Inéquations avec des valeurs absolues

résolvons à présent des inéquation avec des valeurs absolues alors les valeurs absolues salaire net ainsi de mathématiques qui peut faire peur aux élèves mais si tu reviens chaque fois à ce que ça veut vraiment dire tu verras que c'est pas si terrible que ça on va faire deux trois petits exemples on va commencer par un petit exemple tout simple pour que tu puisses te rendre compte qu'à chaque fois vous toujours vous avoir présent à l'esprit qu'est ce que ça veut dire voilà valeur absolue de x est inférieure à 12 alors ce que veut dire la valeur absolue ça représente la distance à 0 ça veut dire mon x sa distance à 0 est plus petit que douze aires qu'il est plus proche de zéro que 12 d'accord quels sont les nombres qui sont plus proches de zéro que 12 et un pour s'en rendre compte on va tracer une droite réel et on se dit bien pour être plus proche de zéro que 12 20 à droite deux héros faut pas dépasser 12 à gauche 2 0 il faut pas dépasser - 12 donc pour être plus proche de zéro que 12 il faut être dans cet intervalle là entre -12 et 12 donc là je leur présentais sur la droite réel ce que veut dire valeur absolue de x inférieur à 12 et ce qui se représente sur la droite réel ça peut aussi s'écrire que mon x d'après ce que je vois il doit être supérieur à moins 12 parce que s'il est inférieur à -12 il sera trop éloigné de zéro mais en même temps on x doit être aussi inférieur à 12 autrement dit il doit être compris entre -12 et 12 c c'est ce que signifie cette inégalité c'est une équation avec valeur absolue alors là il a suffi de l'écrire il a suffit d'écrire ce que ça voulait dire et notre une équation est déjà lé tout résolu là devant nous on a déjà l'ensemble des solutions cx supérieur à -12 et x inférieur à 12 mais on peut l'écrire sous forme d'intervalle c'est à dire moins douze 12 crochet ouvert parce que les limites ne font pas partie de l'ensemble des solutions on peut écrire aussi ça sous la forme de chaînes d'inégalités où on voit mieux ça veut bien dire que x est compris entre -12 et 12 et voilà ça nous fait notre inéquation résolu ce que nous avons ne sont aux ayants aucun calcul à faire maintenant on peut voir qu'on va servir de la même méthode en rajoutant quelques calculs pour résoudre dessine équation un petit peu plus compliqué comme par exemple celle ci valeur absolue de 7x est supérieur ou égal à 21 en valeur absolue de quelque chose est supérieur ou égal à 21 ça veut dire que quelque chose que ce quelque chose là dont la valeur absolue se trouve plus éloignés de zéro que 21 qu'est ce que ça veut dire plus éloignés de zéro que 21 ça ça se voit bien on représentants sur la droite réel on va tracer une droite réel on va placer notre héros qui me sert de point de départ pour les valeurs absolues et 21 unités 2 0 si on s'éloigne de 21 unités 2 0 on peut soit arrivé à droite à 21 soit arrivé vers la gauche à -21 et notre 7x qui est dans la valeur absolue il est plus éloigné de zéro que 21 alors où ça se trouve sur la droite réels ceux qui sont plus éloignés de zéro que 21 eh bien on a deux solutions soit on part de -21 vers la gauche et est là on sera s'éloigne de zéro soit on s'éloigne de 0 dans l'autre sens on partant de 21 et en allant vers la droite et lorsqu'on a représenté comme ceux ci sur la droite réel ces deux ensemble de nombres on se dit là ce que j'ai représenté ce sont tous les nombres qui sont plus éloignés de zéro que 21 unités que 21 ça se voit bien sûr notre dessin sur notre droite réel d'accord maintenant il suffit de l'écrire ça veut dire que notre seddik ce qui est dans la valeur absolue de deux choses l'une soit il est inférieur ou égal à -21 on est dans une équation avec des affaires héros égal ou alors un an de petits systèmes