Je ne comprends pas la règle n°2.

Avec cette méthode, on part d'un trinôme et on cherche à obtenir une forme du type (x + a)² ou (x - a)². Or, si on voulait faire l'opération en sens inverse, on obtiendrait un trinôme dont le facteur de x² serait 1: (x + a)² = _1x²_ + 2ax + a² ou (x - a)² = _1x²_ - 2ax + a² Voilà pourquoi la Règle nº2 nous dit de diviser tous les termes du trinôme de façon a obtenir un facteur de 1 pour le terme au carré, tel que: (1) 3x² - 93x + 14 = 0 (2) 3x²/3 - 93x/3 + 14/3 = 0 (3) 1x² - 31x + 14/3 = 0 Qu'on pourra ensuite factoriser avec la méthode décrite dans ce cour. Et là ou les méthodes précédentes n'auraient pas marché avec n'importe quel trinôme, là, j'ai pris des valeurs au pif, parce que ça marchera avec tous les trinômes. Si je ne me suis pas planté, la solution de cet exemple serait: (x - 31)² - 2827/12 = 0 Donc: x = sqrt(2827/12) - 31 || x = -sqrt(2827/12) - 31

Contenu principal

Cours : Algèbre II > Chapitre 16

Leçon 6: La forme canonique

La forme canonique
Mettre un trinôme du second degré sous forme canonique
Calcul de la valeur de c si x² - 44x + c est le carré d'une somme
Forme canonique d'un trinôme du second degré 1
Écrire un trinôme du second degré sous forme canonique
Résoudre une équation du second degré après avoir mis le trinôme sous forme canonique
Forme canonique d'un trinôme du second degré 2
Utiliser la forme canonique 2
La forme canonique
Utiliser la forme canonique 3
Forme canonique d'un trinôme du second degré - ce qu'il faut retenir

Conditions d'utilisation (en anglais)Politique de confidentialité Utilisation de cookies

Mettre un trinôme du second degré sous forme canonique

Google Classroom

Par exemple, si on met le trinôme x²+6x+2 sous forme canonique, c'est-à-dire si on montre que x²+6x+2 = (x+3)²-7, alors la résolution de l'équation x²+6x+2=0 se ramène à celle de l'équation (x+3)²-7=0

Les prérequis

Résoudre une équation de la forme X² = a.
Résoudre une équation du second degré à l'aide d'une factorisation.

Le sujet traité

Jusqu'à maintenant, nous avons vu comment résoudre des équations du second degré grâce à deux méthodes, relativement simples et efficaces : prendre la racine carrée ou factoriser. Malheureusement, elles ne sont pas toujours applicables.

Cette leçon donne LA solution pour résoudre une équation du second degré quels que soient les coefficients

a, b

‍ et

c

‍.

Résoudre une équation du second degré en utilisant la forme canonique

On considère l'équation

x^{2} + 6 x = - 2

‍. On ne peut ni prendre la racine carrée, ni factoriser.

On ne peut pas prendre directement la racine carrée car il y a des termes en

x

‍ de degrés différents (des termes en

x

‍ et des termes en

x^{2}

‍).

Aucune des méthodes simples de factorisation n'est applicable à

x^{2} + 6 x + 2

‍. Il suffit d'essayer pour s'en rendre compte.

Mais tout espoir n'est pas perdu ! On utilise ici la forme canonique. Voici ce dont il s'agit :

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 6 x + 2 & = 0 \\ (2) & on fait apparaître le carré d’une somme & x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 2 & = 0 \\ (3) & première identité remarquable & (x + 3)^{2} - 7 & = 0 \\ (4) & troisième identité remarquable & [(x + 3) - \sqrt{7}] [(x + 3) + \sqrt{7}] & = 0 \\ (5) & x + 3 & = \pm \sqrt{7} \\ (6) & x & = - 3 \pm \sqrt{7} \end{aligned}

‍

Il y a deux solutions

x = - 3 + \sqrt{7}

‍ et

x = - 3 - \sqrt{7}

‍.

On regarde de plus près

À la ligne

(2)

‍, on a ajouté et retranché

9

‍. Ceci permet de faire apparaître

x^{2} + 6 x + 9

‍ qui est le développement du carré de

(x + 3)

‍. On obtient, à la ligne

(3)

‍,

(x + 3)^{2} - 7

‍. Or,

7

‍ est le carré de racine de

7

‍, donc on a fait apparaître une différence de deux carrés que l'on peut factoriser.

