Contenu principal

Cours : Algèbre II > Chapitre 15

Leçon 6: Factoriser un trinôme en décomposant le terme en x

Factoriser un trinôme de la forme ax² + bx + c, où a ≠ 1, en décomposant le terme bx

Comment écrire un trinôme de la forme ax² + bx + c, où a est différent de 1 sous forme d'un produit de facteurs. Par exemple comment établir que 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Prérequis

Reportez-vous si nécessaire à la leçon Préambule à la méthode de factorisation d'un trinôme du second degré en décomposant le terme en x.

et aussi à Factoriser un trinôme lorsque le coefficient du terme du second degré est égal à 1

Le sujet traité

Cette leçon porte sur la factorisation d'un trinôme si le coefficient du terme du second degré est différent de

1

Exemple 1 : Factoriser $2 x^{2} + 7 x + 3$ ‍

Le coefficient de terme du second degré du trinôme

(2 x^{2} + 7 x + 3)

est

2

Pour factoriser

2 x^{2} + 7 x + 3

, la méthode est de chercher deux entiers dont le produit est égal à

2 \times 3 = 6

, c'est-à-dire au produit du coefficient du terme du second degré et du terme constant, et dont la somme est égale à

7

, c'est-à-dire au coefficient du terme en

x

1 \times 6 = 6

1 + 6 = 7

, donc ces deux entiers sont

1

6

On fait la liste des paires d'entiers dont le produit est

6

. Puis on cherche la paire dont la somme des termes est

7

Produit : $m \times n = 6$ ‍	‍	Somme : $m + n = 7$ ‍
$1 \times 6 = 6$ ‍		$1 + 6 = 7$ ‍
$2 \times 3 = 6$ ‍		$2 + 3 = 5$ ‍
$(- 1) \times (- 6) = 6$ ‍		$(- 1) + (- 6) = - 7$ ‍
$(- 2) \times (- 3) = 6$ ‍		$\begin{aligned} (- 2) + (- 3) = - 5 \end{aligned}$ ‍

On utilise les deux entiers trouvés pour décomposer le terme en

x

2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

On regroupe les deux premiers termes du trinôme et les deux derniers termes et on les factorise séparément comme on l'a vu dans la leçon précédente :

\begin{aligned} 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3 \\ = (2 x^{2} + 1 x) + (6 x + 3) \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) \\ = (2 x + 1) (x + 3) \end{aligned}

2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3 = (2 x + 1) (x + 3)

Pour vérifier, on peut effectuer le produit

(2 x + 1) (x + 3)

A retenir

Pour factoriser un trinôme de la forme

a x^{2} + b x + c

, une méthode est de :

Trouver les deux entiers dont le produit est $a c$ ‍ et dont la somme est $b$ ‍.
Utiliser ces deux entiers pour décomposer le terme en $x$ ‍.
Regrouper les deux premiers termes et les deux derniers termes du trinôme et les factoriser séparément.

À vous !

1) Le trinôme $3 x^{2} + 10 x + 8$ ‍ est égal à :

Pour factoriser

3 x^{2} + 10 x + 8

, on cherche les deux entiers dont le produit est

3 \times 8 = 24

et dont la somme est

10

On fait la liste des paires d'entiers dont le produit est

24

. Puis on cherche la paire dont la somme des termes est

10

Produit : $m \times n = 24$ ‍	‍	Somme : $m + n = 10$ ‍
$1 \times 24 = 24$ ‍		$1 + 24 = 25$ ‍
$2 \times 12 = 24$ ‍		$2 + 12 = 14$ ‍
$3 \times 8 = 24$ ‍		$3 + 8 = 11$ ‍
$4 \times 6 = 24$ ‍		$4 + 6 = 10$ ‍

La somme est positive, donc il n'était pas nécessaire de lister les paires d'entiers négatifs dont le produit est égal à

24

On décompose le terme en

x

10 x = 4 x + 6 x

\begin{aligned} 3 x^{2} + 10 x + 8 \\ = 3 x^{2} + 4 x + 6 x + 8 \\ = (3 x^{2} + 4 x) + (6 x + 8) \\ = x (3 x + 4) + 2 (3 x + 4) \\ = x (3 x + 4) + 2 (3 x + 4) \\ = (3 x + 4) (x + 2) \end{aligned}

3 x^{2} + 10 x + 8 = (3 x + 4) (x + 2)

2) Factoriser $4 x^{2} + 16 x + 15$ ‍.