ou ou alors ce même 7 x il peut aussi être de l'autre côté c'est à dire supérieure à 21 et là j'ai vraiment voilà j'ai vraiment retraduit en formule ce que je vois sur ma droite réel mons et x est plus éloigné de 0,21 ça veut dire que le 7x ans la valeur absolue il est inférieur ou égal à -21 où il est supérieur ou égal à 21 il est transformé une équation avec valeur absolue en un système où est aussi résoudre les systèmes où je vais résoudre chaque inéquation séparément et je vais avoir l'ensemble des solutions donc maintenant pour résoudre chaque inéquation séparément on va diviser par sept chaque inéquation on va diviser par sept on va obtenir l'ensemble des solutions de chaque inéquation donc 7x inférieur à -21 quand on divise par cette on obtient x inférieur ou égal à -3 ou autre une équation je divise par cette optique supérieur ou égal à 3 et voilà j'ai résolu mon inéquation avec valeur absolue la solution cx inférieur ou égal à -3 ou x supérieur ou égal à 3 pour que la valeur absolue de 7 x soit supérieur ou égal à 21 pour que mons éthiques soient plus éloignés de zéro que 21 alors remarqué quand même que le preuve la droite réel que j'ai tracée ça n'est pas l'ensemble des solutions c'est juste la droite réel qui représente les valeurs que peut prendre ce qu'il ya dans la valeur absolue maintenant si je veut tracer l'ensemble des solutions x inférieur ou égal à -3 ou x supérieur ou égal à 3 20 jeux je mets moins 3 et 3 sur la droite réel de je pars vers la droite avec le crochet fermé vers la ligne 2 - 3 je pars vers la gauche avec le crochet fermé vers la ligne et voilà j'ai représenté sur la droite réel l'ensemble de toutes ces les solutions de cette inéquation et valeur absolue et donc on peut mettre dans la valeur absolue ce qu'on veut et là on va avoir une autre une équation que ce genre là où on compare une valeur absolue avec un nombre donc qu'est ce que je veux dire pouvoir mettre la valeur absolue disons 2 5x plus trois jeux qu'elle soit plus petit que cette c'est à dire que ce qu'il y a dans ma valeur absolue bien il se trouve que ça s'appelle 5 excuses 3 ce qui a dans ma valeur absolue doit être moins éloignés de zéro que cette représente on s'assure la droite réel donc j'ai zéro si je m'éloigne 2 027 unités à droite j'arrive à 7 si je m'éloigne de 0,2 cette unité à gauche qui arrive à -7 être moins éloignés de zéro que cette unité ça veut bien dire se trouvait entre -7 et 7 ce qui veut dire que ce que j'ai dans la valeur absolue mon 5x plus 3 1 il doit être entre -7 et 7 c'est à dire supérieurs à -7 et et en même temps inférieur à 7 et j'ai transformé mon inéquation elle valeur absolue en système et je sais résoudre les systèmes et je vais résoudre le système et ça me donnera la solution générale de ce de cette inéquation avec valeur absolue alors résout normalement on reste on retrouve trois à gauche et à droite de l'inégalité ça fait scintiller kick supérieur à moins 10 on divise par 5 on obtient x supérieur à -2 et en même temps autre inéquation retranche 3 5x inférieur à 4 et on divise par 5 ça me donne x inférieur à 4/5 donc mon ensemble des solutions se sont tous les nombres compris entre -2 et 4/5 cents les bornes donc si je voulais écrire sous forme d'intervalle c'est moins 2 4 5e avec les crochets ouvert parce que c'est c'est inférieur stricte et je peux aussi écrire ça sous forme de chaînes d'inégalités x est entre -2 et 4/5 comme ceci alors là vous commencez à vous rendre compte qu'il ya des espèces de règles de procédure qui reviennent à chaque fois un qu'on applique quand on a dit une équation on compare une valeur absolue à un nombre mais il vaut mieux toujours bien voir ce que ça veut dire sur la droite réel que d'appliquer que d'appliquer des règles sans trop