Modéliser à l'aide d'un système d'inéquations du 1er degré à deux variables

sur un site de vente de musique et de jeux louis a reçu un bon cadeau d'une valeur de 25 euros 25 euros le téléchargement d'une chanson coude 0,89 euro 89 centimes d'euros et celui d'un jeu coûte 1,89 euro 1 euros et 99 centimes il voudrait téléchargé au moins 4 15 éléments au moins quinze éléments avec son bon cadeau traduire cette situation par un système d'une équation linéaire puis représenter graphiquement les téléchargements possible alors bon la première partie c'est qu'il veut trouver un système d'une équation linéaire qui va traduire cet énoncé alors pour ça on va commencer il faut toujours commencer comme ça par introduire nos variable alors ici ce que je vais faire c'est je vais appeler x x ça va être le nombre de jeux le nombre de jeux cd jeux vidéo ici et puis je vais dire que y/y c'est le nombre de chansons voilà y c'est le nombre de chansons alors bon je pourrais donner d'autres non ça n'a aucune importance mais bon je vais faire comme ça c'est assez classique et du coup maintenant il faut que j'essaie de traduire l'énoncé à part d une équation linéaire par deux inéquation l'inr alors la première chose qu'on sait c'est que il voudrait téléchargé au moins quinze éléments et ça ça veut dire que le nombre de chansons qu'il a téléchargé plus le nombre de jeux qu'il a téléchargé ça doit être supérieur ou égal à 15 au moins quinze ça veut dire supérieure ou égale à 15 donc ça ça donne une première une équation qui va être celle là donc c'est x plus y x plus y qui doit être supérieur ou égal à 15 ça c'est la première idée quoi sion qui est donnée tout simplement par cette phrase là il veut télécharger au moins quinze éléments avec son bon cadeau alors maintenant on va essayer de trouver une deuxième inéquation et ses lampes l'a trouvé en tenant compte du fait que la valeur du bon cadeau c'est 25 euros 25 euros c'est la valeur du bon cadeau et ses 25 euros il va aller dépenser en achetant des chansons ou des jeux c'est ce que dit l'énoncé alors on sait que le prix d'une chanson c'est 0,89 euro 0,1 tre 20,9 euros donc s'ils achètent y chansons et bien il va payer 0.89 y puisque chaque chanson coûte 0,89 euro voilà ça c'est pour les chansons et pour les jeux ont fait exactement la même chose si un jeu ça coûte 1,99 euros donc s'ils achètent x jeu il va devoir payer 1,99 x x 1 99 x c'est le prix qui devra payer pour xe jeux alors maintenant le prix total s'il achète x jeu et y chanson ça sera 0.89 y +5 99 x voilà plus 1,99 fixe le prix total des chansons plus le prix total des jeux et tout ça il doit l'acheter avec son bon cadeau qui a une valeur de 25 euros ce qui veut dire que ce qui veut dire que cette somme là doit être inférieur ou égal à 25 euros voilà donc là on a un système d'équations d'une équation pardon à deux inconnues de deuxième d'équations linéaires à deux inconnues donc on a répondu à la première partie de la question traduire cette situation par un système d'une équation linéaire alors ensuite on doit représenter graphiquement les téléchargements possible alors pour ça on va utiliser cette feuille quadrillée qui est là donc déjà on va placer des axes il faut qu'on place un repère et une origine et des unités sur sur ceux sur cette feuille quadrillée alors ici évidemment on va s'occuper que de valeur x et y positive parce que ça aurait pas vraiment de sens d'acheter et de considérer le cas où il achète un nombre négatif de jeu ou un nombre négatif de chansons ce qui veut dire que finalement ce qui nous intéresse c'est uniquement le premier cadran du plan donc je peux placer les axes ici sur les bords du de la feuille quadrillée alors je vais les tracés ici en bas je vais placer l'axé des abscisses voilà et puis verticalement ça va être l'axé des ordonnées voilà donc j'ai dit que ici c'étaient les ordres donnés alors je peux placer en fait ici je pourrai place et y en abscisses et x en ordonner ou le contraire ça n'a aucune importance mais bon comme j'ai pris ces lettres x et y classique donc je vais faire comme d'habitude je vais mettre x en abscisses et y en ordonner voilà est donc ici c'est l'origine puis faut encore que je choisisse des des échelles sur chaque axe est en fait là je vais prendre je veux dire qu'un carreau en abscisse à un carrosse et deux unités donc là je vais avoir ici ces deux carreaux donc ici ça va être 4la 6 puis 8 jeux les dots tous les deux carreaux donc ici c'est 12 ici c'est 16 là du coup ses vins et puis ainsi de suite dont je vais aller un peu plus vite lasser 24la ces 28 et puis la c30 de voilà et sur l'or en ordonner je vais prendre la même unité un carré ces deux unités donc là j'ai quatre ici c'est 8 ici c'est 12 puis 16 et ainsi de suite voilà un quart est égale deux unités alors maintenant je vais m'occuper de placer les solutions de chaque une équation je vais m'occuper d'abord de celle là x plus y supérieur ou égal à 15 alors si on prend x égal à zéro en obtient y supérieur ou égal à 15 ça veut dire que ici c'est bon ça c'est 14 donc 15 c'est la voilà et du coup je peux dire que ie6 est égal à zéro et bien y doit être supérieure à 15 donc y ça va être toute cette partie il peut peut prendre toutes ces valeurs là supérieur ou égal à 15 voilà et puis maintenant je vais faire la