Déterminer algébriquement le nombre de couples solutions d'un système

alors on nous donne ce système d'équations linéaires ici on nous demande quel est le nombre de couples solution de ce système alors ça peut être une seule solution un seul couple solution de ce système ou bien une infinité ou bien aucun c'est à dire aucune solution alors pour faire ça bon on pourrait tracer les droites mais là on va pas faire ça on va essayer de répondre à cette question algébrique mais pour ça ce qu'on va faire c'est manipuler algébrique mans ce système pour essayer de résoudre alors ici ce que je vais faire c'est réécrire la première équation 14x -7 y égale 21 et ensuite je vais réécrire la deuxième aussi mais en fait je vais la récré dans la multipliant par quelque chose pour essayer de retrouver le même nombre de x ou le même nombre de y que dans la première équation donc ici j'ai - y si je multiplie par sept je vais avoir moins sept y donc ça va être pas mal donc je vais écrire cette deuxième équation en multipliant tout parce est donc j'ai 2 x x 7 ça fait 14 x et puis - y multiplier par sept sa fait moins 7 y puis enfin ça ça doit être égale à 3 x 7 c'est à dire trois fois cette ça fait 21 et j'obtiens donc ces deux équations alors là peut-être que tu vois tout de suite la réponse si tu la vois pas ce que tu peux faire c'est soustraire par exemple la deuxième équation de la première je vais faire cette équation la moins celle ci en magie sans aux colonnes donc je vais le faire ici je vais avoir 14 x - 14 x ça va faire 0 de ce côté là ensuite j'ai moins sept y - -7 y donc moi cette y - moi cette y ça fait moins sept y +7 y c'est à dire zéro donc ici je devrais écrire zéro plus zéro j'ai pas besoin de l'écrire ça fait zéro de toute façon et donc c'est égal à 21 - 21 c'est à dire zéro donc j'obtiens cette chose étrange 0 égal zéro alors 0 égal 0 bien sûr c'est vrai mais comment est-ce qu'on peut interpréter ça en terme de ce système du nombre de couples solution de ce système c'est bien ce qu'on peut faire c'est prendre un couple solution d'une de nos deux équations donc je vais prendre un couple solution de cette deuxième équation là parce que dans ce cas là elle est un petit peu plus simple alors pour trouver un couple solution de cette équation la belle fille que je fixe une valeur de x et que j'exprime la valeur de y correspondante donc ici je vais avoir y qui va être égal à 2 6 - 3 2 x - 3 ça veut dire que le couple x 2 x mois 3 et bien ça c'est une solution de 7,2 cette deuxième équation est ce que je vais faire c'est regarder si ce couple là est aussi une solution de la première équation alors pour ça je vais calculé 14x -7 y avec cette valeur là pour y ça c'est mon y alors 14x -7 y eh bien ça va être égale à 14 6 - 7 x 2 x -3 2 x - 3 peut développer ça ça me donne 14 x - 7 x 2 x c'est-à-dire moins 14 x et puis moins sept fois moins trois c'est à dire plus 21 alors ici les 14 x se simplifient s'annulent et du coup 14x moissette y est bien c'est égal à 21 et on retrouve ce 21 qui est ici ce qui veut dire que finalement je peux prendre n'importe quelle valeur pour x je calcule le y correspondant qui est égal à 2 x -3 j'obtiens un couple solution de la deuxième équation qui est aussi un couple solution de la première donc effectivement dans ce cas là en fait on a une infinité de solutions puisque il suffit que je choisisse une valeur de x que j'exprime ce y correspondant donc égale à 2 x -3 et j'obtiens effectivement une solution de ce système alors ça c'est une réponse algébrique géométriquement ou bien graphiquement si tu préfères en fait ça veut dire que si tu va tracer ces deux droites bien tu vas te rendre compte qu'en fait ce sont les mêmes et d'ailleurs on le voit ici puisque quand j'ai multiplié par 7 7 2e équation là j'obtiens sa 14x moss est y égale 21 et en fait c'est exactement la même équation que celle du dessus donc ces deux équations sont équivalentes elles représentent en fait la même droite donc tous les pros qui appartiennent à cette droite à partir d'acier à la deuxième puisque c'est la même donc on a une infinité de solutions allez on continue on va en faire encore un on a celui ci maintenant 11 x + 5 y égal moins 4 et puis 11 x + 5 y égal moins 8 alors on peut faire la même chose que tout à l'heure c'est à dire résoudre algébrique mans ce système et pour faire ça en fait je vais réécrire le système ici la première équation gelard écrit-elle qu'elle donc ses 11 x + 5 y égal moins 4 et à la place de la 2e équation je vais écrire la différence entre ces deux équations là donc j'ai 11 x - 11 x ça fait zéro ensuite g5y -5 y ça fait zéro aussi donc j'ai zéro plus zéro comme tout à l'heure c'est à dire 0 et ensuite j'ai moins 4 - - 8 - 4 - au moins huit ça fait moins 4 + 8 ça fait 4 et l'âge obtient cette fois 6 cette chose étrange la zéro égale 4 alors ça évidemment 0 n'est pas égal à 4 donc ça c'est faux ça ne peut pas exister alors qu'est ce que ça veut dire en terme de ce système ça veut dire que si on se demande quelles sont les valeurs de x et de y pour lesquels 0 va être égal à 