Pour factoriser

4 x^{2} + 16 x + 15

, on cherche les deux entiers dont le produit est

4 \times 15 = 60

et dont la somme est

16

On fait la liste des paires d'entiers dont le produit est

60

. Puis on cherche la paire dont la somme des termes est

16

Produit : $m \times n = 60$ ‍	‍	Somme : $m + n = 16$ ‍
$1 \times 60 = 60$ ‍		$1 + 60 = 61$ ‍
$2 \times 30 = 60$ ‍		$2 + 30 = 32$ ‍
$4 \times 15 = 60$ ‍		$4 + 15 = 19$ ‍
$5 \times 12 = 60$ ‍		$5 + 12 = 17$ ‍
$6 \times 10 = 60$ ‍		$6 + 10 = 16$ ‍

La somme est positive, donc il n'était pas nécessaire de lister les paires d'entiers négatifs dont le produit est égal à

60

On décompose le terme en

x

16 x = 6 x + 10 x

\begin{aligned} 4 x^{2} + 16 x + 15 \\ = 4 x^{2} + 6 x + 10 x + 15 \\ = (4 x^{2} + 6 x) + (10 x + 15) \\ = 2 x (2 x + 3) + 5 (2 x + 3) \\ = 2 x (2 x + 3) + 5 (2 x + 3) \\ = (2 x + 3) (2 x + 5) \end{aligned}

4 x^{2} + 16 x + 15 = (2 x + 3) (2 x + 5)

Exemple 2 : Factoriser $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍

Pour factoriser

6 x^{2} - 5 x - 4

, on cherche les deux entiers dont le produit est

6 \times (- 4) = - 24

et dont la somme est

- 5

3 \times - 8 = - 24

3 + - 8 = - 5

, donc ces deux entiers sont

3

- 8

On fait la liste des paires d'entiers dont le produit est

- 24

. Puis on cherche la paire dont la somme des termes est

- 5

Produit : $m \times n = - 24$ ‍	‍	Somme : $m + n = - 5$ ‍
$1 \times (- 24) = - 24$ ‍		$1 + (- 24) = - 23$ ‍
$- 1 \times 24 = - 24$ ‍		$- 1 + 24 = 23$ ‍
$2 \times (- 12) = - 24$ ‍		$2 + (- 12) = - 10$ ‍
$- 2 \times 12 = - 24$ ‍		$- 2 + 12 = 10$ ‍
$3 \times (- 8) = - 24$ ‍		$3 + (- 8) = - 5$ ‍
$- 3 \times 8 = - 24$ ‍		$- 3 + 8 = 5$ ‍
$4 \times (- 6) = - 24$ ‍		$4 + (- 6) = - 2$ ‍
$- 4 \times 6 = - 24$ ‍		$\begin{aligned} - 4 + 6 = 2 \end{aligned}$ ‍

On décompose le terme en

x

- 5 x = 3 x + (- 8) x

$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x - 8 x - 4 \\ (1) & = (6 x^{2} + 3 x) + (- 8 x - 4) \\ (2) & = 3 x (2 x + 1) + (- 4) (2 x + 1) \\ (3) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) \\ (4) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) \\ (5) & = (2 x + 1) (3 x - 4) \end{aligned}$ ‍

6 x^{2} - 5 x - 4 = (2 x + 1) (3 x - 4)

Pour vérifier, on peut effectuer le produit

(2 x + 1) (3 x - 4)

Attention. A l'étape

(1)

, on a mis un signe "+" entre

(6 x^{2} + 3 x)

(- 8 x - 4)

. De cette façon, la deuxième parenthèse contient bien le troisième terme du polynôme qui est

(- 8 x)

et le quatrième terme. A l'étape

(2)

, on a mis

- 4

en facteur de façon à obtenir le facteur commun

(2 x + 1)

À vous !

