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Cours : Algèbre III > Chapitre 5

Leçon 1: Résoudre une équation irrationnelle

Un premier exemple d'équation irrationnelle
Des équations irrationnelles très simples
Résoudre une équation irrationnelle dans des cas simples
Résoudre une équation irrationnelle
Un troisième exemple d'équation irrationnelle
Une équation irrationnelle qui a deux solutions
Une équation irrationnelle qui n'a pas de solution
Résoudre une équation irrationnelle

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Résoudre une équation irrationnelle

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Résoudre une équation irrationnelle

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Introduction

Voici d'autres équations irrationnelles, plus complexes que celles que vous avez eu à résoudre jusqu'à maintenant.

Dans ce cas, il faut commencer par la leçon "Des équations irrationnelles très simples" et faire les exercices où il faut résoudre une équation irrationnelle dans des cas simples .

Exercice 1 : Isoler le radical

Résoudre l'équation :

\sqrt{2 x - 7} - 3 = 4

‍

x =

‍

Votre réponse doit être
un entier, comme $6$ ‍
une fraction simplifiée telle que $3 / 5$ ‍
une fraction simplifiée telle que $7 / 4$ ‍
un nombre fractionnaire, par exemple, $1 3 / 4$ ‍
un nombre décimal, comme $0, 75$ ‍
un multiple de Pi, tels que $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

Étape 1 : On isole le radical.

Il faut isoler le radical avant d'élever les deux membres de l'équation au carré.

$\begin{aligned} \sqrt{2 x - 7} - 3 & = 4 \\ \sqrt{2 x - 7} & = 7 \end{aligned}$ ‍

Étape 2 : On élève au carré

Maintenant qu'on a isolé le radical, on peut élever les deux membres de l'équation au carré :

$\begin{aligned} \sqrt{2 x - 7} & = 7 \\ {(\sqrt{2 x - 7})}^{2} & = (7)^{2} \\ 2 x - 7 & = 49 \\ 2 x & = 56 \\ x & = 28 \end{aligned}$ ‍

Étape 3 : Vérification

L'équation donnée est

\sqrt{2 x - 7} - 3 = 4

‍.

x = 28

‍, on obtient :

$\begin{aligned} \sqrt{2 x - 7} - 3 & = 4 \\ \sqrt{2 \times 28 - 7} - 3 & \overset{?}{= o u \neq} 4 \\ \sqrt{49} - 3 & \overset{?}{= o u \neq} 4 \\ 7 - 3 & \overset{?}{= o u \neq} 4 \\ 4 & = 4 \end{aligned}$ ‍

Donc

28

‍ est bien la solution de l'équation.

Exercice 2 : Un cas où l'équation a deux solutions

Quelles sont les solutions de cette équation ?

6 + 3 x = \sqrt{2 x + 12} + 2 x

‍

Choisissez toutes les réponses possibles :

(Choix A)
$x = 0$ ‍
(Choix B)
$x = - 4$ ‍
(Choix C)
$x = 4$ ‍
(Choix D)
$x = - 6$ ‍
(Choix E)
$x = 1$ ‍

Étape 1 : On isole le radical.

Il faut isoler le radical avant d'élever les deux membres de l'équation au carré.

$\begin{aligned} 6 + 3 x & = \sqrt{2 x + 12} + 2 x \\ 6 + x & = \sqrt{2 x + 12} \end{aligned}$ ‍

Étape 2 : On élève au carré

Maintenant qu'on a isolé le radical, on peut élever les deux membres de l'équation au carré :

$\begin{aligned} 6 + x & = \sqrt{2 x + 12} \\ {(6 + x)}^{2} & = {(\sqrt{2 x + 12})}^{2} \\ 36 + 12 x + x^{2} & = 2 x + 12 \\ x^{2} + 10 x + 24 & = 0 \\ (x + 6) (x + 4) & = 0 \end{aligned}$ ‍

Il y a deux solutions :

x = - 6

‍ et

x = - 4

‍.

