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Cours : Algèbre > Chapitre 16

Leçon 1: Le nombre i et les imaginaires purs

Les puissances de i

Comment simplifier les puissances de i. Par exemple, comment établir que i²⁷ = -i.

On sait que

i = \sqrt{- 1}

et que

i^{2} = - 1

Mais qu'en est-il de

i^{3}

? de

i^{4}

? et des autres puissances de

i

? Comment les calculer ?

$i^{3}$ ‍ et $i^{4}$ ‍

Les règles de calcul sont les mêmes que dans l'ensemble des réels.

On calcule

i^{3}

i^{4}

i^{3} = i^{2} \times i

. Mais

i^{2} = - 1

, donc :

\begin{aligned} i^{3} & = i^{2} \times i \\ = - 1 \times i \\ = - i \end{aligned}

De même

i^{4} = i^{2} \times i^{2}

. Et comme

i^{2} = - 1

on obtient :

\begin{aligned} i^{4} & = i^{2} \times i^{2} \\ = (- 1) \times (- 1) \\ = 1 \end{aligned}

D'autres puissances de $i$ ‍

On calcule de la même façon les puissances suivantes de

i

\begin{aligned} i^{5} & = i^{4} \times i \\ = 1 \times i & car i^{4} = 1 \\ = i \\ i^{6} & = i^{4} \times i^{2} \\ = 1 \times (- 1) & car i^{4} = 1 et i^{2} = - 1 \\ = - 1 \\ i^{7} & = i^{4} \times i^{3} \\ = 1 \times (- i) & car i^{4} = 1 et i^{3} = - i \\ = - i \\ i^{8} & = i^{4} \times i^{4} \\ = 1 \times 1 & car i^{4} = 1 \\ = 1 \end{aligned}

On obtient :

$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

On devine la suite...

Les puissances successives de

i

semblent être une succession périodique de

i

- 1

- i

1

D'après cette conjecture, on peut trouver

i^{20}

On écrit les

20

premiers termes de cette suite périodique :

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i^{20}

serait égal à

1

. Peut-on le démontrer ?

\begin{aligned} i^{20} & = (i^{4})^{5} \\ = 1^{5} \\ = 1 \end{aligned}

Et l'on a bien

i^{20} = 1

Les puissances de $i$ ‍

Supposons que l'on cherche

i^{138}

. On peut écrire la suite

i

- 1

- i

1

,... jusqu'au

138^{ème}

terme, mais ça peut prendre du temps !

i^{4} = 1

i^{8} = 1

i^{12} = 1

,... et de façon générale

i

élevé à une puissance multiple de $4$ ‍ est égal à

1

Ce résultat et les propriétés des puissances permettent de calculer

i^{138}

Exemple

Calculer

i^{138}

Réponse

138

n'est pas un multiple de

4

, mais

136

oui ! C'est donc

136

qui va nous permettre de calculer

i^{138}

\begin{aligned} i^{138} & = i^{136} \times i^{2} \\ = (i^{4 \times 34}) \times i^{2} & 136 = 4 \times 34 \\ = (i^{4})^{34} \times i^{2} \\ = (1)^{34} \times i^{2} & i^{4} = 1 \\ = 1 \times (- 1) & i^{2} = - 1 \\ = - 1 \end{aligned}

Donc

i^{138} = - 1

On peut se demander pourquoi on a écrit

i^{138} = i^{136} \times i^{2}

C'est parce que l'exposant n'était pas un multiple de

4

. On a donc cherché le multiple de

4

le plus proche, tout en restant inférieur. Le but est de descendre à

i

i^{2}

i^{3}

grâce au résultat connu

i^{4} = 1

Pour trouver le multiple de

4

le plus proche de l'exposant donné, on divise l'exposant par

4

et on fait le produit du quotient entier par

4

À vous !

Exercice 1

Quelle est la valeur de $i^{227}$ ‍ ?

Exercice 2

Quelle est la valeur de $i^{2016}$ ‍ ?

Exercice 3

Quelle est la valeur de $i^{537}$ ‍ ?

Un dernier exercice

$i^{- 1}$ ‍ est égal à :

Une méthode facile à utiliser est de prolonger la suite périodique.

$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Cependant, au lieu de poursuivre vers la droite (pour des exposants supérieurs à

1

), on poursuit vers la gauche (pour des exposants inférieurs à

1

). Puisque nous cherchons

i^{- 1}

, il suffit d'écrire les deux termes précédents.

	$i^{- 1}$ ‍	$i^{0}$ ‍	$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
			$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

On complète :

$i^{- 1}$ ‍	$i^{0}$ ‍	$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Donc

i^{- 1} = - i

Ce qui se vérifie par le calcul en utilisant les propriétés des puissances :

\begin{aligned} i^{3} & = i^{4} \times i^{- 1} \\ - i & = 1 \times i^{- 1} & car i^{3} = - i et i^{4} = 1 \\ - i & = i^{- 1} \end{aligned}

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