quand je fus calcule la dérive et de l'expo n'en ciel de x eh bien je trouve la fonction exponentielle elle-même ça c'est vraiment quelque chose d'assez surprenant c'est vraiment une des particularités de cette fonction exponentielle ça veut dire que en tout point de la courbe représentatif de cette fonction la pente de la tangente à la même valeur que l'ordonné du point considérée voilà donc c'est vraiment assez surprenant et d'essayer une des choses qui font que ceux nombreux est vraiment si particulier alors est-ce que sa chance à on peut réussir à calculer la dérivée d'une autre fonction exponentielle par exemple de la fonction à élever à la puissance x donc une fonction une fonction puissance mais d'une base différente 2e voilà donc on va essayer de faire ça on va essayer de calculer la dérive et de cette fonction exponentielle de base à dit qu'on allait essayer de se servir de ça donc il faudrait qu'on arrive à faire intervenir le nombr e dans cette expression là dans l'expression de notre fonction exponentielle alors pour ça il faut se rappeler de ce que c'est vraiment que le logarithme d'un nombre est en fait si je prends le logarithme d'un nombre à et bien en fait par définition c'est l'exposant auquel il faut élever le nombre eux pour obtenir à ça veut dire que par définition eux élevés à la puissance logarithme de à et bien c'est égal à à ça c'est vraiment la définition du logarithme c'est quelque chose de très important qu'il ne faut pas simplement accepté il faut vraiment que tu comprennes que ça vient de la définition du logarithme naturel de à alors du coup ici je vais pouvoir écrire à puissance x différemment je vais remplacer à part cette expression là le élevé à la puissance logarithme de à donc je vais écrire ça comme ça à élever à la puissance x c'est eux élevés à la puissance logarithme de a le taux élevé à la puissance x le taux élevé à la puissance x et puis ici en fait j'ai deux exposants empilés donc je vais pouvoir appliquer la règle de calcul et ça me donne eux élevés à la puissance logarithme de a multiplié par x tu vois que maintenant si j'appelle cet exposant je l'appelle eu 2 x eu de xc logarithme de a multiplié par x et bien la fonction appui 106 jeunes expriment de cette manière là c'est eux élevés à la puissance eu 2 x tu vois que finalement j'ai exprimé ma fonction exponentielle de base à comme une composée de deux fonctions la fonction eu de x suivi de la fonction exponentielle donc je vais pouvoir dérivés la fonction appui 106 en utilisant le fait que c'est une fonction composer à puissance x la dérivée de la puissance x eh bien c'est la dérive et 2e élevé à la puissance du 2x et donc c'est une prime de x x la dérivée de la fonction exponentielle calculé en q2 et x donc la dérivée de la fonction exponentielle s'est elle même donc ici je vais x eux élevés à la puissance eu 2 x alors eu prime une prime de x et bien eu 2 x est une constante x x un look de a ici c'est une constante donc une prime de x c'est cette constante c'est donc logarithme de à et donc finalement j'obtiens cette expression là delà de la dérivée de la fonction à puissance xc logarithme de à x eux élevés à la puissance logarithme de à x x alors ça y est là on va terminer on a effectivement une expression de la dérive et qu'on cherchait mais je vais travailler un petit peu plus parce que je voudrais à faire apparaître une relation un peu plus clair entre la puissance x et sa dérivée et ça je vais faire tout simplement en partant en travaillant sur ce terme là et en faisant en fait la démarche inverse que celle que j'ai fait ici le lv la puissance logarithme de à x x en avait dit que c'était eux puissance logarithme de a le taux élevé à la puissance x et ça on avait dit que c'était à élever à la puissance x du coup ce terme là en fait ça s'est élevé à la puissance x et du coup pour conclure je peux dire que la fonction à élever à la puissance x la dérivée de la fonction a été à la puissance x et bien c'est logarithme de a multiplié logarithme naturel de à x a élevé à la puissance x voilà donc tu vois qu'on obtient quelque chose de très très proche de cette relation là sauf qu'on a ce facteur multiplicatif logarithme naturel 2 à 1