Résolution d'une équation vectorielle à l'aide d'une matrice

donc dans la vidéo précédente on s'est intéressé à l'utilisation des matrices et de leurs inverse pour résoudre en fait un système de deux équation à deux inconnues donc un système d'équations linéaires ce qui revient en fait à trouver les coordonnées d'un point d'intersection entre deux droites dans un plan alors ici on va utiliser toujours les matrices mais cette fois pour résoudre une équation vectorielle c'est à dire une équation qui fait intervenir des vecteurs et donc l'idée derrière tout ça c'est de montrer que les matrices peuvent servir à résoudre un tas de problèmes qui en apparence sont différents mais pour lesquels en fait on peut faire beaucoup d'analogies et donc tout le travail de résolutions qu'on fait avec des matrices sur un type de problème et bien après on peut certainement leur est appliqué un grand nombre d'autres problèmes analogues donc dans cette vidéo on va appliquer les matrices au problème suivant alors je dessinais un repère xy dans lequel j'ai représenté trois vecteurs petit à petit b est petit c'est petit a donc c'est un vecteur colonnes avec deux éléments de coordonner donc 3 - 6 3 sur l'axé des x - 6 sur l'axé y b toujours un vecteur colonnes de dimension 2 avec 2 en x 6 ans ici ce pardon en y 1 2 ici donc on arrive bien ici et enfin le dernier vecteur le vecteur c'est de coordonner 7,6 donc 7 sur l'axé des x et six sur l'accès y est donc la question qu'on va se poser tous les deux dans cette vidéo c'est existe-t-il à un couple x et y un couple un couple de nombres réels tels que ont pu s'écrire à x x + b x y est égal aux vecteurs c c'est à dire est ce qu'il existe de scal air x et y tel que lorsqu on les multiplie par a et b on puisse obtenir exactement le vecteur c'est donc si je réécris ça sous formes vectorielles ça nous fait 3 - 6 c'est le vecteur 1 x x plus le vecteur baissé de 6 que je multiplie par y est je cherche bien sûr à obtenir le vecteur c'est donc de coordonner cette es6 donc là si tu regardes bien cette équation tu te rends compte qu'on peut la réécrire en utilisant une matrice de taille de 2 qui va être la suivante 3 de -6 6 donc dans laquelle j'ai rassemblé les deux vecteurs colonnes a et b fois un vecteur x y qui sont nos deux inconnus et donc ce produit matricielle est égal aux vecteurs colonnes 7 6 donc cette combinaison linéaire de vecteurs avec deux inconnus x et y donc cette équation vectorielles et bien on peut la réécrire comme ce produit matricielle ici si tu veux je te laisse vérifier tu peux multiplier ce vecteur colonnes par cette matrice de 2 et tu verras que cette équation matricielle et bien équivalente à l'équation vectorielles et si tu as regardé la vidéo précédente en fait tu verras qu on a exactement la même description matricielle du problème puisque si on effectue ce produit matricielle et bien on peut retrouver les deux équations linéaire qu'on avait dans le problème précédent c'est-à-dire 3 x + 2 y est égal à 7 cécile multiplient la première ligne avec xy ça doit être égale aux premiers éléments de ce facteur colonnes la deuxième ligne multiplier avec le vecteur xy tu dois être égale à 6 c'est qu'ils nous donnent moins 6 x + 6 y qui est égal à 6 donc en fait dans le problème précédent ont cherché à trouver les coordonnées du point d'intersection de de droite qui était représentée en fait ce problème était représenté par ce système de deux équation à deux inconnues ce système d'équations linéaires et ici on est dans un problème complètement différent puisqu'on cherche à trouver une combinaison linéaire du vecteur à et du vecteur b qui nous donne le vecteur c'est donc la description du problème complètement différentes et pourtant eh bien on arrive la même équation matricielle la même matrice x notre vecteur xy il donne le même vecteur colonne et donc c'est là toute la puissance de la proche matricielle assez qu'on peut appliquer la même méthodologie à plusieurs problèmes qui en apparence semble différent et donc comment résoudre ce problème eh bien on va procéder exactement de la même façon que dans la vidéo précédente on va utiliser l'un vers de cette matrice donc si j'appelle cette matrice grand teint mais je vais multiplier de chaque côté donc je vais faire à moins un froid a donc ici fois notre vecteur qu'on peut appeler je sais pas x avec avec une flèche et donc ça ça va être égal à à -1 je rappelle on multiplie bien dans le même ordre de chaque côté de chaque côté de l'équation est donc fois le vecteur c sachant que à moins 1 fois à ça fait l'identité eh bien on se retrouve avec x notre vecteur qui en fait contient les coordonnées x et y qui est égale à la matrice à moins 1 fois le vecteur c'est donc c'est exactement le calcul qu'on a fait dans la vidéo précédent donc je vais aller très rapidement dessus à moins à linverse 2 1 c'est un sur le déterminant de la matrice à amatrices a assez celle-ci donc le déterminant c'est le produit de la première diagonale ont trois fois 6 18 - le produit de la deuxième donc ici - -12 donc ça fait plus 12 donc ça c'est un surdéterminant deux hommes et ensuite fois la matrice donc donc cette matrice pour trouver ces éléments et bien on change de placer deux éléments de la première diagonale donc 6 et 3 et on prend l'opposé de des éléments de la seconde diagonale donc ici ça devient 6 et ici ça devient moins deux donc ça c'est notre matrice à -1 donc notre vecteur xy ici grecque comme on l'a écrit ici c'est l' inverse de la matrice 1 fois le vecteur c'est donc xy et égard elle alors un sur 30 donc ça c'est l' inverse de la matrice à 6 - 2 6 3 que je multiplie par le vecteur c'est donc le vecteur c c 7 et 6 donc ça ça nous donne un 30e 2 alors ici j'effectue la multiplication entre la matrice est le vecteur 6 x 7 42 - 12 ça fait trente et pour le deuxième élément du vecteur colonnes 6 x 7 40 de plus trois fois 6 18 ça nous fait 60 si je distribue le 1 30e sur chaque élément ça nous donne tout simplement le vecteur 1 et 2 alors qu'est ce que ça veut dire que vecteur xy vaut 1 2 bien ça veut dire que si on ajoute une fois le vecteur à et deux fois le vecteur b normalement on retrouve le vecteur c'est alors on va vérifier graphiquement que nos calculs sont justes donc le vecteur solution est le vecteur de coordonnées 1 2 qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que si je prends une fois le vecteur à auquel je lui ajoute deux fois le vecteur b et bien j'obtiens le vecteur c'est donc c'est quelque chose qu'on peut vérifier rapidement graphiquement bien sûr donc une fois le vecteur 1 auxquels j'ajoute une fois le vecteur b enfin une deuxième fois le vecteur b qu'on voit bien que le vecteur à plus deux fois le vecteur b c'est à dire ça + 1 eh bien ça nous donne bien le vecteur c'est donc au delà du résultat en lui-même ce qui est important de comprendre avec cette vidéo est bien c'est qu'on a la même description matricielle pour deux problèmes différents dans l'avait dans la vidéo précédente on cherchait un point d'intersection entre de droite qui était représenté par ce système d'équations angry ici et dans cette vidéo est bien on cherche une combinaison linéaire de vecteur pour en obtenir un troisième et il se trouve que ces deux problèmes sont décrits par exactement la même équation matricielle donc c'est vraiment ça qui est puissant et qu'il faut retenir c'est que au delà de la description du problème en lui-même sa mise en équation a three ciel peut en fait être s'appliquer à plusieurs problèmes équivalent