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Cours : 3e année secondaire > Chapitre 5
Leçon 2: Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue- Résoudre une inéquation en utilisant une addition ou une soustraction
- Résoudre une inéquation simple en utilisant une addition
- Multiplier ou diviser les deux membres d'une inéquation
- Résoudre une inéquation et représenter graphiquement ses solutions
- Inéquations de la forme x + a < b ou ax < b
- Inéquations de la forme x + a < b ou ax > b - Savoirs et savoir-faire
- Traduire une situation à l'aide d'une inéquation et la résoudre
- Inéquations de la forme ax + b < c ou ax + b > c
- Expressions littérales, équations et inéquations FAQ
- Inéquations de la forme ax + b < c ou ax + b > c
- Résoudre un problème à l'aide d'une inéquation 3
- Résoudre un problème à l'aide d'une inéquation
- Résoudre un problème à l'aide d'une inéquation 2
- Traduire une situation à l'aide d'une inéquation et la résoudre
- Des inéquations à résoudre en plusieurs étapes
- Résoudre une inéquation du 1er degré
- Résoudre une inéquation du premier degré
- Des inéquations à résoudre en plusieurs étapes 2
- Traduire des données par une inégalité : Les balles
- Traduire des données par une inégalité : Les fruits
- Raisonner à partir d'une inégalité
- Traduire des données par une inégalité
Expressions littérales, équations et inéquations FAQ
Foire aux questions sur les expressions littérales, les équations et les inéquations
Comment réduire une expression littérale
L'addition est commutative : on peut intervertir l'ordre des termes de l'addition sans modifier la somme. Cette propriété est vraiment utile lorsque nous voulons combiner (mettre ensemble et calculer) des termes dans une expression littérale.
Par exemple, soit l'expression :
On peut écrire la soustraction comme l'addition du nombre opposé. s'écrit alors . On regroupe ensuite les termes semblables :
On additionne alors les termes en et on additionne les termes en .
Et nous avons réduit l'expression !
À vous ! Réduire une expression littérale.
Comment développer une expression littérale
La propriété de distributivité de la multiplication sur l'addition reste vraie avec des nombres négatifs et des variables. Elle nous permet de distribuer un facteur à un ensemble de termes entre parenthèses.
La propriété de distributivité de la multiplication sur l'addition permet de développer une expression littérale. Par exemple, on a l'expression : . D'après les règles de priorité, il faudrait d'abord additionner et , mais ce n'est pas possible, comme ces deux termes ne sont pas semblables. On peut par contre distribuer le , c'est à dire multiplier chacun des deux termes dans les parenthèses par :
Remarquez que nous avons distribué , et non juste . On peut à présent réduire l'expression :
La propriété de distributivité de la multiplication sur l'addition nous permet de simplifier une expression, même si une variable est impliquée dans une opération entre parenthèses.
Comment traduire un problème en une expression du premier degré à une variable
Mettre en langage mathématique un problème, c'est traduire son énoncé par une variable, un coefficient (nombre par lequel la variable est multipliée) et une constante, chacune de ces trois parties ayant une signification propre.
La variable est l'inconnue. Par exemple, dans l'expression , est la variable. Dans une situation concrète, nous pourrions utiliser cette expression pour représenter la longueur totale, en centimètres, d'un crayon après l'avoir taillé pendant minutes si le crayon a une longueur initiale de centimètres et que le taille-crayon raccourcit le crayon de centimètres par minute.
Le coefficient est le nombre qui multiplie une variable. Dans l'expression , est le coefficient. Dans notre situation concrète, il indique que la longueur du crayon diminue de centimètres chaque minute.
La constante est, comme son nom l'indique, le nombre qui ne change pas, quelle que soit la valeur de la variable. Dans l'expression , la constante est . Dans notre situation concrète, la constante est la longueur initiale du crayon de centimètres.
Ainsi, lorsque nous utilisons une expression du premier degré à une variable pour représenter une situation concrète, il est important de faire attention aux différentes parties de l'expression et à leur signification dans ce contexte.
Comment résoudre une équation du type ax + b = c ou a(x+b) = c
Une équation du type ou est une équation dans laquelle l'inconnue se trouve dans un seul membre de l'équation et que l'on résout en étapes. En général, on résout une équation en utilisant les opérations inverses de celles qui sont indiquées dans l'ordre inverse de celui des opérations.
Par exemple, on doit résoudre l'équation . On repère l'ordre des opérations pour calculer .
- On multiplie
par la valeur de . - On enlève
au produit obtenu.
Pour résoudre l'équation, nous "inversons" l'ordre et les opérations.
- On ajoute
aux deux membres de l'équation. - On divise les deux membres de l'équation par
.
Essayons ensemble.
Comment résoudre une équation qui comporte des parenthèses Par exemple, on doit résoudre l'équation . Repérons l'odre des opérations pour calculer .
- On additionne
et car l'addition est entre parenthèses. - On multiplie par
.
Pour résoudre l'équation, nous "inversons" l'ordre et les opérations.
- On divise les deux membres de l'équation par
(c'est-à-dire que l'on multiplie par ). - On enlève
au produit.
Essayons ensemble.
Nous le savons tous, les mathématiques sont flexibles et magnifiques ! Nous avons résolu ces équations en utlisant l'ordre des opérations. Mais nous aurions pu aussi multiplier chaque terme mis entre parenthèses par , puis résoudre une équation qui ne comporte plus de parenthèses.
Comment résoudre une inéquation
On résout une inéquation du premier degré de la même façon que l'on résout une équation du premier degré, sauf qu'il faut faire attention au sens de l'inégalité. On se rappelle que si on multiplie ou divise les deux membres par un même nombre négatif non nul, on change le sens de l'inégalité.
Pourquoi change-t-on le sens de l'inégalité On sait que . On multiplie les deux membres par . est-il inférieur à Non ! car a la plus petite distance à (ou est à droite de sur la droite graduée). On change donc le sens de l'inégalité.
Par exemple, on doit résoudre . D'abord, on soustrait aux deux membres. Ensuite, on multiplie les deux membres par en changeant le sens de l'inégalité. Les solutions sont tous les nombres inférieurs à .
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