chercher à comprendre mais je vais quand même vous donner s'ils règlent dire que la valeur absolue d'une fonction f 2 x est inférieure à à à supposer que ce soit positif évidemment ça veut dire une chose ça veut dire que mon rêve de x il est moins éloignés xero cas ça veut dire qu'il est compris entre -1 et à c'est à dire que l'une inéquation valeur absolue de f2 x inférieur à a on peut la transformer en un système d'une équation - à inférieur à f2 x inférieur a acquis lui même se transforme en un système et f2 x supérieur à monza et f2i supérieur à a donc si la valeur absolue est donnée plus petit qu'un nombre on transforme ça en un système et si au contraire la valeur absolue est donnée plus grande qu'un nom de valeur absolue de fgx est plus grand que ça veut dire que - f2 x à l'intérieur de la valeur absolue il est plus éloigné de 0k autrement dit de deux choses l'une soit il se trouve du côté des positif il est plus grand que soi le f 2 x se trouve du côté des négatifs il est plus petit que -1 et j'obtiens un système où f de ligue supérieure aa ou f2 x inférieures à - 1 d'accord donc une inéquation dans laquelle la valeur absolue se trouve plus grande qu'un nombre va se transformer en un système où a donc tu peut mémoriser ses règles mais il vaut mieux toujours que tu comprennes ce que ça veut dire pour la valeur absolue ce qu'on dit sur son éloignement de zéro et faire un petit dessin sur la droite réel c'est toujours utile même si avec l'expérience tu verras que tu pourras t'en passer donc on va donner un autre exemple peut-être un petit peu plus compliqué au niveau des calculs ben disons valeur absolue de 2 x sur 7 + 9 on va dire qu'elle est supérieure à 5 7e un peu importe ce qu'il ya dans la valeur absolue on me dit qu'il est plus éloigné de zéro que 5/7 plus éloigné que 0 que 5/7 ça veut dire deux choses l'une soit mon 2x plus cette bible 2x sur 7 + 9 et plus grande synthe 7e et plus à droite que 5/7 plus grande synthe 7e soi ou autre solution mon 2x sur cette +9 va être inférieures à - 5 7e il va être très loin dans les négatifs donc il va être plus éloigné 2 020 que - 5/7 on l'a on est dans le deuxième cas dans le cas où la valeur absolue et du côté des plus grands et là on a obtenu un système où une fois qu'on a obtenu un système où on résout on va déjà se débarrasser des fractions en multipliant tout parce est donc en multipliant tout par sept ans la première une équation ça fait 2 x + 63 supérieure à 5 ou alors dans la deuxième une équation n'obtient 2x plus 63 ans inférieure à -5 là et puis on résout chaque inéquation on va faire moins de 63 ça me donne 2 x supérieur à -58 et si on retire 63 à gauche et à droite de la deuxième inégalités ça nous donne 2 x inférieures à - 5 mois 63 c - 68 donc de zik supérieur à -58 oua oua moins 58 ou 2x inférieur à -68 dès l'instant qu'on n'a plus de valeur absolue ben c'est un exercice comme dans les systèmes ou est là il suffit de diviser par deux bêtement x est supérieur donc moins 58 divisé par deux sa doit faire moins vingt neuf donc x supérieur à -29 où on divise par 2 au 6 x inférieur à -68 / 2 - 34 et l'a donc j'obtiens que les valeurs de x qui satisfont l'inéquation avec la valeur absolue qu'on a donné au départ ce sont tous les nombres qui sont supérieures à -29 ou inférieures à - 34 si on veut représenter sa sur la droite réel et bien on représente - 29 et -34 avec 1034 plus à gauche puisqu'il est plus petit hic supérieur à -29 je pars de -29 vers la droite et comme ses supérieurs strict je fais tourner le crochet dos à la ligne x inférieures à - 34 je pars de -34 vers la gauche et comme c'est inférieur strict je fais également toulon tourner le prochain à doha la ligne et voilà comment je résous saisine équation simple avec valeur absolue