Étape 3 : Vérification

L'équation donnée est

6 + 3 x = \sqrt{2 x + 12} + 2 x

‍.

x = - 6

‍, on obtient :

$\begin{aligned} 6 + 3 x & = \sqrt{2 x + 12} + 2 x \\ 6 + 3 \times (- 6) & \overset{?}{= o u \neq} \sqrt{2 \times (- 6) + 12} + 2 (- 6) \\ - 12 & \overset{?}{= o u \neq} \sqrt{0} - 12 \\ - 12 & \overset{?}{= o u \neq} 0 - 12 \\ - 12 & = - 12 \end{aligned}$ ‍

Donc

- 6

‍ est bien solution de l'équation.

x = - 4

‍, on obtient :

$\begin{aligned} 6 + 3 x & = \sqrt{2 x + 12} + 2 x \\ 6 + 3 \times (- 4) & \overset{?}{= o u \neq} \sqrt{2 \times (- 4) + 12} + 2 \times (- 4) \\ - 6 & \overset{?}{= o u \neq} \sqrt{4} - 8 \\ - 6 & \overset{?}{= o u \neq} 2 - 8 \\ - 6 & = - 6 \end{aligned}$ ‍

Donc

- 4

‍ est bien aussi solution de l'équation.

Conclusion

L'équation a deux solutions :

x = - 6

‍ et

x = - 4

‍.

Exercice 3

Quelles sont les solutions de cette équation ?

\sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x = 5 + x

‍

Choisissez toutes les réponses possibles :

(Choix A)
$x = 0$ ‍
(Choix B)
$x = - 5$ ‍
(Choix C)
$x = 1$ ‍
(Choix D)
$x = - \frac{5}{2}$ ‍
(Choix E)
Aucune de ces propositions.

Étape 1 : On isole le radical.

Il faut isoler le radical avant d'élever les deux membres de l'équation au carré.

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x & = 5 + x \\ \sqrt{7 x^{2} + 15 x} & = 5 + 3 x \end{aligned}$ ‍

Étape 2 : On élève au carré

Maintenant qu'on a isolé le radical, on peut élever les deux membres de l'équation au carré :

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} & = 5 + 3 x \\ {(\sqrt{7 x^{2} + 15 x})}^{2} & = {(5 + 3 x)}^{2} \\ 7 x^{2} + 15 x & = 25 + 30 x + 9 x^{2} \\ 0 & = 2 x^{2} + 15 x + 25 \\ 0 & = (2 x + 5) (x + 5) \end{aligned}$ ‍

Il y a deux solutions :

x = - 5

‍ et

x = - \frac{5}{2}

‍.

Étape 3 : Vérification

L'équation donnée est

\sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x = 5 + x

‍.

x = - 5

‍, on obtient :

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x & = 5 + x \\ \sqrt{7 \times {(- 5)}^{2} + 15 \times (- 5)} - 2 \times (- 5) & \overset{?}{= o u \neq} 5 + (- 5) \\ \sqrt{100} + 10 & \overset{?}{= o u \neq} 0 \\ 10 + 10 & \overset{?}{= o u \neq} 0 \\ 20 & \neq 0 \end{aligned}$ ‍

Donc

- 5

‍ n'est pas solution de l'équation donnée.

x = - \frac{5}{2}

‍, on obtient :

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x & = 5 + x \\ \sqrt{7 \times {(- \frac{5}{2})}^{2} + 15 \times (- \frac{5}{2})} - 2 \times (- \frac{5}{2}) & \overset{?}{= o u \neq} 5 + (- \frac{5}{2}) \\ \sqrt{\frac{175}{4} - \frac{75}{2}} + 5 & \overset{?}{= o u \neq} \frac{5}{2} \\ \sqrt{\frac{25}{4}} + 5 & \overset{?}{= o u \neq} \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} + 5 & \overset{?}{= o u \neq} \frac{5}{2} \\ \frac{15}{2} & \neq \frac{5}{2} \end{aligned}$ ‍

Donc

- \frac{5}{2}

‍ n'est pas non plus solution de l'équation donnée.

Conclusion

L'équation n'a pas de solution.

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