3) Le trinôme $2 x^{2} - 3 x - 9$ ‍ est égal à :

Pour factoriser

2 x^{2} - 3 x - 9

, on cherche les deux entiers dont le produit est

2 \times - 9 = - 18

et dont la somme est

- 3

On fait la liste des paires d'entiers dont le produit est

- 18

. Puis on cherche la paire dont la somme des termes est

- 3

Produit : $m \times n = - 18$ ‍	‍	Somme : $m + n = - 3$ ‍
$(- 1) \times 18 = - 18$ ‍		$(- 1) + 18 = 17$ ‍
$1 \times (- 18) = - 18$ ‍		$1 + (- 18) = - 17$ ‍
$(- 2) \times 9 = - 18$ ‍		$(- 2) + 9 = 7$ ‍
$2 \times (- 9) = - 18$ ‍		$2 + (- 9) = - 7$ ‍
$(- 3) \times 6 = - 18$ ‍		$(- 3) + 6 = 3$ ‍
$3 \times (- 6) = - 18$ ‍		$3 + (- 6) = - 3$ ‍

On décompose le terme en

x

- 3 x = 3 x + - 6 x

\begin{aligned} 2 x^{2} - 3 x - 9 \\ = 2 x^{2} + 3 x - 6 x - 9 \\ = (2 x^{2} + 3 x) + (- 6 x - 9) \\ = x (2 x + 3) + (- 3) (2 x + 3) \\ = x (2 x + 3) - 3 (2 x + 3) \\ = x (2 x + 3) - 3 (2 x + 3) \\ = (2 x + 3) (x - 3) \end{aligned}

2 x^{2} - 3 x - 3 x - 9 = (2 x + 3) (x - 3)

4) Factoriser $3 x^{2} - 2 x - 5$ ‍.

Pour factoriser

3 x^{2} - 2 x - 5

, on cherche les deux entiers dont le produit est

3 \times - 5 = - 15

et dont la somme est

- 2

On fait la liste des paires d'entiers dont le produit est

- 15

. Puis on cherche la paire dont la somme des termes est

- 2

Produit : $m \times n = - 15$ ‍	‍	Somme : $m + n = - 2$ ‍
$(- 1) \times 15 = - 15$ ‍		$(- 1) + 15 = 14$ ‍
$1 \times (- 15) = - 15$ ‍		$1 + (- 15) = - 14$ ‍
$(- 3) \times 5 = - 15$ ‍		$(- 3) + 5 = 2$ ‍
$3 \times (- 5) = - 15$ ‍		$3 + (- 5) = - 2$ ‍

On décompose le terme en

x

- 2 x = - 5 x + 3 x

\begin{aligned} 3 x^{2} - 2 x - 5 \\ = 3 x^{2} - 5 x + 3 x - 5 \\ = (3 x^{2} - 5 x) + (3 x - 5) \\ = x (3 x - 5) + 1 (3 x - 5) \\ = x (3 x - 5) + 1 (3 x - 5) \\ = (3 x - 5) (x + 1) \end{aligned}

3 x^{2} - 2 x - 5 = (3 x - 5) (x + 1)

5) Factoriser $6 x^{2} - 13 x + 6$ ‍.

