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Cours : Algèbre > Chapitre 13

Leçon 4: Utiliser le PPCM pour additionner ou soustraire des fractions rationnelles

Utiliser le PPCM pour additionner ou soustraire des fractions rationnelles

Quelle est la bonne méthode si les fractions rationnelles à additionner ou à soustraire n'ont pas le même dénominateur ?

Rappel

Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes.

Pour additionner ou soustraire deux fractions rationnelles de même dénominateur, on additionne ou on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur commun.

Si les deux fractions n'ont pas le même dénominateur, pour pouvoir les additionner ou les soustraire il faut trouver un dénominateur commun.

Reportez-vous éventuellement aux leçons :

Le sujet traité

Il est traité de l'addition et la soustraction de deux fractions rationnelles qui n'ont pas le même dénominateur et de l'importance d'utiliser le plus petit dénominateur commun des deux fractions.

Un exemple simple pour commencer : $\frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1}$ ‍

Il faut d'abord réduire les deux fractions au même dénominateur.

Ici, on peut multiplier la première fraction par

(\frac{x + 1}{x + 1})

et la deuxième par

(\frac{x - 2}{x - 2})

Voici le calcul :

\begin{aligned} \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1} \\ = \frac{3}{x - 2} \times \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{2}{x + 1} \times \frac{x - 2}{x - 2} \\ = \frac{3 (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} \\ = \frac{3 (x + 1) - 2 (x - 2)}{(x - 2) (x + 1)} \\ = \frac{3 x + 3 - 2 x + 4}{(x - 2) (x + 1)} \\ = \frac{x + 7}{(x - 2) (x + 1)} \end{aligned}

À vous !

Exercice 1

Additionner les deux fractions.
Le numérateur de la fraction somme doit être développé et réduit. Pour son dénominateur, ce n'est pas obligatoire.

\frac{5 x}{x + 3} + \frac{4}{x + 2} =

Touver le plus petit dénominateur commun

Les fractions numériques

Parfois les dénominateurs ont des diviseurs communs.

Par exemple, voici le calcul de

\frac{3}{4} + \frac{1}{6}

\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} \\ = \frac{3}{2 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} \\ = \frac{3}{2 \times 2} \times \frac{3}{3} + \frac{1}{2 \times 3} \times \frac{2}{2} \\ = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}

Le dénominateur commun utilisé n'est pas le produit de

4

par

6

, c'est leur plus petit multiple commun qui est

12

Le plus petit multiple commun

(PPCM)

de deux entiers est le plus petit nombre divisible par ces deux entiers.

Si deux entiers n'ont pas de diviseur commun, leur

PPCM

est égal à leur produit. Mais ce n'est pas le cas s'ils ont un diviseur commun. Par exemple :

$2$ ‍ est un diviseur commun de $4$ ‍ et $6$ ‍ donc le $PPCM$ ‍ de $4$ ‍ et $6$ ‍ est $12$ ‍, et non $4 \times 6 = 24$ ‍
$3$ ‍ est un diviseur commun de $6$ ‍ et $15$ ‍ donc le $PPCM$ ‍ de $6$ ‍ et $15$ ‍ est $30$ ‍, et non $6 \times 15 = 90$ ‍

Le plus petit multiple commun des dénominateurs de deux ou plusieurs fractions est leur plus petit dénominateur commun .

Les fractions rationnelles

On applique le même raisonnement à cette addition :

\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)}

On cherche le plus petit dénominateur commun :

\underset{\begin{aligned} Il manque \\ le facteur \\ (x + 3) \end{aligned}}{\underset{⏟}{\frac{2}{(x - 2) (x + 1)}}} + \underset{\begin{aligned} Il manque \\ le facteur \\ (x - 2) \end{aligned}}{\underset{⏟}{\frac{3}{(x + 1) (x + 3)}}}

Le plus petit dénominateur commun est

(x - 2) (x + 1) (x + 3)

Voici maintenant le calcul :

\begin{aligned} \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} \times \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} \times \frac{x - 2}{x - 2} \\ = \frac{2 (x + 3)}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} + \frac{3 (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{2 (x + 3) + 3 (x - 2)}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2 x + 6 + 3 x - 6}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{5 x}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \end{aligned}

À vous !

Exercice 2

Additionner les deux fractions.
Le numérateur de la fraction somme doit être développé et réduit. Pour son dénominateur, ce n'est pas obligatoire.

\frac{1}{x (x - 6)} + \frac{3}{(x + 1) (x - 6)} =

Exercice 3

Soustraire les deux fractions.
Le numérateur de la fraction somme doit être développé et réduit. Pour son dénominateur, ce n'est pas obligatoire.

\frac{3 x}{2 (x - 1)} - \frac{4}{(x - 1) (x + 2)} =

Un dernier exercice

Additionner les deux fractions.
Le numérateur de la fraction somme doit être développé et réduit. Pour son dénominateur, ce n'est pas obligatoire.

\frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x^{2} - 3 x - 4} =

Pourquoi utiliser le plus petit dénominateur commun ?

Pourquoi se donner cette peine de chercher le plus petit dénominateur commun ?

Après tout, avec les fractions numériques ce n'est pas obligatoire et on peut très bien parvenir au bon résultat en faisant le produit des dénominateurs.

Voici l'une à côté de l'autre les deux façons de calculer la somme

\frac{3}{4} + \frac{1}{6}

. La première en utilisant leur plus petit dénominateur commun qui est

12

et la deuxième en utilisant comme dénominateur commun le produit des deux dénominateurs qui est

24

Plus petit dénominateur commun $12$ ‍	Dénominateur commun $24$ ‍
$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} & = \frac{3}{4} \times \frac{3}{3} + \frac{1}{6} \times \frac{2}{2} \\ = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} & = \frac{3}{4} \times \frac{6}{6} + \frac{1}{6} \times \frac{4}{4} \\ = \frac{18}{24} + \frac{4}{24} \\ = \frac{22}{24} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍

Dans le deuxième cas, il y a plus de travail !

C'est la même chose dans le cas des fractions rationnelles.

Mais du fait que les numérateurs et les dénominateurs sont des polynômes et non des nombres, les choses peuvent beaucoup se compliquer. D'abord, on doit faire les calculs avec des polynômes de plus haut degré et ensuite pour simplifier le résultat on doit factoriser les polynômes.

On reprend

\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)}

Voici les calculs si on choisit de multiplier les deux termes de la première fraction par le dénominateur de la deuxième et les deux termes de la deuxième fraction par le dénominateur de la première :

\begin{aligned} \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} \times \frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} \times \frac{(x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} \\ = \frac{2 (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} + \frac{3 (x - 2) (x + 1)}{(x + 1)^{2} (x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{2 (x + 1) (x + 3) + 3 (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{2 (x^{2} + 4 x + 3) + 3 (x^{2} - x - 2)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{2 x^{2} + 8 x + 6 + 3 x^{2} - 3 x - 6}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{5 x^{2} + 5 x}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \end{aligned}

On n'obtient pas le même résultat. C'est parce que l'on peut simplifier :

\begin{aligned} \frac{5 x^{2} + 5 x}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{5 x (x + 1)}{(x - 2) (x + 1) (x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{5 x}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \end{aligned}

On obtient finalement le même résultat, mais avec beaucoup plus de travail !

On s'évite du travail supplémentaire et inutile si on utilise le plus petit dénominateur commun des fractions.

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Un exemple simple pour commencer : 3x−2−2x+1‍

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