4 vient forcément travail de la seule réponse possible c'est qu'il n'y a aucune valeur de x et de y pour lesquels 0 va être égal à 4 donc le système ici n'a aucun couple solution aucun couple solution voilà alors là aussi on a une interprétation graphique c'est que en fait ces deux équations là si tu regardes les coefficients de x et deux y sont les mêmes donc en fait ce sont deux droites qui ont la même pente mais l'ordonnait à l'origine est différente donc c'est en fait ce sont de droite qui sont parallèles et donc elles n'ont pas de point d'intersection alors si tu te rends pas compte de ça en utilisant les équations cartésienne tu peux très bien aussi écrire les équations réduite de ces deux droites et à ce moment là tu verras très bien apparaître le coefficient directeurs et leurs données à l'origine de chacune de ces droites allez on continue avec un autre exercice du même genre on a ici y égale 5x plus sains et puis y égal moins de six mois 8 donc là ce sont des équations réduite cette fois ci et on nous demande quel est le nombre de couples solution de ce système alors cette fois ci je vais procéder de manière un petit peu différente je vais procéder par substitution puisque ici on me dit que y est égal à 5 x + 1 et là on me dit que y est égal à -2 6 - 8 donc je vais pouvoir écrire ça comme ça en fait 5 x + 1 5x plus sain est égal à -2 6 - 8 - 2x moins 8 et là du coup je me gère une équation avec une seule inconnue que je vais pouvoir résoudre de manière normale classique donc je vais ajouter 2 x de chaque côté et si je vais avoir 5 x + 2 x c'est-à-dire 7x plus un égale à - 2 x + 2 x donc ça va ça nul et il va me rester moins 8 maintenant pour isoler x levé soustraire un de chaque côté donc de ce côté là j'adore cet x + 1 - 1 c'est-à-dire 7x et puis de l'autre côté - 8 - 1 c'est à dire - 9 - 9 j'obtiens ça c'est ty segall -9 ça ça veut dire que x est égal à -9 7e - 9 7e donc ça c'est la valeur de x maintenant pour trouver la valeur de y bien je peux remplacer x par sa valeur dans une de ces deux équations donc je peux par exemple prendre la première qui me donne y égale 5 x x donc cinq fois moins 9 7e +1 alors ça je vais ranger c'est un petit peu cinq fois moins neuf ça fait moins 45 - 45 satie septième plus un don plus cette 7e - 45 + 7 ça fait moins 38 donc j'ai en fait y égal moins 38 7e donc tu vois que de cette manière là on trouve un couple de solutions qui est x égales - ce 9 7e et y également à 38 7 yens donc la réponse ici c'est il ya un seul couple solution et ça correspond au fait que c'est de droite l'a sondé droite qui ont des pentes différentes et désordonnée à l'origine différentes donc ce sont des droites c'est quand qu'ils ont donc un seul point d'intersection allez on continue avec un dernier qui est celui ci 11x -6 y égale 5 et puis -4 xk6 y égale 13 alors je vais travailler algébrique mans pour répondre à la question ici je peut remarquer que j'ai moins six y ait moins six y dans les deux équations donc en fait ce que je peux faire c'est soustraire la deuxième équation de la première je vais faire ça ici donc je vais réécrire la première équation qui est 11x -6 y égale 5 et puis au lieu d'écrire la deuxième équation je vais écrire la différence entre la première et la deuxième donc la première - la deuxième donc j'ai 11 x - - 4 x 11 x - - 4 x a fait 11 x + 4 x c'est-à-dire 15 x 15 x et puis ici j'ai moins six y moins -6 y donc moins six y moins -6 y ça fait moins six y +66 y c'est-à-dire 0 donc les grecs s'annulent ça c'est très pratique donc à droite du signe égal g il me reste uniquement ses 15,6 et puis ça ça va être égale à 5 -13 5 - 13 ça fait moins huit donc ici la deuxième équation me permet de dire que x va être égal à moins 8 15e - 8 15e et du coup pour trouver la valeur de y bien je peux remplacer x dans la première équation par sa valeur donc ça va me donner 11 fois moins 8 15e - 6 y égal 5 et là tu vois j'ai une équation avec une seule inconnue donc je vais pouvoir trouver la valeur de y alors je te laisse faire ce calcul est trouvé la valeur de y si tu veux ça sera un bon exercice ici on va pas le faire puisque toute façon ce qu'on veut c'est pas connaître le couple de solution c'est simplement savoir combien il y en a deux couples de solution est en fait ce qu'on peut voir ici c'est qu'il y en a un seul alors une petite remarque bien utile quand même c'est qu'on pouvait éviter de faire ce travail là par un gros gros travail mais on pouvait quand même éviter de le faire en regardant les coefficients directeur de chaque droite et en fait on s'aperçoit que les coefficients directeur de ces de droite ne sont pas les mêmes donc les droites ne sont pas parallèles ce qui veut dire qu'elles ne sont pas non plus confondues et donc si elles sont ni parallèle ni confondues c'est qu'elles sont c'est quand donc il y as forcément un seul couple solution de ce système alors encore une fois quand tu es une équation cartésienne si tu n'arrives pas bien avoir la pente de la droite qui représentait par cette équation une bonne solution c'est de passer à l'équation réduite