(x + 3)^{2} - 7

‍ s'appelle la forme canonique du trinôme

x^{2} + 6 x + 9

‍.

Ce n'est bien sûr pas par hasard que l'on a choisi d'ajouter et de retrancher

9

‍. C'était en vue de mettre en évidence le développement du carré d'une somme.

Le choix du nombre à ajouter et retrancher

Si on a choisi le nombre

9

‍ c'est parce que

x^{2} + 6 x

‍ est le début du développement du carré de

x + 3

‍. En effet

(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9

‍.

On peut poser le problème d'une autre façon. On peut se demander quelle doit être la valeur de

a

‍ pour que

x^{2} + 6 x + a^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}

‍. De cette égalité on déduit que :

$2 a = 6$ ‍, donc $a = 3$ ‍.
Le nombre qu'il faut ajouter à $x^{2} + 6 x$ ‍ est $a^{2}$ ‍, c'est-à-dire $3^{2} = 9$ ‍.

À vous !

Exercice 1

Quel nombre faut-il ajouter à $x^{2} + 10 x$ ‍ pour obtenir le développement du carré d'une somme ?

Votre réponse doit être
un entier, comme $6$ ‍
une fraction simplifiée telle que $3 / 5$ ‍
une fraction simplifiée telle que $7 / 4$ ‍
un nombre fractionnaire, par exemple, $1 3 / 4$ ‍
un nombre décimal, comme $0, 75$ ‍
un multiple de Pi, tels que $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

Exercice 2

Quel nombre faut-il ajouter à $x^{2} - 2 x$ ‍ pour obtenir le développement du carré d'une différence ?

Votre réponse doit être
un entier, comme $6$ ‍
une fraction simplifiée telle que $3 / 5$ ‍
une fraction simplifiée telle que $7 / 4$ ‍
un nombre fractionnaire, par exemple, $1 3 / 4$ ‍
un nombre décimal, comme $0, 75$ ‍
un multiple de Pi, tels que $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

Exercice 3

Quel nombre faut-il ajouter à $x^{2} + \frac{1}{2} x$ ‍ pour obtenir le développement du carré d'une somme ?

Votre réponse doit être
une fraction simplifiée telle que $3 / 5$ ‍

Un dernier exercice

Quel nombre faut-il ajouter à $x^{2} + b \times x$ ‍ pour obtenir le développement du carré d'une somme ?

Choisissez une seule réponse :

(Choix A)
$b^{2}$ ‍
(Choix B)
${(\frac{b}{2})}^{2}$ ‍
(Choix C)
$(2 b)^{2}$ ‍
(Choix D)
$\frac{b}{2}$ ‍

Remarque. On peut en déduire une formule. Pour mettre le trinôme

x^{2} + b x

‍ sous forme canonique, il faut ajouter et retrancher

{(\frac{b}{2})}^{2}

‍.

Par exemple, pour mettre

x^{2} + 6 x

‍ sous forme canonique, on ajoute et on retranche

{(\frac{6}{2})}^{2} = 9

‍.

Un dernier exemple

Le voici :

Soit à résoudre l'équation

x^{2} - 10 x + 12 = 0

‍.

\begin{aligned} (1) & x^{2} - 10 x + 12 & = 0 \\ (2) & On fait apparaître le carré d’une différence & x^{2} - 10 x + 25 - 25 + 12 & = 0 \\ (3) & deuxième identité remarquable & (x - 5)^{2} - 13 & = 0 \\ (4) & troisième identité remarquable & [(x - 5) - \sqrt{13}] [(x - 5) + \sqrt{13}] & = 0 \\ (5) & x - 5 & = \pm \sqrt{13} \\ (6) & x & = 5 \pm \sqrt{13} \end{aligned}

‍

x^{2} - 10 x

‍ est le début du développement du carré de

x - 5

‍, donc à la ligne

(2)

‍ on a ajouté et retranché

25

‍ qui est le carré de

5

‍.