même chose mais avec en prenant y et gagnent 0,6 y est égal à zéro j'obtiens l'inéquation x supérieur ou égal à 15 alors 15 c'est là qu'un c'est ici voilà et donc s'il y est égal à zéro x doit être supérieur ou égal à quinze qui fait que j'obtiens en fait toutes les valeurs de x possibles qui sont celles ci supérieur à la variable à la valeur 15 pardon voilà alors là j'ai tracé en fait les ans l'ensemble solution pour x égal à zéro et pour y égal à zéro maintenant pour tracer l'ensemble des solutions complet et bien il faut que je trace la droite d'équations x plus y égal à quinze et en fait elle passe par ces deux points si par ce point ci et ce point-ci que je viens de calculer des coordonnées 1 0 15 et 15 0 donc je vais tracé cette droite c'est celle ci voilà alors ça c'est la droite d'équations x plus y égal à quinze et sept droit-lettres partage le premier cadre en deux parties une de ces parties va être la solution de l'équation x luxe y supérieur ou égal à 15 alors comment est ce qu'on peut faire pour choisir laquelle est ce que c'est celle ci ou celle ci n'a ici en fait on l'a déjà fait puisque quand hicks est égal à zéro des solutions se trouvent de ce côté là donc dans cette partie là et quand y égal à zéro on a fait le même raisonnement les solutions se trouvent de ce côté là donc finalement les solutions de cette inéquation là c'est cette partie là du plan que je vais hachuré en bleu voilà c'est tout ça tout ce côté là de la droite c'est pas très joliment assurer enfin bon c'est j'espère que tu comprends ce que je fais on est on se situe deux sets côté là de la droite d'équations x plus y égale 15 voilà alors maintenant on va faire la même chose avec pour la deuxième une équation 0.89 y plus 1,99 x inférieur ou égal à 25 et pour faire ça en fait je vais être assez directement la droite d'équations 0.89 y plus 1,99 x égal à 25 je vais faire je vais essayer de tracer cette droite là donc il faut trouver deux points de cette droite là donc je vais le faire en choisissant comme d'habitude des valeurs simples de x et y je vais prendre x égal zéro déjà et donc j'obtiens 0,89 y égal à 25 ça ça veut dire que y sera égal à 25 / 0 89 25 / 0,89 et ça je vais le faire la calculatrice donc c'est alors 25 / 0,4 vingt neuf et ça fait 28,09 on va dire à peu près environ 28,09 voilà donc quand hicks est égal à zéro on est sur la queue désordonnée et y le y correspondance et 28 un peu plus de 28 alors il ici on l'a 20 là on à 24,28 donc 28,09 ce sera un tout petit peu au dessus de 28 ici un donc ça ici c'est 28,09 voilà à peu près et puis on va placer un autre point donc on va prendre en fait ici cette fois ci y égal zéro alors qu'en y est égal à zéro eh bien je obtient l'équation 1,99 ce terme là disparaît donc j'obtiens 1,99 x égale 25 donc je vais j'isole x ça me donne x égale 25 / 1,99 voilà donc ça c'est à peu près la moitié de 25 ans va quand même le calcul et pour avoir une valeur à peu près précise 25 / 1,99 ça fait voilà 12,56 environ 12,56 alors maintenant je vais placer ce deuxième point donc je suis sur l'axé des abscisses 1 puisque y est égal à zéro je suis à 12 alors ici ici c'est 12 là c'est 14 donc au milieu c'est 13 donc je suis un quart de ceux petits carreaux on va dire voilà c'est à peu près ici maintenant je vais tracé la droite d'équations 0 90 89 y pardon +5 99 fixé galles 25 en fait c'est la droite qui passe par ces deux points que je viens de placer voilà ici alors ça c'est la droite frontières qui délimite les solutions la partie du plan qui contient les solutions de cette inéquation là faut qu'on arrive à décider quel parti est la bonne donc quelle partie effectivement celle qui correspond aux solutions alors pour faire ça je pourrais faire comme tout à l'heure mais en fait il suffit de choisir un point du plan n'importe lequel de remplacer xy par ses coordonnées et de voir si effectivement il le poids qu'on a choisi est du bon côté il ya quelque chose de toujours très simple à faire c'est de choisir l'origine du repaire x égal à zéro et y égal à zéro donc c'est ce qu'on va faire ici s'ils remplacent x et y par 0 on va avoir ici zéro plus zéro donc ça fait zéro c'est effectivement ce inférieur ou égal à 25 donc le couple 00 fait partie des solutions de cette inéquation ce qui veut dire que les solutions elles sont de ce côté-ci de la droite voilà alors maintenant ce qu'on cherche ne sais pas les solutions de la première équation puis les solutions de la deuxième équation comme on vient de le faire en fait nous ce qu'on veut c'est les solutions des deux équations c'est à dire les couples de valeurs qui sont à la fois solution de la première équation dont qui sont dans la partie assurée en bleu et qui sont aussi solution de la deuxième une équation de dire qu'elle veut ils doivent aussi être dans la partie assurée en orange donc il faut qu'on prenne les points en fait qu'ils sont dans dans la partie qui est hachurée en bleu et en orange en fait c'est tout ça voilà toute cette partie là alors les inégalités sont large a cédé inférieures et supérieures ou égales ici est inférieure ou égale la et du coup ce domaine inclus inclus c'est droite qui sont là enfin ces partis des deux droites les frontières du domaine voilà donc les solutions du système d'équations elles sont dans cette partie là du plan