Pour factoriser

6 x^{2} - 13 x + 6

, on cherche les deux entiers dont le produit est

6 \times 6 = 36

et dont la somme est

- 13

On fait la liste des paires d'entiers dont le produit est

36

. Puis on cherche la paire dont la somme des termes est

- 13

Les deux entiers cherchés sont négatifs car leur produit est positif et leur somme est négative. Donc on liste seulement les paires d'entiers négatifs dont le produit est

36

Produit: $m \times n = 36$ ‍	‍	Somme : $m + n = - 13$ ‍
$(- 1) \times (- 36) = 36$ ‍		$(- 1) + (- 36) = - 37$ ‍
$(- 2) \times (- 18) = 36$ ‍		$(- 2) + (- 18) = - 20$ ‍
$(- 3) \times (- 12) = 36$ ‍		$(- 3) + (- 12) = - 15$ ‍
$(- 4) \times (- 9) = 36$ ‍		$(- 4) + (- 9) = - 13$ ‍
$(- 6) \times (- 6) = 36$ ‍		$(- 6) + (- 6) = - 12$ ‍

On décompose le terme en

x

- 13 x = - 4 x + - 9 x

\begin{aligned} 6 x^{2} - 13 x + 6 \\ = 6 x^{2} - 4 x - 9 x + 6 \\ = (6 x^{2} - 4 x) + (- 9 x + 6) \\ = 2 x (3 x - 2) + (- 3) (3 x - 2) \\ = 2 x (3 x - 2) - 3 (3 x - 2) \\ = 2 x (3 x - 2) - 3 (3 x - 2) \\ = (3 x - 2) (2 x - 3) & 3 x - 2 \end{aligned}

6 x^{2} - 13 x + 6 = (3 x - 2) (2 x - 3)

Quand utilise-t-on cette méthode ?

On peut utiliser cette méthode pour factoriser certains trinômes de la forme

a x^{2} + b x + c

, si

a \neq 1

Certains seulement !

En effet, soit par exemple le trinôme

2 x^{2} + 2 x + 1

. Pour utiliser cette méthode de factorisation, il faut d'abord trouver les deux entiers dont le produit est

2 \times 1 = 2

et dont la somme est

2

. Vous pouvez essayer, vous ne les trouverez pas !

Donc on ne peut pas utiliser cette méthode pour factoriser

2 x^{2} + 2 x + 1

. Et bien sûr, ce n'est pas le seul trinôme que l'on ne peut pas factoriser en utilisant cette méthode

Dans tous les cas, si l'on ne peut pas utiliser cette méthode, c'est que la factorisation du trinôme n'est pas de la forme

(A x + B) (C x + D)

où

A

B

C

D

sont des entiers.

Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle ?

La méthode est basée sur l'identité : Quel que soit

x

(A C) x^{2} + (B C + A D) x + B D = (A x + B) (C x + D)

Soit un trinôme de la forme

a x^{2} + b x + c

que l'on peut factoriser sous la forme

(A x + B) (C x + D)

, où

A

B

C

D

sont des entiers.

Si on développe ce produit on obtient

(A C) x^{2} + (B C + A D) x + B D

Quel que soit

x

, ce trinôme est égal au trinôme

a x^{2} + b x + c

. On identifie leurs coefficients :

a = A C

b = B C + A D

c = B D

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{B C + A D}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

On pose

m = B C

n = A D

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{\overset{m}{\overset{⏞}{B C}} + \overset{n}{\overset{⏞}{A D}}}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

Donc,

m + n = B C + A D = b

m \times n = B C \times A D = A C \times B D = a \times c

Et donc les deux entiers que l'on cherche sont

B C

A D

Une fois que l'on a trouvé les entiers

m

n

on les utilise pour décomposer le terme en

x

du trinôme à factoriser.

Il est clair que si l'on remplace

(B C + A D) x

par

(B C) x + (A D) x

, puis si l'on regroupe les deux premiers termes et les deux derniers termes du trinôme et si on les factorise séparément, on obtient le produit

(A x + B) (C x + D)

En conclusion,

On est parti d'un trinôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ ‍ dont la factorisation est de la forme $(A x + B) (C x + D)$ ‍,
On a trouvé deux entiers $m$ ‍ et $n$ ‍, tels que $m n = a c$ ‍ et $m + n = b$ ‍ $($ ‍en posant $m = B C$ ‍ et $n = A D)$ ‍,
On a remplacé $b x$ ‍ par $m x + n x$ ‍, et on a obtenu la factorisation $(A x + B) (C x + D)$ ‍.