On a obtenu

(x - 5)^{2} - 13

‍. Or,

13

‍ est le carré de racine de

13

‍, donc on a fait apparaître une différence de deux carrés, facile à factoriser.

À vous !

Exercice 4

Les solutions de l'équation $x^{2} - 8 x = 5$ ‍ sont :

Choisissez une seule réponse :

(Choix A)
$x = \sqrt{21} - 4$ ‍ et $- \sqrt{21} - 4$ ‍
(Choix B)
$x = \sqrt{69} - 8$ ‍ et $- \sqrt{69} - 8$ ‍
(Choix C)
$x = \sqrt{21} + 4$ ‍ et $- \sqrt{21} + 4$ ‍
(Choix D)
$x = \sqrt{69} + 8$ ‍ et $- \sqrt{69} + 8$ ‍

Exercice 5

Les solutions de l'équation $x^{2} + 3 x = - \frac{1}{4}$ ‍ sont :

Choisissez une seule réponse :

(Choix A)
$x = \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{1}{2}}$ ‍ et $\frac{3}{4} - \sqrt{\frac{1}{2}}$ ‍
(Choix B)
$x = \frac{3}{2} + \sqrt{2}$ ‍ et $\frac{3}{2} - \sqrt{2}$ ‍
(Choix C)
$x = - \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{1}{2}}$ ‍ et $- \frac{3}{4} - \sqrt{\frac{1}{2}}$ ‍
(Choix D)
$x = - \frac{3}{2} + \sqrt{2}$ ‍ et $- \frac{3}{2} - \sqrt{2}$ ‍

Deux règles à observer

Règle 1 : D'abord écrire l'équation sous la forme $a x^{2} + b x + c = 0$ ‍

Par exemple, soit l'équation

x^{2} + 5 x - 6 = x + 1

‍.

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 5 x - 6 & = x + 1 \\ (2) & équivaut à & x^{2} + 4 x - 6 & = 1 \\ (3) & équivaut à & x^{2} + 4 x - 7 & = 0 \\ (4) & on fait apparaître le carré d’une somme : & (x^{2} + 4 x + 4) - 4 - 7 & = 0 \\ (5) & mise sous forme canonique : & (x + 2)^{2} - 11 & = 0 \\ (6) & factorisation : & [(x + 2) + \sqrt{11}] [(x + 2) - \sqrt{11}] & = 0 \\ (7) & x + 2 & = \pm \sqrt{11} \\ (8) & x & = - 2 \pm \sqrt{11} \end{aligned}

‍

Si on entreprend de mettre en évidence un carré dans le premier membre et que dans l'autre membre il y a des termes en

x

‍, la méthode ne marchera pas.

‍

Il faut toujours commencer par mettre l'équation sous la forme

a x^{2} + b x + c = 0

‍.

‍

Règle 2 : Diviser éventuellement tous les termes par $a$ ‍ pour que le coefficient de $x^{2}$ ‍ soit égal à $1$ ‍.

Soit l'équation

3 x^{2} - 36 x = - 42

‍.

\begin{aligned} (1) & 3 x^{2} - 36 x + 42 & = 0 \\ (2) & équivaut à & x^{2} - 12 x + 14 & = 0 \\ (3) & équivaut à & x^{2} - 12 x + 36 - 36 + 14 & = 0 \\ (4) & mise sous forme canonique & (x - 6)^{2} - 22 & = 0 \\ (5) & factorisation & [(x - 6) - \sqrt{22}] [(x - 6) + \sqrt{22}] & = 0 \\ (6) & x - 6 & = \pm \sqrt{22} \\ (7) & x & = 6 \pm \sqrt{22} \end{aligned}

‍

Cette méthode ne fonctionne que si le coefficient de

x^{2}

‍ est

1

‍.

Car l'objectif est de montrer que le trinôme est de la forme

(x + a)^{2}

‍ où le coefficient de

x

‍ est

1

‍.

On ne peut pas écrire

3 x^{2} - 36 x

‍ sous la forme

(x - a)^{2}

‍. En effet

3 x^{2} - 36 x

‍ ne peut être que de la forme

(\sqrt{3} \times x - a)^{2}

‍, et si on développe ce carré, on obtient

3 x^{2} + 2 a \sqrt{3} \times x - a^{2}

‍.

