Théorème des accroissements finis

voici le théorème de la valeur moyenne qu'on va lire et des traités ensemble soit f une fonction définie sur un intervalle fermé allant de a à b f et continue d'une part si f et continue sur cet intervalle et dérives abl sur ce même intervalle sauf que l'intervalle et ouvert plutôt que fermer et on va expliquer ça plus tard pourquoi elle a besoin d'être continuer des rivales pour que ce que je vais dire ici soit vrai alors il existe un nombre c il existe un nombreux/ses appartenant à l'intervalle ouvert allant de a à b tel que fb - f2 à sur b - za et là tu reconnais la formule d'un coefficient directeur on va voir ce à quoi ça correspond et bien ce f2p - f2 a / b - za est égal à f prime de c il existe en tout cas un nombreux c'est elle que cette égalité est vérifiée alors qu'est ce que ça veut dire tout ça pour l'expliquer j'ai pris ici là la représentation graphique d'une fonction f et on peut imaginer que cette fonction f pour comprendre davantage ce que veut dire ce théorème de la valeur moyenne que cette fonction f est une fonction position d'une particule est bien ce que dit finalement le théorème de la valeur moyenne c'est que si cette particule est en train de bouger du point a au point b et bien imaginons qu'en moyenne sa vitesse était de 60 kilomètres heure cela veut dire que au moins une fois quelque part entre a et b sa vitesse instantanée était de 60 kilomètres/heure également et ça c'est la signification de cette égalité alors maintenant on va voir ça de manière visuelle donc fb - f2 a donc ici on à f2 b ici on à f2 à et ici on aa et ici on a b donc f2b - f2 à qui correspond à la différence d ordonner f2b - f2 à et que je divise par b - za hebinger fait différent et ordonné / différence des abscisses donc cette expression est bien le coefficient directeur de cette droite entre ces deux points là et le coefficient directeur de cette droite entre ces deux points c'est la variation moyenne de la fonction f donc si la fonction est faite une fonction position c'est la vitesse moyenne de la particule entre a et b donc c'est de là que vient le la partie valeur moyenne de notre théorie de la valeur moyenne ici on a la valeur moyenne de la dérive et 2f entre a et b est ici qu'est ce qu'on a on nous dit qu'il existe un c tels que f prime de c est égal à 7 valeurs moyennes est égal au coefficient directeur de cette droite bleus eh bien oui visuellement des gens on peut on peut le voir intuitivement qu'il ya un point ici et un point ici à peu près où la tangente est parallèle à notre à notre droite bleus et donc il est ici on a vu qu'il existe au moins un s'est appartenant à l'intervalle à allant de a à b tel que f prime de c'est donc la variation la variation instantanée de f ans et lorsque x est égal à à cette valeur c est bien est égal à cette valeur moyenne de la dérivée de f autrement dit pour revenir à cette histoire de particules qui bouge entre un point a à un point b si sa vitesse moyenne est de 60 km heure entre a et b et ça c'est là le coefficient directeur de cette de cette droite bleus est bien à un moment donné au moins un moment donné cette particule avait une vitesse instantanée de 60 kilomètres/heure alors à présent on va essayer de comprendre pourquoi f a besoin d'être continuer des rivales sur cet intervalle pour que cette proposition soit vérifiée et cette proposition donc je te rappelle visuellement il faut qu'on puisse tracer une au moins une petite tangente verte ici qu'ils soient parallèles à ma droite bleus donc imaginons que la fonction f soit discontinue au lieu d'être continue sur a et b eh bien oui je peux inventer une fonction discontinue ici où je j'élimine cette valeur ici et ici je lève mon crayon au moment d'arriver ici lorsque je ici et là au moment pour pendant que je dessine ma fonction f et je lève mon crayon et je donc ma fonction f2 toujours être définies sur l'intervalle ab donc je donne juste une autre valeur ici et ici et là tu vois bien que si je fais ça sur ma fonction est fait ben je ne pourrai plus tracé mais de petites tangente verte donc je n'aurai aucune tangente sur la fonction tout le long de ma fonction f qu'ils soient parallèles à ma droite bleu donc là effectivement j'ai besoin que f soit continue partout ensuite dérive abl pourquoi est-ce que j'ai besoin que f soit dérive abl partout sauf en a et en b est bien là comme tu peux le voir je n'ai pas besoin que f soit dérive à blanc à et en b exactement parce que je peux avoir une dérive et qui tend vers l'infini ou moins l'infini hand ces points et là comme tu vois j'ai des cinémas fonctions telles que la tangente en b et verticale et donc cela veut dire que lorsque je me rapproche de b lorsque x temps vers b et bien la dérive et 2f tend vers l'infini ça veut dire que exactement en des mâts dérivés n'est pas défini ce qui veut dire que f n'est pas des rives à blanc b et ça c'est pas grave par contre f doit être terrible partout entre a et b pourquoi alors imaginons le cas d'une fonction complètement différente ou que je vais être à 100 orange ici et qui est horizontale au début donc j'ai une variation de 0 jusqu'à ce point par exemple et là tout à coup ma courbe représentatif change de direction donc je n'ai pas une courbe qui est lisse donc f n'est pas dérive abl et c'est seulement en un point qu'elle n'est pas des rives à bhl mais là ça casse tout je ne peut plus obtenir cette je peux plus vérifié cette proposition mathématiques parce que j'aurai une dérive et 2 0 jusqu'ici et tout à coup une dérive et qui est supérieur au coefficient directeur de cette droite bleus entre ce point est ce point là donc je n'aurai jamais atteint je ne peux pas avoir une tangente à cette courbe orange qui soit égal au coefficient directeur de bleu je ne peux pas tracer ces fameuses petites tangente verte ici et ici qui sont parallèles à ma droite bleu donc là on voit à quel point c'est essentiel que la fonction soit dérive à bhl entre a et b et voilà je viens de te présenter une version du théorème de la valeur moyenne alors ce n'est pas celle qu'on utilise le plus fréquemment pour ta gouverne parce que d'habitude on part de la fonction de l'expression de la fonction dérivés elle même et on fait un calcul intégral pour calculer sa valeur moyenne et pour dire que ça de valeur moyenne est égal à à la valeur que prend la fonction en un certain point bon les deux versions sont équivalentes sache que lorsque tu on apprendra davantage sur le calcul intégral tu verra probablement cette autre version du théorème de la valeur moyenne