Démonstration du théorème du reste

dans les vidéos précédentes on a travaillé un petit peu avec le ce qu'on avait appelé le théorème du reste pour les taux des polynômes qui disait que si on divise est un polynôme f 2 x par le polynomics - yahoo a est un nombre réel le reste de la division bien c'était f2 a donc le polynôme calculé pour x égal à alors on va le démontrer mais pour l'instant je vais reprendre le cas qu'on avait qu'on avait utilisé pour avoir une intuition de ce théorème donc je vais reprendre c'est ce polynôme là et je vais le / x - 1 donc c'est ce qu'on avait fait dans la vidéo précédente on avait divisé on avait posé la division 2 3x au carré - 4 x + 7 par x - 1 et on avait trouvé ça finalement le quotient c'était 3 x - et le reste c'était 6 alors je vais l'écrire ça c'est le quotient c'est un polynôme aussi et donc le reste ici en rouge c6 est en fait ça ça veut dire que on peut écrire le polynôme alors je vais leur écrire en jaune le polynôme f 2 x celui là on peut l'écrire de cette manière là 3x au carré - 4x plus 7 eh bien on peut on va pouvoir l'écrire comme le quotient donc le quotient c'est cette partie là un polynôme l'a donc 3 x - 1 x le diviseur c'est celui là le diviseur x moisins plus le reste plus le reste donc le reste ici c'est 6 voilà en fait ça ça marche exactement comme dans le cas d'une division normale avec des nombres 1 on peut faire un petit exemple si tu veux pour forcer l'analogie donc si je pose des divisions de 25 par exemple par 6 jeux la pause comme ça 25 / 6 alors on peut faire sa division dans 25 combien de fois 6 mais on va avoir 4 x 6 4 x 6 donc je vais faire je vais quatre fois ci ça fait vingt-quatre donc ici je vais calculé 25 - 24 et ça fait 1 25 ans 24 ça fait 1 donc le reste de la division ici c'est un et en fait on peut lire cette division exactement comme on l'a fait ici en disant que 25 25 c'est le quotient qui est 4 x le diviseur qui est sis plus le reste plus le reste qui est ici est un voilà tu vois c'est exactement la même chose sauf que ici au lieu d'avoir des nombres et bien on a des polynômes donc des expressions algébrique alors en fait ça c'est exactement la même chose pour n'importe quel polynôme on va essayer de d'abstraire un petit peu donc ça ici je peux le remplacer par n'importe quel polynôme f 2 x et donc si je divise fdx par le polynôme x - 11 à celui là ici eh bien je vais pouvoir écrire ça comme ça je vais avoir un quotient conscience ici c'est celui là et dans le cas général ça sera un polynôme q2 x je vais l'appeler comme ça q 2 x pour quotient multiplier donc par le diviseur qui est cette partie là dans l'ici cx moisins mais dans le cas général cx - à n'importe quel nombre à plus le reste plus le reste alors tu peux te dire qu'en général le pauline le reste sera un polynôme est ici comme on divise par six mois-un qui a degré 1 le reste a forcément un degré inférieur donc son degré est égal à zéro ce qui veut dire qu'en fait le reste c'est forcément une constante dans le cas où on divise par x monza voilà donc ça en fait ça c'est toujours vrai c'est toujours vrai pour tous polynôme pour tous polynôme pour tous polinum f voilà c'est à dire que si je prends mon polynôme que je divise par x - j'obtiens un quotient plus de x et un reste est en fait je peux écrire mon polynôme eve de xcom q2 x x x monza plus r c'est toujours comme ça que ça se passe alors maintenant du cou pour voir si le théorème de du reste est vrai on va évaluer tout simplement f le polynôme f1 x égal à à partir de cette expression ici donc en fait j'ai calculé f2 à en utilisant cette expression là alors du coup je vais l'écrire comme ça f2 à je vais garder les couleurs f2 à et bien ça va être égal à q2 à puisque ici je remplace x par à 1 donc j'ai q2 à x a - a et là je pense que tu commence peut-être à voir ce qui se passe ensuite il faut que j'ajoute le reste r + r en fait c'est là que tout se joue puisque si je veux calculé f2 avait en fait dans cette expression là ce qui se passe c'est que à moins à ça fait zéro à moi c'est nul donc toute cette partie là et nul aussi donc finalement ce qu'on trouve c'est que f2 à et bien c'est tout simplement r qui était le reste de la division 2 f par x - n'a donc ça en fait c'est la conclusion du théorème du reste et on vient de le prouver ce théorème puisqu'on est parti du fait qu'on prend un polynôme n'importe lequel on le divise par x - ah ça nous donne un quotient qui est un polynôme +1 reste qui est une constante donc on peut écrire f 2 x comme le polynôme quotient q2 x x x - à puce r et quand on évalue s à partir de cette expression là on voit bien que la toute cette partie là ça nul et donc il reste tout simplement f2 à égal r donc on a démontré le théorème du reste pour n'importe quel polynôme et voilà c'est une preuve assez simple pour quelque chose qui peut au départ avoir l'air un petit peu compliqué