C’est pourquoi à la ligne

(2)

‍ on a divisé par

3

‍ qui est le coefficient de

x^{2}

‍.

Bien sûr, parfois cette division par le coefficient de

x^{2}

‍ fait apparaître des fractions.

\begin{aligned} 4 x^{2} - 4 x - 11 & = 0 \\ équivaut à (en divisant les deux membres par 4) : x^{2} - x - \frac{11}{4} & = 0 \\ on fait apparaître un carré : (x^{2} - x + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} - \frac{11}{4} & = 0 \\ on met sous forme canonique : {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3 & = 0 \\ on factorise : [(x - \frac{1}{2}) - \sqrt{3}] [(x - \frac{1}{2}) + \sqrt{3}] & = 0 \\ x - \frac{1}{2} & = \pm \sqrt{3} \\ x & = \frac{1}{2} \pm \sqrt{3} & . \end{aligned}

‍

\frac{}{}

‍

Les solutions sont

x = \frac{1}{2} + \sqrt{3}

‍ et

\frac{1}{2} - \sqrt{3}

‍.

A vous !

Exercice 6

Les solutions de l'équation $4 x^{2} + 20 x - 3 = 0$ ‍ sont :

Choisissez une seule réponse :

(Choix A)
$x = - \frac{5}{2} + \sqrt{7}$ ‍ et $- \frac{5}{2} - \sqrt{7}$ ‍
(Choix B)
$x = - 5 + \sqrt{10}$ ‍ et $- 5 - \sqrt{10}$ ‍
(Choix C)
$x = \frac{5}{2} + \sqrt{7}$ ‍ et $\frac{5}{2} - \sqrt{7}$ ‍
(Choix D)
$x = 5 + \sqrt{10}$ ‍ et $5 - \sqrt{10}$ ‍

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Connectez-vous

Trier par :

amaryllis.swann
Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de amaryllis.swann «Je ne comprends pas la rè ... »
Je ne comprends pas la règle n°2.
Bouton qui renvoie à la page de connexionBouton qui renvoie à la page de connexion
(4 votes)
Réponse
- Michael
  Posté il y a il y a un an. Lien direct vers le message de Michael «Avec cette méthode, on pa ... »
  Avec cette méthode, on part d'un trinôme et on cherche à obtenir une forme du type (x + a)² ou (x - a)².
  
  Or, si on voulait faire l'opération en sens inverse, on obtiendrait un trinôme dont le facteur de x² serait 1:
  
  (x + a)² = 1x² + 2ax + a²
  ou
  (x - a)² = 1x² - 2ax + a²
  
  Voilà pourquoi la Règle nº2 nous dit de diviser tous les termes du trinôme de façon a obtenir un facteur de 1 pour le terme au carré, tel que:
  
  (1) 3x² - 93x + 14 = 0
  (2) 3x²/3 - 93x/3 + 14/3 = 0
  (3) 1x² - 31x + 14/3 = 0
  
  Qu'on pourra ensuite factoriser avec la méthode décrite dans ce cour. Et là ou les méthodes précédentes n'auraient pas marché avec n'importe quel trinôme, là, j'ai pris des valeurs au pif, parce que ça marchera avec tous les trinômes.
  
  Si je ne me suis pas planté, la solution de cet exemple serait:
  (x - 31)² - 2827/12 = 0
  Donc:
  x = sqrt(2827/12) - 31 || x = -sqrt(2827/12) - 31
  Bouton qui renvoie à la page de connexion
  (2 votes)

Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.

Algèbre II

Cours : Algèbre II > Chapitre 16

Les prérequis

Le sujet traité

Résoudre une équation du second degré en utilisant la forme canonique

On regarde de plus près

Le choix du nombre à ajouter et retrancher

Un dernier exemple

Deux règles à observer

Règle 1 : D'abord écrire l'équation sous la forme ax2+bx+c=0‍

Règle 2 : Diviser éventuellement tous les termes par a‍ pour que le coefficient de x2‍ soit égal à 1‍ .

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Règle 1 : D'abord écrire l'équation sous la forme $a x^{2} + b x + c = 0$ ‍

Règle 2 : Diviser éventuellement tous les termes par $a$ ‍ pour que le coefficient de $x^{2}$ ‍ soit égal à $1$ ‍.